随机误差和粗大误差PPT课件

1、2-1、研究误差的意义、研究误差的意义： 检测获得的检测获得的测量数据和真值测量数据和真值之间存在的差异在数之间存在的差异在数值上表现为值上表现为误差误差。误差的存在具有普遍性和必然性。误差的存在具有普遍性和必然性。无法消除，但可以减少、控制它无法消除，但可以减少、控制它。 选择恰当的测量手段、测量方法是减少误差的重选择恰当的测量手段、测量方法是减少误差的重要手段。对要手段。对测量得到的数据进行误差分析、精度分析测量得到的数据进行误差分析、精度分析是进行合理处理的前提是进行合理处理的前提，因此对测量误差的研究是十，因此对测量误差的研究是十分必要的，其意义体现在以下几个方面：分必要的，其意义体现

2、在以下几个方面：第1页/共117页2-1、研究误差的意义、研究误差的意义：对测量误差的研究是十分必要的，其意义体现在以下对测量误差的研究是十分必要的，其意义体现在以下几个方面：几个方面：、根据检测目的选择确定测量精度，而不是精度越、根据检测目的选择确定测量精度，而不是精度越高越好；高越好；、通过误差分析理论，正确处理数据，合理计算所、通过误差分析理论，正确处理数据，合理计算所得结果，以便在一定的条件下得到接近于真值的数据；得结果，以便在一定的条件下得到接近于真值的数据；正确认识误差性质，分析误差不生原因，以减少误正确认识误差性质，分析误差不生原因，以减少误差差正确组织实验过程，合理设计仪器或选

3、用仪器和测正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想结果。量方法，以便在最经济的条件下得到理想结果。第2页/共117页2-2、检测精度选择、检测精度选择： 在实际测量中，检测或测量的精度是相对而言的。在实际测量中，检测或测量的精度是相对而言的。所以在解决实际问题中不是精度越高越好，而是要权所以在解决实际问题中不是精度越高越好，而是要权衡条件，根据实际需要选择恰当的测量精度。衡条件，根据实际需要选择恰当的测量精度。 举例：举例： 测量精度可以用误差来表示，精度低即测量误差测量精度可以用误差来表示，精度低即测量误差大。大。第3页/共117页2-3、误差原因分析

4、、误差原因分析：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：1 1、被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检、被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件有出入；测条件有出入；2 2、测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随、测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而发生劣化；时间而发生劣化；3 3、电气、气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；、电气、气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；4 4、检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；、检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；5 5、检测系统的惯性即迟延传递特性不符和检

5、测的目的、检测系统的惯性即迟延传递特性不符和检测的目的要求，因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；要求，因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；第4页/共117页2-3、误差原因分析、误差原因分析：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：6 6、检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；辐射等；7 7、不同采样所得测量值的差异造成的误差；、不同采样所得测量值的差异造成的误差；8 8、人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识、人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅，体力及

6、精神状态等因素；和经验的深浅，体力及精神状态等因素；9 9、测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有、测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态；状态；1010、被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值、被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等不稳定等第5页/共117页2-3、误差原因分析、误差原因分析：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：归结为：归结为：1 1、测量装置误差、测量装置误差2 2、环境误差、环境误差3 3、方法误差、方法误差4 4、人员误差、人员误差第6页/共117页2-4、误差分类、误差分类：一、系

7、统误差一、系统误差1 1、概念：、概念：指测量器件或方法引起的有规律的误差。指测量器件或方法引起的有规律的误差。2 2、特征：、特征：表现为在同一条件下，多次测量同一值时，表现为在同一条件下，多次测量同一值时，误差的绝对值和符号保持不变，或测量条件改变时，误差的绝对值和符号保持不变，或测量条件改变时，误差服从某种函数关系变化。其测量值具有不可抵误差服从某种函数关系变化。其测量值具有不可抵抗性。抗性。3 3、产生原因及实例：、产生原因及实例：(1)(1)测量装置方面的因素：测量装置方面的因素：(2)(2)环境方面的因素：环境方面的因素： (3)(3)测量方法的因素：测量方法的因素：(4)(4)测

8、量人员方面的因素：测量人员方面的因素： 第7页/共117页2-4、误差分类、误差分类：一、系统误差一、系统误差3 3、产生原因及实例：、产生原因及实例：(1)(1)测量装置方面的因素：测量装置方面的因素：表现为仪器机构设计原表现为仪器机构设计原理上的缺点，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不理上的缺点，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器零件制造和安装不正确，如标成比例的误差；仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度伯差、到度盘和指针的安装偏心、仪器各尺的刻度伯差、到度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差等。

