第二章多元函数微分法及其应用第五节方向导数与梯度

1、第五节第五节 方向导数与梯度方向导数与梯度一一 方向导数方向导数二二 梯度梯度 实例实例：一块长方形：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标的金属板，四个顶点的坐标是是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐标原点处有一在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成温度与该点到原点的距离成反比在反比在(3,2)(3,2)处有一个蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快向爬行才能最快到达较凉快的地点？的地点？ 问题的问题的实质实质

2、：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向向( (即梯度方向即梯度方向) )爬行爬行1 1 问题的提出问题的提出 一一 方向导数方向导数000(, )0p xy ),(,(0000yxfyxm xyzo 讨论函数讨论函数 在一点在一点p沿某一方向的变化沿某一方向的变化率问题率问题),(yxfz oyxlp xy( , )( , )()zf x yp x yu ppl 设设函函数数在在点点的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，自自点点引引射射线线 ,(,)( ).xlp xx yylpu p 设轴正向到射线 的转角设轴正向到射线 的转角为并设为并设为上的另一点且为上的另一点且2

3、方向导数的定义方向导数的定义p |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf ,z 考虑考虑是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 22(,)( , ),()()f xx yyf x yp pxyplppl 函数的增量与函数的增量与两点间的距离之比值，当两点间的距离之比值，当沿着 趋于时，如果此比的极限存在，则称这极限沿着 趋于时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方为函数在点沿方定义定义方方向 的向 的向导数向导数记为记为证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于

4、函数可微，则增量可表示为 ),(),(yxfyyxxf两边同除以两边同除以,得到得到yyfxxf )( o cos cos ),(),(yxfyyxxf故有方向导数故有方向导数.coscos yfxf lf )(oyyfxxf 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)22(2221 lz.22 cos ,cos|pqpq 22,22 如果记如果记 为为x到到l方向的转角方向的转角, 则方向导数的计算则方向导数的计算公式为公式为 lz cosxz sinyz 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向的逆时

5、针转角，方向的逆时针转角，,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos ),4sin(2 故故22),(yxyxyxf x l例例2 求函数求函数在点（在点（1，1）处）处沿任何一方向沿任何一方向l 的方向导数，并问在怎样的方向上此方的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导向导 数有（数有（1）最大值；（）最大值；（2）最小值（）最小值（3）等于零？）等于零？设设 为为轴到轴到则则,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义.coscoscos zfyfxflf 解解令令, 632),(222

6、zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例4 设函数设函数,),(2zyxzyxf 求函数在点求函数在点m ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向在该点切线方向的方向导数的

7、方向导数解解 曲线曲线 12 32tztytx在点在点m (1,1,1) 处切线的方向处切线的方向向量为向量为3,4,11dd,dd,dd ttztytxll 的方向余弦为的方向余弦为263,264,261 )1 ,1 ,1(coscoscos zyxmffflf266 二二 梯度梯度1 1 场的概念场的概念定义定义如果对区域如果对区域 中的每一点，中的每一点，对应着物理量对应着物理量的一个确定的值，的一个确定的值， 则称在区域则称在区域 确定了该物理量的一确定了该物理量的一个个场场，当对应的物理量为数量时，则称为当对应的物理量为数量时，则称为数量场数量场， 当对当对应的物理量为向量时，则称为

8、应的物理量为向量时，则称为向量场向量场。 上的数量场上的数量场区域区域 上的数量函数上的数量函数)(muu 上的向量场上的向量场区域区域 上的向量函数上的向量函数)(maa 在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下， 数量函数可以表示为数量函数可以表示为),(,zyxuu 向量函数可以表示为向量函数可以表示为kzyxrjzyxqizyxpa),(),(),( 由方向导数公式由方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量方向导数取最大值：方向导数取最大值：,zfyfxfg cos,cos,cos0 l),cos(0lgg )1(0 l0lglf ,0方向一致时方向一致时与与当当g

9、l glf max2 2 梯度的概念梯度的概念设数量场设数量场),(zyxfu 一阶偏导数连续，一阶偏导数连续，l方向的方向的方向余弦为方向余弦为,cos,cos,cos 这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值:g定义定义如果在数量场如果在数量场)(muu 中一点中一点m处，处， 存在存在这样一个向量这样一个向量,g其方向为数量场其方向为数量场)(mu在点在点m处变处变化率最大的方向，化率最大的方向，其模恰为这个最大变化率的数值，其模恰为这个最大变化率的数值， 则则称向量称向量g为数量场为数量场)(mu在点在点m处的处的梯度梯

10、度(gradient),记作记作),(gradmu或或.gradu当当),(zyxfu 且且),(zyxf一阶偏导数连续时一阶偏导数连续时uadrgkzfjyfixf 当当),(yxfu 且且),(yxf一阶偏导数连续时一阶偏导数连续时uadrgjyfixf 说明说明:函数沿函数沿l方向的方向的方向导数方向导数为梯度在该方向上为梯度在该方向上的投影的投影.引入哈密尔顿微分算子引入哈密尔顿微分算子zkyjxi 则梯度可以表示为则梯度可以表示为fu gradf 函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线或等值线) ,指向函数增大的方向指向函数增大的方向.另一方面，函

11、数另一方面，函数),(zyxfu 在点在点p处沿梯度方向处沿梯度方向的方向导数是最大的，的方向导数是最大的，从而沿梯度方向函数值是增加从而沿梯度方向函数值是增加的，的， 所以所以3 梯度的几何意义梯度的几何意义 函数函数, ),(zyxfu 过点过点000( , , )(,) ,f x y zf xy z 当各偏导数不同时为当各偏导数不同时为零时零时,其上其上点点p 处的法向量为处的法向量为.gradpf pzyxfff| ,000(,)p xy z有等值有等值(量量)面面解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxu ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故.1

12、225)2 , 1 , 1(gradkjiu 例例6 求数量场求数量场)2(16222zyxu 在点在点)1 , 1 , 2(处处沿曲面沿曲面82222 zyx的内法向的方向导数。的内法向的方向导数。分析：分析： 曲面曲面82222 zyx在点在点)1 , 1 , 2(处的等值面，处的等值面，为函数为函数)2(16222zyxu 其内法向其内法向 u 的函数值增大的的函数值增大的方向，方向， 根据梯度的几何意义：根据梯度的几何意义：数量场数量场u 为在点为在点m 处的梯处的梯度为函数度为函数u 过点过点m 的等值面的法向，的等值面的法向， 且指向且指向u 函数值增函数值增加一方，加一方，822

13、22 zyx因此因此在点在点)1 , 1 , 2(处的内法向处的内法向为数量场为数量场u 在点在点)1 , 1 , 2(处梯度的方向，处梯度的方向， 再由梯度的定义再由梯度的定义数量场数量场u 沿梯度方向的方向导数最大，沿梯度方向的方向导数最大， 最大的方向导数最大的方向导数为梯度的模。为梯度的模。例例6 求数量场求数量场)2(16222zyxu 在点在点)1 , 1 , 2(处处沿曲面沿曲面82222 zyx的内法向的方向导数。的内法向的方向导数。解解 xux2 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(4 yuy2 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(2 zuz4 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(4 ugrad)1 , 1 , 2(kji424 lu222)4()2()4( 6 例例7,)(可导可导设设rf),(222zyxpzyxr为点为点其中其中 证证:xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)( rzrfzrf