连续性间断点

1、 第一章 1.4 1.4 函数的连续与间断函数的连续与间断一、连续函数的定义一、连续函数的定义二、函数的间断点（间断、间断点的分类）二、函数的间断点（间断、间断点的分类）三、连续函数的运算及初等函数的连续性三、连续函数的运算及初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义引例引例(1)0 xxoy0 xxoy(2)0 xxoy(3)0 xxoy(4)（4）00lim( )().xxfxfx连续连续00lim( )lim( ),xxxxf xf x)(lim0 xfxx即 不存在（2）)(lim0 xfxx存在 ，但 没有定义0()

2、f x间断间断（3）)(lim0 xfxx存在 , 有定义,但00lim( )().xxf xf x0()f x（1）, )()(lim00 xfxfxx)(xfy 0 x则称函数.)(0连续在xxf定义定义1 设函数 在 的某邻域内有定义且, 可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续连续必须具备必须具备下列下列条件条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;)()(lim00 xfxfxx欲证明)0()(lim0fxfx即0 x 证证 因为因为且且这说明：这

3、说明： 该函数在该函数在处处连续连续 .01lim sin0,xxx(0)0,f故有故有0lim( )(0),xf xf1sin, 0,0, 0.xxyxx在在处处连续连续 . 0 x 例例1.证明证明函数)(xfy xoy0 xxxy,0 xxx对自变量的增量对自变量的增量 有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx0 x)(xf函数函数 在在 连续连续有下列有下列等价命题等价命题:0 x)(xf函数函数 在在 连续连续等价于等价于定义定义1 当当自变量自变量的的增量趋于零增量趋于零时

4、，时，函数函数的的增量增量也也趋于零趋于零.)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx)()(lim000 xfxxfx)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续定理定理1 函数在函数在某点连续某点连续等价于在该点等价于在该点左连续左连续且且右连续右连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知函数已知函数21, 0,2, 0.xxyxbx在在0 x 处处连续连续，求，求b. 解解200lim( )lim(1)1,xxf xx00lim( )lim(2),xxf xxbb 因为函数在因为函数在0 x 处处连续连续， 故故0l

5、im( )xf x0lim( ),xf x所以，所以，1.b 在区间上在区间上每一点都连续每一点都连续的函数，叫做该的函数，叫做该区间上的区间上的连续函数连续函数，或者说函数在该，或者说函数在该区间上连续区间上连续。续在区间内的每一点都连内连续函数在开区间),(ba处右连续续且在点在区间内的每一点都连内连续函数在区间aba),处左连续处右连续，在点且在点续在区间内的每一点都连上连续函数在闭区间baba,(a,b函数在区间内 连续 在区间内的每一点都连续且在b处左连续),(在在 上上连续连续 .nnxaxaaxp10)(例如例如 ( 有理整函数有理整函数 )()()(xqxpxr又如又如, 有理

6、分式函数有理分式函数 在其定义域内在其定义域内连续连续.)()(lim, ),(000 xpxpxxx,0)(0 xq只要 都有)()(lim00 xrxrxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysin),(例例3. 证明函数证明函数 在在 内内连续连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样可证同样可证: 函数函数xycos在在),(内内连续连续 .0lim0yx这说明这说明xysin在在),(内内连续连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx222 sincos()212xxxyxx 0yx 即即0lim00 x 因因0lim0 xx 由夹逼定理

7、得，二、二、 函数的间断点函数的间断点0 x0 x)(xf设设 在点在点 的某的某去心邻域去心邻域内内有定义有定义 ,则下列情形则下列情形之一之一函数函数 f (x) 在点在点 不连续不连续 :0 x在在(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;虽有定义虽有定义 , 但但在在(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx虽有定义虽有定义 , 且且这样的点这样的点0 x称为称为间断点间断点 . (1) 函数函数)(xf在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1sin) 2(xytan2xyoxyxy

8、1sin0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xytan) 1 (例如例如:tan x2x在在 无定义无定义，2x所以所以 是函数的是函数的间断点间断点 2x因因 则则 为为其其无穷间断点无穷间断点 .2limtan,xx 1sinx0 x在在 无定义无定义，因当因当0 x 时，0 x函数值函数值在在-1与与1间间变动无限次变动无限次，则，则 为其为其振荡间断点振荡间断点 .) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其为其可去间断点可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(3)1xoy211(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)