9、等。第8页/共117页2-4、误差分类、误差分类：一、系统误差一、系统误差3 3、产生原因及实例：、产生原因及实例：(1)(1)测量装置方面的因素：测量装置方面的因素：(2)(2)环境方面的因素：环境方面的因素： 测量时的实际温度对标淮测量时的实际温度对标淮温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。变化的误差。(3)(3)测量方法的因素：测量方法的因素： 采用近似的测量方法或近采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。似的计算公式等引起的误差。(4)(4)测量人员方面的因素：测量人员方面的因素： 由于测量者的个人特由于测量者的个人

10、特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一一方向；动方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向等。态测量时，记录某一信号有滞后的倾向等。第9页/共117页一、系统误差一、系统误差4 4、分类：、分类：变化系统误差不变系统误差按误差出现规律分末定系统误差已定系统误差按误差掌握的程度5 5、判断及发现方法：、判断及发现方法：实验对比法、残余误差观察法等。实验对比法、残余误差观察法等。2-4、误差分类、误差分类：第10页/共117页2-4、误差分类、误差分类：二、随机误差二、随机误差1 1、概念：、概念： 由随机因素引起的，一般无法排除并难以校由随机因素引起的，一般无法

11、排除并难以校正的误差被称为随机误差。正的误差被称为随机误差。2 2、特征：、特征： 表现为在同一测量条件下，多次测量同一值时，表现为在同一测量条件下，多次测量同一值时，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化，即前一误差的绝对值和符号以不可预定方式变化，即前一个误差出现后，不能预计下一个误差的大小和方向，个误差出现后，不能预计下一个误差的大小和方向，但就总体而言，但就总体而言，具有统计规律性具有统计规律性。其测量值具有可。其测量值具有可抵消性。抵消性。第11页/共117页2-4、误差分类、误差分类：二、随机误差二、随机误差3 3、产生原因及实例：、产生原因及实例：由许多暂时未能掌握或不便确定的微小

12、因素所构成由许多暂时未能掌握或不便确定的微小因素所构成的，主要有以下几个方面：的，主要有以下几个方面：（1 1）、测量装置方面的因素：如零件配合的不稳定）、测量装置方面的因素：如零件配合的不稳定性、零件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等；性、零件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等；（2 2）、环境方面的因素：温度的微小波动、湿度与）、环境方面的因素：温度的微小波动、湿度与气压的微小变化、电磁场变化等；气压的微小变化、电磁场变化等；（3 3）、人员方面的因素：计数不准确等；）、人员方面的因素：计数不准确等；第12页/共117页2-4、误差分类、误差分类：三、粗大误差三、粗大误差1 1、概念：、概

13、念：指由于观测者误读或传感要素故障而引起指由于观测者误读或传感要素故障而引起的规定条件下预期的歧异误差。含有粗大误差的测的规定条件下预期的歧异误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，在做统计处理时应当剔除。量值称为坏值，在做统计处理时应当剔除。2 2、产生原因及实例：、产生原因及实例：（1 1）测量人员的主观原因：测量者的责任心不强、）测量人员的主观原因：测量者的责任心不强、工作疲惫、缺乏经验、操作不当等造成的读数或错工作疲惫、缺乏经验、操作不当等造成的读数或错误的记录，这是造成粗大误差的主要原因；误的记录，这是造成粗大误差的主要原因；（2 2）客观外界条件的原因：由于测量条件意外改变）客观外界条

14、件的原因：由于测量条件意外改变（如机械冲击、外界振动等）引起仪器示值或被（如机械冲击、外界振动等）引起仪器示值或被测对象位置改变而产生的粗大误差测对象位置改变而产生的粗大误差第13页/共117页2-4、误差分类、误差分类：三、粗大误差三、粗大误差3 3、防止和消除方法、防止和消除方法（1 1）、加强测量人员的责任；）、加强测量人员的责任；（2 2）、保证测量条件的稳定；）、保证测量条件的稳定；（3 3）、从测量结果中发现和鉴别而加以消除；）、从测量结果中发现和鉴别而加以消除；（4 4）、采用不等精度测量和互相之间进行校核的方）、采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法；法；第14页/共117页

15、2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：下面介绍误差统计学分析的一些基本关系与定义。下面介绍误差统计学分析的一些基本关系与定义。一、真值、测量值与误差的关系一、真值、测量值与误差的关系1 1、概念：、概念：（1 1）真值真值A A0 0: :被测量的真实值，是唯一的、确定的，被测量的真实值，是唯一的、确定的，但也是无法知道的。一般用高一等级的精密检测手但也是无法知道的。一般用高一等级的精密检测手段测量值来代替，称为段测量值来代替，称为约定真值约定真值；（2 2）测量值测量值M：在一定条件下的测量值；：在一定条件下的测量值；（3 3）误差误差x：测量值：测量值M偏离真值偏离真值A0 0的

