高考数学二轮专题检测【10】化解抽象函数快捷有效的几个途径（含答案）

1、10化解抽象函数快捷有效的几个途径1设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当x1时，f(21)(2)·f(21)，f(3)(2)×48，f(3)8.2对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的_条件答案必要不充分解析若函数yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出yf(

2、x)为奇函数，故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要不充分条件3若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)0，则xf(x)<0的解集为_答案(2,0)(0,2)解析因为f(x)为奇函数，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：当2<x<0时，f(x)>0，所以xf(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.- 1 - / 6故不等式xf(x)<0的解集为(2,0)(0,2)4已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy

3、)(x，yR)，则f(2 014)_.答案解析令x1，y0，由已知得f(0)，令xy1，则f(2)4f2(1)f(0)4×()2.取xn，y1，有f(n)f(n1)f(n1)，同理f(n1)f(n2)f(n)，联立，得f(n2)f(n1)，所以f(n3)f(n)，f(n6)f(n3)f(n)，所以函数f(x)的周期为6，f(2 014)f(335×64)f(4)4f2(2)f(0).故填.5已知函数yf(x)和yg(x)的定义域及值域均为a，a(常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x)0根的个数为_答案6解析由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为

4、x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为a<x1<a，g(x)a，a，所以由g(x)的图象可知yx1与yg(x)的图象有两个交点，即方程g(x)x1有两个根，同理g(x)x2，g(x)x3各有两个根，所以方程f(g(x)0有6个根6如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的实根个数分别为m，n，则mn_.答案12解析由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(2，1)与(1,2)中，值域是1,1；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(1,

5、0)与(0,1)中，值域是2,2只有当f(x)0时，f(f(x)0，故实根个数m3.存在3个实数x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故实根个数n9.从而mn12.7若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(tR)，使得f(xt)tf(x)0对任意实数x均成立，则称f(x)是t阶回旋函数，则下列命题正确的是_(填序号)f(x)2x是阶回旋函数；f(x)sin(x)是1阶回旋函数；f(x)x2是1阶回旋函数；f(x)logax是0阶回旋函数答案解析对于函数f(x)sin x，由诱导公式可知当

6、t1时满足f(x1)f(x)sin (x1)sin x0，故f(x)sin x是1阶回旋函数，正确8设yf(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于函数yf(x)的判断：yf(x)是周期函数；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)在0,1上是增函数；f()0.其中正确判断的序号是_答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正确；因为yf(x)是定义在R上的偶函数，可知yf(x)的图象关于直线x1对称，正确；显然错误；由f(1)f()f()f()得f()0，正确9函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x

7、2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析当f(x)x2时，不妨设f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此时x1x2，故不正确；由f(x1)f(x2)时总有x1x2可知，当x1x2时，f(x1)f(x2)，故正确；若bB，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，与题中条

8、件矛盾，故正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故不正确故答案为.10(2013·湖南)设函数f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|

9、0<x1(2)解析(1)c>a>0，c>b>0，ab且a，b，c不能构成三角形的三边，0<2ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0<x1.(2)a，b，c是三角形的三条边长，ab>c.c>a>0，c>b>0，0<<1,0<<1.当x(，1)时，f(x)axbxcxcx>cxcx·>0.x(，1)，f(x)>0.故正确令a2，b3，c4，则a，b，c可以构成三角形但a24，b29，c216却不能构成三角形，故正确c>a，c>b，且

10、ABC为钝角三角形，a2b2c2<0，又f(1)abc>0，f(2)a2b2c2<0，函数f(x)在(1,2)上存在零点，故正确11已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.解(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1>x2，则>1.当x>1时，f(x)<0.f()<0，即f(x1)f(x2)<0，有

11、f(x1)<f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上单调递减 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函数f(x)在区间(0，)上单调递减，原不等式为f(|x|)<f(9)|x|>9，x<9或x>9，不等式的解集为x|x<9或x>912设集合Pn1,2，n，nN*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为