9、0(f0 x为其为其跳跃间断点跳跃间断点 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x为为可去可去间断点间断点 .为为跳跃跳跃间断点间断点 .)(0 xf)(0 xf第二类间断点第二类间断点:及及中中至少一个至少一个不存在不存在 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为振荡振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为无穷无穷间断点间断点 .为为振荡振荡间断点间断点 .机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 例例4. 分析函数分析函数21( )1xf xx在点在点x = 1处的处的连续性连续性.所以所以x = 0 是第一类是第一类跳跃间断点跳跃间断点 。00lim( )lim0 xxf xx00lim( )lim(1)1xxf xx 解解: 函数在函数在x = 1处无定义，处无定义， x = 1为为间断点间断点。所以所以x = 1 是第一类是第一类可去间断点可去间断点 。2111111limlimlim1211xxxxxxxxx又例例5. 分析函数分析函数,(0)( )1,(0)x xf xxx在点在点x = 0处的处的连续性连续性.例例6. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxf间断点

11、间断点的类型的类型.解解: 可能间断点可能间断点为为x = 1， x = 2 。所以所以x = 1 是第一类是第一类可去间断点可去间断点 。2211lim32xxxx1(1)(1)lim(1)(2)xxxxx11lim2xxx2. 所以所以x = 2 是第二类是第二类无穷间断点无穷间断点 。2221lim32xxxx2(1)(1)lim(1)(2)xxxxx21lim2xxx. 定理定理2 在某点在某点连续连续的的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个结果仍是一个在该点连续在该点连续的函数的函数 .1.1.sin

12、, cosxxxx cot,tan由于由于 所以所以在其定义域内在其定义域内连续连续.x例如例如, ,由于由于 连续连续2121xx在其定义域内在其定义域内连续连续.连续连续.2xx21则则三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则2 2 复合函数的连续性复合函数的连续性处处连续连续，且，且 而函数而函数f (u)在点在点u0处处连续连续，则有，则有00(),xu定理定理3 连续函数连续函数的的复合函数复合函数是是连续连续的的. )(lim0 xfxx0lim( )xxfx即若即若 在在x0( )x0 ().fx例如例如,sin ,(,);yu u ,1xu *rx因此复合函数因此复合函数x

13、y1sin在在上*rx连续连续 .xyoxy1sin初等函数的连续性初等函数的连续性例如例如,21xy的的连续连续区间为区间为1, 1(端点为端点为单侧连续单侧连续)xysinln的的连续连续区间为区间为znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为的定义域为znnx,2因此它因此它无连续点无连续点而而基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续连续函数经函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续连续函数的函数的复合复合函数函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的重要特征：00lim( )().xxf

14、xf x0lim( )xxf x对于在点 处连续的函数 ，极限 就等于该函数在点 处的函数值( )f x( )f x0 x0 x. )()(lim)()(000 xfxfxfxfxx有定义，则，如果对于初等函数是初等函数，因为12 xex解解:处有定义，且在点2x于是由于是由初等函数初等函数在其定义区间上的在其定义区间上的连续性连续性，有，有22lim.215xxeex2lim.21xxex例例7.求sin0lim1.xxxe例例8.求0limsinsin000lim1lim111xxxxxxexee 解：解：例例10. 求求).1cos(limxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:

15、 xxxxxxx1)1)(1(coslim原式xxx11coslim0cos1120lg(100)lim.2tanxxxx例例9.求解解:原式原式120lg(1000)2.2tan0四四、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质xoyab)(xfy 12定理定理4.4.（最值定理）（最值定理）在在闭区间闭区间上上连续连续的函数在该区间的函数在该区间上一定有上一定有最大值最大值和和最小值最小值. .即即: 设设, ,)(bacxf则则, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa(证明略证明略)结论结论不一定不一定成立成立 .注意注意: 若函数在若函数在开区间开

16、区间上上连续连续, 或在或在闭区间闭区间内内有间断有间断 点点 ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 bxoya)(xfy 12mm,)(baxf在因此由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(bacxf,)(mxfm有上有界上有界 .xyoab)(xfy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理6. ( 零点定理零点定理 ), ,)(bacxf至少有一点至少有一点, ),(ba且且使使.0)(f0)()(bfaf( 证明略证明略 )定理定理5.在在闭区间上连续闭区间

17、上连续的函数在该区间上的函数在该区间上有界有界. 证证: 作辅助函数作辅助函数cxfx)()(则则,)(bacx 且且)()(ba )(cbca0故由故由零点零点定理知定理知, 至少有一点至少有一点, ),(ba使使,0)(即即.)(cfabxoya)(xfy bc机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 , ,)(bacxf且且,)(aaf,)(babbf则对则对 a 与与 b 之间的任一数之间的任一数 c ,一点一点, ),(ba使使.)(cf至少有至少有定理定理7. ( 介值定理介值定理 )小结 目录 上页 下页 返回 结束 510 xx 至少有一个小于至少有一个小于1的实根。的实根。例

18、例11. 证明证明方程证证: 设设3( )1f xxx且且(1)10,f (0)10f 根据根据零点定理零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即510 3( )1f xxx0,1在 连续连续内容小结内容小结)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型左连续左连续)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf右连续右连续)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数分段函数在界点处是否连续需讨论其在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等