16、程度；的程度；x M A0第15页/共117页2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：一、真值、测量值与误差的关系一、真值、测量值与误差的关系1 1、概念：、概念：2 2、算术平均值、偏差的概念及关系算术平均值、偏差的概念及关系：单次测量值单次测量值M往往含有系统误差、粗大误差等往往含有系统误差、粗大误差等因素，使得测量结果的准确性较低。为此，在实际因素，使得测量结果的准确性较低。为此，在实际测量中，为减少随机误差等因素的影响，往往要进测量中，为减少随机误差等因素的影响，往往要进行一系列的行一系列的等精度测量等精度测量，计算其，计算其算术平均值算术平均值作为其作为其最后的测量结果，其处

17、理方式如下：最后的测量结果，其处理方式如下：真值真值A0、测量值、测量值M、误差、误差x：x M A0第16页/共117页一、真值、测量值与误差的关系一、真值、测量值与误差的关系1 1、概念：、概念：2 2、算术平均值、偏差的概念及关系：算术平均值、偏差的概念及关系：（1 1）n次测量所得的测量数据为：次测量所得的测量数据为：Mi（i1、2n），），i为测量次数；为测量次数；（2 2）测量值的测量值的算术平均值为算术平均值为A：当测量的次数当测量的次数n足够多时，有平均值等于真值，即：足够多时，有平均值等于真值，即：（3 3）测量的平均值与真值之间的差值，称为）测量的平均值与真值之间的差值，称

18、为偏差偏差， 用表示，有用表示，有2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：niiMnA11AAnlim00AA真值真值A0、测量值、测量值M、误差、误差x：x M A0第17页/共117页二、二、和误差相关的几个基本概念：和误差相关的几个基本概念：1、残差、残差 vi ：（1）定义：）定义：各测量值各测量值Mi与平均值与平均值A的差，称为残差的差，称为残差。（2）表达式：）表达式： vi =MiA（3）意义：一般情况下，被测量的真值）意义：一般情况下，被测量的真值A0未知，无法未知，无法按按x=M-A0来计算误差，这时可用算术平均值来计算误差，这时可用算术平均值A0代替被代替被测量的真

19、值来计算测量误差，以示区别，称为残差。测量的真值来计算测量误差，以示区别，称为残差。（4）特点：）特点：对于只存在随机误差的测量，各测量值的残差之和对于只存在随机误差的测量，各测量值的残差之和等于等于0。即：。即：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念： 0iv第18页/共117页二、和误差相关的几个基本概念：二、和误差相关的几个基本概念：2 2、方差、方差2 2 ：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：niiAMn1202)(13 3、标准误差、标准误差 ：又称为：又称为标准偏差标准偏差niiAMn120)(1意义：误差的方均根，表示测量值意义：误差的方均根，表示测量值M

20、Mi i偏离真值偏离真值A A0 0的的程度。程度。精密度低；大：度高；表示精密测量，即精密小：第19页/共117页二、和误差相关的几个基本概念：二、和误差相关的几个基本概念：4 4、协方差与相关系数：、协方差与相关系数：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：关，即相互独立表示两组测量值线性无线性相关表示以概率，011)(jixxrjijijixxxxjinkjjkiikxxxxrAxAxnxx212jjkiik),()(1A A 方差，定义为：相关系数是标准化的协协方差定义为：平均值为平均值为两组测量值第20页/共117页二、和误差相关的几个基本概念：二、和误差相关的几个基本概念：

21、4 4、协方差与相关系数：、协方差与相关系数：误差相关性讨论（针对两个测量量来讨论的误差相关性讨论（针对两个测量量来讨论的）. .误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系: :指它们具有线性依赖关系。这种关系有强有弱。指它们具有线性依赖关系。这种关系有强有弱。联系最强时：联系最强时：在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差间具有确定的线性函数关系。误差的取值，此时两误差间具有确定的线性函数关系。联系最弱时联系最弱时：一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这种无：一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这种无关性称为线性无关。关

22、性称为线性无关。最强最弱之间时：最强最弱之间时：一个误差的取值随另一个误差变化具有线性关一个误差的取值随另一个误差变化具有线性关系的倾向，但两者之间又不服从确定的线性关系。系的倾向，但两者之间又不服从确定的线性关系。2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：第21页/共117页二、和误差相关的几个基本概念：二、和误差相关的几个基本概念：4 4、协方差与相关系数：、协方差与相关系数：. .相关系数：两误差间有线性关系时，其相关性强弱相关系数：两误差间有线性关系时，其相关性强弱由由相关系数相关系数来反映。由概率论可知，相关系数的取值范来反映。由概率论可知，相关系数的取值范围是：围是：2-5、

23、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：1),(1jixxr也可能另一误差取值可能时即一误差线性无关或不相关时当数关系之间存在确定的线性函此时两误差完全负相关当完全正相关当另一误差取值的平均即一误差负相关两误差当另一误差取值的平均即一误差正相关两误差当，：r，xxrr，xxr，xxrjijiji0:1:1:01:10第22页/共117页二、和误差相关的几个基本概念：二、和误差相关的几个基本概念：4 4、协方差与相关系数：、协方差与相关系数：. .相关系数：两误差间有线性关系时，其相关性强弱相关系数：两误差间有线性关系时，其相关性强弱由由相关系数相关系数来反映。由概率论可知，相关系数的取值范来反

