随机变量序列的两种收敛PPT课件

1、1、定义、定义 在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面的极限关系式： 这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同。在上式中以随机变量 代替 a 以便得到新的收敛概念。本节假定所得到的随机变量都是定义在同一概率空间（ F ，P）上的。,其中nkknn11 或等价于一、依概率收敛一、依概率收敛0)(limaPnn1)(limaPnn第1页/共17页 设 为一列随机变量， 为一随机变量，n,2101)(lim0)(limnnnnPP或 nPnnlim)( ,nPn定义5.2由定义可知， )( , 0nPnPn，或 则称随机变量序列 依概率收敛于 ，记作 如果 ，有 第2页/共17页随机变量序列 n

2、依概率收敛和数学分析中的序列收敛有很大的不同当我们说随机变量序列 n依概率收敛于,是指对，0如下事件n发生的概率，当n无限增大时，它无限接近于而当我们说序列n1趋于0，是指当n无限增大时，无限接近于n1随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样第3页/共17页 有了依概率收敛的概念，随机变量序列 服从大数定律就可以表达为 n)(1111nEnnniiPniipnPn)(nanPnii11)(n伯努利大数定律可以描述为 辛钦大数定律描述为 特别地，111011)(lim,niiniinEnnP10)(lim,pnPnn1101)(lim,anPniinnPPnnn1)(lim, 0第4页/共1

3、7页例1、设 是独立同分布的随机变量量序列，且 n211,DaE试证： aknnPnkk1) 1(2)(n证：()nkkEkn n121 ，由切比雪夫不等式0()()()()nknkkkDkn nPkan n12122101即)(0) 1(12326) 12)(1() 1(14222222nnnnnnnnn0) 1(2(lim1aknnPnkkn)() 1(21naknnPnkk故0) 1(2(lim1aknnPnkkn根据定义即证2DEP)()()nnkkkkEakan nn n112211()nkkk Dn n22221141第5页/共17页2、性质、性质1）、若,PnPn1)(则P证：n

4、n022nn与22nn)(0)2()2()(nPPPnn11, 0）（，从而）（有PP，由于是则 中至少有一个成立，即即 这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作相等时，依概率收敛的极限是唯一的。第6页/共17页 nn,baPnPn,).(),(),(nbaggPnn2）、设 是两个随机变量序列， a，b为常数，若且在g(x,y)在点（a,b）处连续，证明略，方法类似于1）则,PnPn)( ,nPnn3）、若)( ,nPnn则第7页/共17页二、依分布收敛二、依分布收敛 上面我们讨论了随机序列依概率收敛的概念及有关性质，现在我们要问：那么它们相应的分布),(nPn如果已知函数)()(xFx

5、Fn与之间有什么关系呢？是否对Rx都有)()(nxFxFn成立。这个猜测对不对？第8页/共17页例2、设都是服从退化分布的随机变量量，且 n,10 P, 2 , 1, 11nnPn于是对时有当1, 0n0)(nnPP所以)( ,nPn成立。第9页/共17页 n,又设的分布函数分别为),(),(xFxFn则0, 00, 1)(xxxFnxnxxFn1, 01, 1)(显然，当0 x时，有)()(limxFxFnn成立。0 x时，有)0(100lim)0(limFFnnn而当第10页/共17页 这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率收敛于某个随机变量,相应的分布函数不一定在每一点上都收敛于这个

6、随机变量的分布函数的. 但是，如果再仔细观察一下这个例子，就可以发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F(x)的不连续点在F(x)的连续点)( ,nPn当时，它们的分布函数之间就有)()(limxFxFnn成立第11页/共17页 ),(),(,21xFxFxF)()(limxFxFnn)(xFn).(),()(nxFxFwn是一列分布函数，如果对成立， 并记作1.定义定义 设定义5.3F(x)的每一个连续点x， 都有则称分布函数列弱收敛于分布函数F（x），)2 , 1(nn)(xFnn).( ,nLn若随机变量序列的分布函数弱收敛于随机变量的分布函数F（x）, 也称按分布收敛于，并记作第12页

7、/共17页2.2.依概率收敛与弱收敛之间的关系依概率收敛与弱收敛之间的关系,21)(nPn)(),(21xFxF)()(nxFxFWn定理4.若随机变量列依概率收敛于随机变量，即则相对应的分布函数列弱收敛于分布函数F（x）即证明 ：略。注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛，函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛，但在特殊情况下，它却是成立的。但在特殊情况下，它却是成立的。)(nPn)()(nxFxFWn即第13页/共17页为常数）ccPn(cxF是)(cxcxxF, 0, 1)(定理5.6 随机变量序列这里的分布函数，也就是退化分布)()(xFxFWn的充要条件为cPn)()(xFxFWn即证明 ：略。第14页/共17页. .依概率收敛与按分布收敛间的关系依概率收敛与按分布收敛间的关系)(nPn)(nLn（）（）（）（） ncPnncLn第15页/共17页)(xFn)(tn).(t定理5.7 分布函数列弱收敛于分布函数F(x)