24、映。由概率论可知，相关系数的取值范围是：围是：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：1),(1jixxr注意注意: :当当r r很小很小, ,甚至等于甚至等于0 0时时, ,两误差间不存在线性关系两误差间不存在线性关系, ,但并但并不表示它们之间不存在其它的函数关系。不表示它们之间不存在其它的函数关系。第23页/共117页复习：一、系统误差1 1、概念：指测量器件或方法引起的有规律的误差2 2、特征：表现为在同一条件下，多次测量同一值时，误差的绝对值和符号保持不变，或测量条件改变时，误差服从某种函数关系变化。其测量值具有不可抵抗性。二、随机误差1、概念： 由随机因素引起的，一般无法排

25、除并难以校正的误差被称为随机误差。2、特征：具有统计规律性。其测量值具有可抵抗性。三、粗大误差1 1、概念：粗大误差指由于观测者误读或传感要素故障而引起的规定条件下预期的歧异误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，在做统计处理时应当剔除。第24页/共117页真值A0: :被测量的真实值，用高一等级的精密检测手段测量值来代替，称为约定真值；测量值M：在一定条件下的测量值；误差x：测量值M偏离真值A0的程度；x M A0测量值的算术平均值A：偏差：测量的平均值与真值之间的差值，niiMnA11AAnlim00AA残差 vi ：各测量值Mi与平均值A的差，称为残差。 vi =MiA对于只存在随机误差的测

26、量，各测量值的残差之和等于0。第25页/共117页方差2 ：niiAMn1202)(1标准误差 ：又称为标准偏差niiAMn120)(1第26页/共117页三、测量三、测量 的的准确度与精密度准确度与精密度：反映测量结果与真值接近程度的量称为精度。它与反映测量结果与真值接近程度的量称为精度。它与误差的大小相对应，因此可用误差的大小相对应，因此可用相对误差大小相对误差大小来表示精度来表示精度的高低，相对误差小则精度高，相对误差大则精度低，的高低，相对误差小则精度高，相对误差大则精度低，但这种描述也不够准确，具体又分下面几种情况：但这种描述也不够准确，具体又分下面几种情况：2-5、误差分析的基本概

27、念、误差分析的基本概念：第27页/共117页三、测量三、测量 的的准确度与精密度准确度与精密度：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：1 1、准确度：、准确度： 在同样条件下进行无数次测量所得的在同样条件下进行无数次测量所得的平均值与真平均值与真值的偏差较小值的偏差较小的测量称为准确测量的测量称为准确测量, ,即准确度高即准确度高. .它反映测量结果中系统误差的影响程度。它反映测量结果中系统误差的影响程度。 大偏差系统误差大准确度低小偏差系统误差小准确度高)()(00AA，AA，第28页/共117页三、测量三、测量 的准确度与精密度：的准确度与精密度：2-5、误差分析的基本概念、误差

28、分析的基本概念：2 2、精密度：、精密度： 用同样方法与设备对同一未知量进行多次检测时用同样方法与设备对同一未知量进行多次检测时, ,测量值不一测量值不一, ,把把测量值之间差异测量值之间差异小的测量称为精密测量小的测量称为精密测量, ,即精密度高即精密度高. .反映测量结果中随机误差的影响程度。反映测量结果中随机误差的影响程度。 大标准差随机误差大精密度低小标准差随机误差小精密度高，第29页/共117页三、测量三、测量 的准确度与精密度：的准确度与精密度：2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：3 3、精确度：、精确度：同时兼顾准确度和精密度的测量，称为精确测量。其定同时兼顾准确度和

29、精密度的测量，称为精确测量。其定量特征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。量特征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。它反映测量结果中随机误差和系统误差的的它反映测量结果中随机误差和系统误差的的影响影响 程度。程度。 4 4、关系：、关系： 对于具体的测量，精密高的准确度不一定高，准确度高的对于具体的测量，精密高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定高，但精确度高的，则测量精密度和准确度都高。精密度也不一定高，但精确度高的，则测量精密度和准确度都高。第30页/共117页2-5、误差分析的基本概念、误差分析的基本概念：举例：举例：如图所示的打靶结果，子弹打在靶心周围有三种情况：如图所示

30、的打靶结果，子弹打在靶心周围有三种情况：图图1 1：系统误差小而随机误差大，即准确度高而精密度低：系统误差小而随机误差大，即准确度高而精密度低图图2 2：系统误差大而随机误差小，即准确度低而精密度高；：系统误差大而随机误差小，即准确度低而精密度高；图图3 3：系统误差与随机误差都小，即精确度高：系统误差与随机误差都小，即精确度高. .第31页/共117页误差分析中需要估计研究的误差主要是误差分析中需要估计研究的误差主要是随机误差随机误差，下面主要，下面主要对随机误差的性质进行分析，介绍对随机误差的性质进行分析，介绍随机误差函数及其表达法随机误差函数及其表达法，以，以及从采样平均和采样方差如何求

31、得及从采样平均和采样方差如何求得真值和方差的最佳估计值真值和方差的最佳估计值的方的方法等。法等。2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：一、误差函数的有关符号定义：一、误差函数的有关符号定义：1、 ：误差：误差 x 发生的发生的概率密度概率密度，积分结果为积分范围，积分结果为积分范围内的误差发生的概率；内的误差发生的概率；2、 ：误差为：误差为 x 的概率，称为概率元；的概率，称为概率元；3、 ： 误差在误差在a与与b之间的概率；之间的概率；4、 ：表明检测值存在或检测误差存在的概率为：表明检测值存在或检测误差存在的概率为1第32页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：二、随机误

32、差的性质：二、随机误差的性质：若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则测量列中的随机若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则测量列中的随机误差具有如下特征：误差具有如下特征：1 1、对称性：、对称性：大小相同，符号相反的误差发生的概率相同；大小相同，符号相反的误差发生的概率相同；2 2、抵偿性：、抵偿性：由对称性可知，当测量次数时，全体误差由对称性可知，当测量次数时，全体误差的代数和为零，即的代数和为零，即3 3、单峰性：、单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大；绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大；4 4、有界性：、有界性：绝对值非常大的误差基本不发生。绝对值非常大的误差基本不

33、发生。 第33页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：二、随机误差的性质：二、随机误差的性质：具有上述特征的概率密度分布曲线函数具有上述特征的概率密度分布曲线函数 y=f(x) 应满应满足：足：1、对于所有的误差对于所有的误差x，都有，都有f(x)0 ；2、 f(x)为偶函数，正负对称分布；为偶函数，正负对称分布；3、x=0时时, f(x) 取最大值；取最大值；4、随随x0, f(x)单调减小；单调减小；5、 f(x)曲线在误差曲线在误差 较小时呈上凸，在较大时呈下凹。较小时呈上凸，在较大时呈下凹。 第34页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随

34、机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：由概率论的中心极限定理可知：大量的、微小的及独立的随由概率论的中心极限定理可知：大量的、微小的及独立的随机变量之总和服从正态分布，因此可以用正态分布函数来描述随机变量之总和服从正态分布，因此可以用正态分布函数来描述随机误差的理论分布规律。机误差的理论分布规律。1、随机误差的正态分布函数：又称为高斯分布函数、随机误差的正态分布函数：又称为高斯分布函数设被测量的真值为设被测量的真值为A0，一系列测量值为，一系列测量值为Mi，则测量列中的随，则测量列中的随机误差为机误差为xi（式中（式中i=1,2n）。）。则随机误差则随机误差xi正态分布的

35、概率密度函数为：正态分布的概率密度函数为： 第35页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：1 1、随机误差的正态分布函数：、随机误差的正态分布函数： 概率密度函数为：概率密度函数为： (1)、分布曲线：exfxxfx21)(21)(0时：时：第36页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：1、随机误差的正态分布函数：、随机误差的正态分布函数： 概率密度函数为：概率密度函数为： (2)、：是进行一系列测量值的是进

36、行一系列测量值的标准误差或称均方根误差标准误差或称均方根误差。只。只要要 的大小决定后，随机误差的大小决定后，随机误差x的概率密度函数的概率密度函数f(x) 就就 唯一确定，且为单值函数。唯一确定，且为单值函数。(3)、正态分布的随机函数满足上述的正态分布的随机函数满足上述的5个特征；个特征；(4)、注意：随机误差服从正态分布是从统计学角度而言的，即注意：随机误差服从正态分布是从统计学角度而言的，即针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。言的。第37页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其

37、特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：1 1、随机误差的正态分布函数：、随机误差的正态分布函数： 概率密度函数为：概率密度函数为： (5)(5)、从检测函数的角度来看，正态分布常用从检测函数的角度来看，正态分布常用 形式形式来表示。来表示。即：即：其中其中分别为测量真值和标准误差，分别为测量真值和标准误差，第38页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：2 2、正态分布的误差函数的特征值：、正态分布的误差函数的特征值：(1)、 误差函数的最大值，:0)(21)(0 xfxfx误差函数的两拐点，:

38、0)(21)( xfexfx(2)、 61. 012121ee第39页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：2 2、正态分布的误差函数的特征值：、正态分布的误差函数的特征值：(3)(3)、标准误差标准误差：含义：标准误差是含义：标准误差是方差的平方根，在概率论中方差也被定义方差的平方根，在概率论中方差也被定义为二阶中心距离，它表示随机误差相对于中心位置的离散程度为二阶中心距离，它表示随机误差相对于中心位置的离散程度。 (4)(4)、算数平均误差算数平均误差：误差绝对值的平均值，即误差绝对值的平均值，即

39、 dxxfx)(27979. 022)(dxxfx第40页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：2 2、正态分布的误差函数的特征值：、正态分布的误差函数的特征值：(5)(5)、概率（或然）误差：概率（或然）误差：含义：为使的内外概率相等的误差。含义：为使的内外概率相等的误差。 (6)(6)、极限极限误差误差：标准误差的标准误差的2323倍倍6745. 05 . 0)(dxxfxx第41页/共117页说明：说明：、：其大小反映了随机误差相对于中心位置的离散程度，：其大小反映了随机误差相对于中心位置的离散

40、程度，对应曲线上拐点对应曲线上拐点A A的横坐标；的横坐标；、：对应曲线右半部面积重心：对应曲线右半部面积重心B B的横坐标；的横坐标；、：值的纵坐标线平分曲线右半部面积。、：值的纵坐标线平分曲线右半部面积。 2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：三、服从正态分布的随机误差函数及其特征：2 2、正态分布的误差函数的特征值：、正态分布的误差函数的特征值：第42页/共117页复习：复习：一、基本概念一、基本概念真值真值A0:被测量的真实值，用高一等级的精密检测手段测被测量的真实值，用高一等级的精密检测手段测 量值来代替，称为量值来代替，称为约定真值约定真值

41、；测量值测量值M： 在一定条件下的测量值；在一定条件下的测量值；误差误差x： 测量值测量值M偏离真值偏离真值A0的程度；的程度；x M A0测量值的算术平均值测量值的算术平均值A：偏差：偏差： 测量的平均值与真值之间的差值测量的平均值与真值之间的差值，niiMnA11AAnlim00AA残差残差 vi ： 各测量值各测量值Mi与平均值与平均值A的差，称为残差的差，称为残差。 vi =MiA 对于只存在随机误差的测量，各测量值的残差之和对于只存在随机误差的测量，各测量值的残差之和 等于等于0。第43页/共117页方差方差2 2 ：niiAMn1202)(1标准误差标准误差 ：又称为：又称为标准偏

42、差标准偏差niiAMn120)(1第44页/共117页二、随机误差函数的有关符号定义：二、随机误差函数的有关符号定义：1 1、 ：误差：误差 x 发生的概率密度，积分结果为积分范发生的概率密度，积分结果为积分范围内的误差发生的概率；围内的误差发生的概率；二、随机误差的性质：二、随机误差的性质：1 1、对称性、对称性、2 2、抵偿性、抵偿性、3 3、单峰性、单峰性、4 4、有界性、有界性 四、服从正态分布的随机误差函数及其特征：四、服从正态分布的随机误差函数及其特征：1 1、分布曲线：、分布曲线：第45页/共117页 2 2、：是进行一系列测量值的是进行一系列测量值的标准误差或称方均根误差标准误

43、差或称方均根误差。只。只要要的大小决定后，的大小决定后，随机误差随机误差x的概率密度函数的概率密度函数f(x) 就就唯一确定，且为单值函数。唯一确定，且为单值函数。3 3、算数平均误差算数平均误差：误差绝对值的平均值，即误差绝对值的平均值，即 dxxfx)(27979. 022)(dxxfx4 4、概率（或然）误差：、概率（或然）误差：含义：为使的内外概率相等的误差。含义：为使的内外概率相等的误差。 6745. 05 . 0)(dxxfxx第46页/共117页 2 2、： 3 3、算数平均误差算数平均误差： dxxfx)(222)(dxxfx 4 4、概率（或然）误差：、概率（或然）误差：5

44、. 0)(dxxfx反映了随机误差相对于中心位反映了随机误差相对于中心位置的离散程度，对应曲线上拐置的离散程度，对应曲线上拐点点A A的横坐标；的横坐标；对应曲线右半部面积对应曲线右半部面积重心重心B B的横坐标；的横坐标；纵坐标线平分曲线右纵坐标线平分曲线右半部面积。半部面积。第47页/共117页5 5、极限、极限误差误差：标准误差的标准误差的2323倍倍第48页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、三、正态分布的误差函数的标准误差正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：四、置信区间与置信概率：四、置信区间与置信概率：2-7、误差传递法则、误差传递法则：一、传递传递法则：一

45、、传递传递法则：二、不等精度测量的加权及其误差：二、不等精度测量的加权及其误差：2-8、误差估计、误差估计：第49页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、三、正态分布的误差函数的标准误差正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：由于随机误差的存在，等精度测量列中各测量值一由于随机误差的存在，等精度测量列中各测量值一般皆不相等，它们围绕该列测量值的平均值有一定的分般皆不相等，它们围绕该列测量值的平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量列中散性，此分散性说明了测量列中单次测量值的不可靠性单次测量值的不可靠性，必须用一个数值作为必须用一个数值作为不可靠性的评定不可靠性的评定标准。标准

46、。标准误差标准误差下面作一讨论：下面作一讨论：第50页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、正态分布的误差函数的标准误差三、正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：1 1、标准误差、标准误差的统计学意义：的统计学意义：表征同一被测量的表征同一被测量的n n次测量的测量值分散性的参数，次测量的测量值分散性的参数，作为测量列中单次测量值不可靠性的评定标准作为测量列中单次测量值不可靠性的评定标准。对于正态分布的随机误差分布密度函数：对于正态分布的随机误差分布密度函数：有以下关系：有以下关系：曲线变低的纵坐标误差为曲线平坦愈慢曲线变高的纵坐标对应误差前的系数曲线变陡愈快的指数绝对值0

47、)(0)(xfxexfe第51页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、正态分布的误差函数的标准误差三、正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：1 1、标准误差、标准误差的统计学意义：的统计学意义：表征表征单次测量值不可靠性单次测量值不可靠性的评定标准。的评定标准。标准差标准差的数值小，表明该测量的数值小，表明该测量列相应小的误差就占优势，任一列相应小的误差就占优势，任一单次测量值对算术平均值的分散单次测量值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高测量精度高( (如图中的第一条曲如图中的第一条曲线线) )；反之，测量精度就低；反之，测

48、量精度就低( (如图如图中的第三条曲线中的第三条曲线) )。第52页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、正态分布的误差函数的标准误差三、正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：2 2、说明：、说明： 标准误差标准误差不是测量列中任何一个具体测不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差量值的随机误差，其大小只说明在一定条件下等精，其大小只说明在一定条件下等精度测量列随机误差的摄率分布情况。在该条件下，度测量列随机误差的摄率分布情况。在该条件下，任一单次测量值的随机误差任一单次测量值的随机误差x，一般都不等于，一般都不等于 ，但却认为这一系列测量中所有测得值但却认为这一系列测量中

49、所有测得值都属于同样一都属于同样一个标准差个标准差的概率分布的概率分布。在不同条件下，对同一被。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不也不相同。相同。第53页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、正态分布的误差函数的标准误差三、正态分布的误差函数的标准误差讨论：讨论：3、等精度测量列中、等精度测量列中单次测量的标准误差单次测量的标准误差的计算：的计算：若已知误差若已知误差 x ，概率密度函数概率密度函数 f(x)，根据定义可知：，根据定义可知：nxxxn22221. dxxfx)(2 实际的测量列误差为实际的测量

50、列误差为x1 、x2 、 x3 、 xn (其中其中xi=Mi A0)n应足够大。应足够大。 由于真值由于真值A A0 0不知，按上不知，按上式无法求取式无法求取。实际应用中，在有限次测量中用。实际应用中，在有限次测量中用残差残差代替真实误代替真实误差来求解，其结果称为差来求解，其结果称为标准偏差的无偏估计标准偏差的无偏估计，即，即单次测量单次测量的标准的标准偏差的估计值，用表示，其计算方法：偏差的估计值，用表示，其计算方法：误差x1 、x2 、 x3 、 xn无法求出vi =MiA第54页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：三、正态分布的误差函数的标准误差三、正态分布的误差函

51、数的标准误差讨论：讨论：3 3、等精度测量列中、等精度测量列中单次测量的标准误差单次测量的标准误差的计算：的计算：（1 1）、贝塞尔公式：）、贝塞尔公式：112nvnii（2 2）、别捷尔斯法：）、别捷尔斯法：说明说明（1 1）以上两法均需先求平均值，再求残差以上两法均需先求平均值，再求残差 (2)(2)以上方法求取的标准误差实质是以上方法求取的标准误差实质是单次单次测量标准测量标准误差的估计值，称为误差的估计值，称为标准偏差的无偏估计标准偏差的无偏估计，在，在2-82-8节证节证明。明。) 1(253. 11nnvnii第55页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：四、置信区间

52、与置信概率：四、置信区间与置信概率：在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率，两者是相互关联的。率，两者是相互关联的。1 1、置信区间：、置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态定义为随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差分布的标准误差的倍数来表示，即的倍数来表示，即 ，其中，其中 为为置信系数。置信系数。2 2、置信概率：、置信概率：随机变量在置信区间随机变量在置信区间 内取值的概内取值的概率。率。zzzzzzdxedxxfzxpzx022

53、222)()(第56页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：四、置信区间与置信概率：四、置信区间与置信概率：1 1、置信区间：置信区间：即即 ，其中，其中 为置信系数。为置信系数。2 2、置信概率：置信概率：3 3、置信水平置信水平: : 表示随机变量在置信区间以外取值的概表示随机变量在置信区间以外取值的概率。计为：率。计为：zzzxpz)()(1)(zz第57页/共117页2-6、误差的统计处理、误差的统计处理：四、置信区间与置信概率：四、置信区间与置信概率：1 1、置信区间：置信区间：即即 ，其中，其中 为置信系数。为置信系数。2 2、置信概率：置信概率：3 3、置信水平：置

54、信水平：zzzxpz)()(1)(zz说明：说明：置信系数取不同典型值时，正态分布的置信区间与置信概率置信系数取不同典型值时，正态分布的置信区间与置信概率数值如下表所示。置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，数值如下表所示。置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。随机误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。 在实际测量中，如有在实际测量中，如有95% 95% 的置信概率时，其可靠性已经足够的置信概率时，其可靠性已经足够了，此时的置信区间是，置信水平为了，此时的置信区间是，置信水平为5%5%。2第58页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法

55、则：一、误差传递法则：一、误差传递法则：当间接检测量当间接检测量Y Y与与互相独立的互相独立的直接检测量直接检测量 M1 、 M2 有如有如下的函数关系：下的函数关系：其中各直接测量量其中各直接测量量M1 、 M2 标准偏差分别为标准偏差分别为 时，时，下面来求下面来求Y的标准偏差。只要知道了也就确定了间接的标准偏差。只要知道了也就确定了间接测量量测量量Y的误差分布。的误差分布。.21、.)(21MMY，YY第59页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法则：一、误差传递法则：一、误差传递法则：nnxxxMxxxM222212121111.、的测量列误差分别为：若、的测量列误差分别为：若（

56、1 1）简易）简易情况：情况：Y=M1+M22221Y21212122212221Y02Y的标准偏差间接测量协方差相互独立、由于方差：误差：的：间接测量量iiiiiiiYiiixxMMnxxnxnxnyxxy第60页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法则：一、误差传递法则：一、误差传递法则：（2）任意线性结合的情况：）任意线性结合的情况：Y=a1M1a2M2anMn +k2n222222121Y21.Y0.nnaaaMMM的标准偏差间接测量误差的任意协方差相互独立、由于说明：说明：、尽管间接检测函数中有差的结合方式，但方差均为和的形式、尽管间接检测函数中有差的结合方式，但方差均为和的形

57、式出现；出现；、各误差相互独立，是指其线性无关，即一误差增大，其余误、各误差相互独立，是指其线性无关，即一误差增大，其余误差可能增大也可能减少；差可能增大也可能减少；、 a1 、a2 、an为各测量量的误差传递系数为各测量量的误差传递系数 第61页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法则：一、误差传递法则：一、误差传递法则：（2）任意线性结合的情况：）任意线性结合的情况：Y=a1M1a2M2anMn +k2n222222121Y21.Y0.nnaaaMMM的标准偏差间接测量量误差的任意协方差相互独立、由于举例：举例：一组测量值的算术平均值为一组测量值的算术平均值为设测量值之间相互独立，测

58、量标准误差同为时，设测量值之间相互独立，测量标准误差同为时， 可知平均值的标准误差为可知平均值的标准误差为 这意味着多次采集数据，取其平均值为测量结果时，误差会相对这意味着多次采集数据，取其平均值为测量结果时，误差会相对变小，可以提高测量精度倍。变小，可以提高测量精度倍。nMMMAn.21nnnn222222Y1.11n第62页/共117页（3）一般情况：）一般情况：Y=（x1，x2，xn） 在各检测量取平均值时，将间接检测量在各检测量取平均值时，将间接检测量在附近进行泰勒级数展开，在附近进行泰勒级数展开， 并略去并略去高阶误差项，得：高阶误差项，得：其中偏微分系数其中偏微分系数均为取平均值时

59、的均为取平均值时的常量，因此上式为的一次多项式，同情形（常量，因此上式为的一次多项式，同情形（2）一样，可得标准偏差为：一样，可得标准偏差为： 偏微分形式nnxxxxxxYY02021010.0201x、x.2220221201xxY2-7、误差传递法则、误差传递法则：一、误差传递法则：一、误差传递法则：21mm、21xx、321.mmm、).(021nmmmY、第63页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法则：二、不等精度测量的加权及其误差：二、不等精度测量的加权及其误差： 使用不同检测方法对同一未知量进行检测所得的使用不同检测方法对同一未知量进行检测所得的m组测量数据，一般认为它们是

60、具有不等精度，即不能同组测量数据，一般认为它们是具有不等精度，即不能同等看待它们的测量结果及其误差。精密度高的测量数据等看待它们的测量结果及其误差。精密度高的测量数据具有较大的可靠性，将这种可靠性的大小称为权重，通具有较大的可靠性，将这种可靠性的大小称为权重，通常用常用加权平均加权平均的方法计算的方法计算m组测量数据的总的平均值。组测量数据的总的平均值。第64页/共117页2-7、误差传递法则、误差传递法则：二、不等精度测量的加权及其误差：二、不等精度测量的加权及其误差：1 1、权重的大小确定、权重的大小确定: : 权重的大小是相对的，一般用方差权重的大小是相对的，一般用方差 2 2 的倒数的