恒定流动量方程

1、 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程1第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程动量定律：动量定律：作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。vmddtF即：即： 恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，特别是流体特别是流体与固体之间的总作用力。与固体之间的总作用力。 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程2vmddtF222111F dtd mvQ dt vQ dt v 222111FQvQ v 现以现以恒定总流恒定总流的一段为例，取的一段为例

2、，取1和和2两个渐变流断面间的流两个渐变流断面间的流体为体为研究对象研究对象，两断面间流段，两断面间流段1-2在在dt时间后移动到时间后移动到1-2。1. 动量方程的推导动量方程的推导A111v1dtA222v2dt 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程32202AAu dAu dAaQvAv（3-13-1） 方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀分布的，以动量修正系数分布的，以动量修正系数a0修正。修正。 a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：定义为实际动量和按照平均流速计算的动

3、量的比值。即：工程计算中取工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：动量方程式改写为：1110122202vQavQavmdF（3-13-2）这就是这就是恒定流动量方程式恒定流动量方程式。 a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大，取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大， a0越大，一般取越大，一般取a0 =1.05 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程4 将将物质系统物质系统的动量定理应用于的动量定理应用于流体流体时，动量定理的表时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它流体段（简称流段，它是由流体

4、构成的）是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占位时间内流出该流段所占空间空间的流体动量与流进的流体的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。和，即外力之和。0222201111FaQvaQ v （3-13-23-13-2）2.2.公式说明：公式说明： 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程5控制体控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间

5、体积。它的边界面称为控制面需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面p 系统与控制体系统与控制体系统系统：是一团确定不变的流体质点的集合。：是一团确定不变的流体质点的集合。 系统外的一切称为外界。系统外的一切称为外界。 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程6 将将物质系统物质系统的动量定理应用于的动量定理应用于流体流体时，动量定理的表述形时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它是由流体流体段（简称流段，它是由流体构成的）构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出的动量在单位时间内的变化，等于单位

6、时间内流出该流段所占该流段所占空间空间的流体动量与流进的流体动量之差；该变化的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。 动量定理本身的描述是针对特定的物质系统动量定理本身的描述是针对特定的物质系统（拉格朗日（拉格朗日法）法）而言的，是而言的，是拉格朗日的描述方法，拉格朗日的描述方法，而公式中而公式中“流进流进”和和“流出流出”的流体不属于同一系统，这种表述是的流体不属于同一系统，这种表述是欧拉法欧拉法的。的。 在流体力学中，在流体力学中，控制体控制体是在对流动规律的拉格朗日描述转是在对流动规律的拉格朗日

7、描述转换到欧拉描述时所出现的概念，是换到欧拉描述时所出现的概念，是欧拉法欧拉法所采用的概念。所采用的概念。1110122202vQavQavmdF（3-13-2）2.2.公式说明：公式说明： 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程73.3.适用条件适用条件：恒定流恒定流 过水断面为均匀流或渐变流过水断面过水断面为均匀流或渐变流过水断面 无支流的汇入与分出。无支流的汇入与分出。0222 20333 301 11 1FQ vQ vQv n如图所示的一分叉管路，如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：动量方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v202222011

8、11FaQvaQ v （3-13-2） 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程8对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，1=2=和连续性方程和连续性方程Q1=Q2，其恒定流动能量，其恒定流动能量方程为：方程为：101202vQavQaF（3-13-33-13-3）在直角坐标系中的分量式为：在直角坐标系中的分量式为：zzzyyyxxxvQavQaFvQavQaFvQavQaF101202101202101202（3-13-43-13-4）工程计算中，通常取工程计算中，通常取a01=a02=1 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程9

9、动量方程是一个动量方程是一个矢量方程矢量方程。应首先选择和在图上标明坐标。应首先选择和在图上标明坐标系。注意外力、速度的方向问题，它们与坐标方向一致时系。注意外力、速度的方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。为正，反之为负。全面分析作用于控制体的全面分析作用于控制体的所有外力所有外力。动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒制体的动量，两者不能颠倒 。动量修正系数动量修正系数在计算要求精度不高时，常取在计算要求精度不高时，常取1。动量方程中的各项物理量的动量方程中的各项物理量的单位要一致单位要一致。统一

10、采用国际单。统一采用国际单位制中的位制中的m、kg、N(kN)和和s。若力的单位为。若力的单位为kN，取取1，若，若力的单位为力的单位为N，则，则 取取1000。4.4.应用动量方程应用动量方程应注意的问题：应注意的问题：0222201111FaQvaQ v （3-13-23-13-2） 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程10p 两端断面上的水总压力两端断面上的水总压力P1、P2。p 边界的摩擦力边界的摩擦力T（可忽略）。（可忽略）。p 控制体的重力控制体的重力G。p 固体边界给控制体水流的总作用力固体边界给控制体水流的总作用力R。GRPPF21xxxxx

11、GRPPF21yyyyyGRPPF21yyyyyGRPPF21在各轴的投影在各轴的投影作用于控制体的所有外力作用于控制体的所有外力 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程11根据动量方程可求出固体边界给控制体液流（即壁面对流根据动量方程可求出固体边界给控制体液流（即壁面对流体）的总作用力体）的总作用力R，而求解问题中往往需要确定流体作用，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力在壁面上的力R，这两个力按牛顿第三定理，这两个力按牛顿第三定理 R =R。222zyxRRRR222zyxRRRRR21FQ vQ v 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒

12、定流动量方程恒定流动量方程125. 应用动量方程式解决问题的步骤：应用动量方程式解决问题的步骤：（）取控制体；（）取控制体；（3）正确分析受力，未知力设定方向；）正确分析受力，未知力设定方向； （2）建立坐标系）建立坐标系 以计算简便为原则以计算简便为原则（）流出和流进控制体的动量差：（）流出和流进控制体的动量差： (下游断面的动量下游断面的动量)(上游断面的动量上游断面的动量) 1122FP1FP2FRFG动量方程解决的是固体壁面和流体之动量方程解决的是固体壁面和流体之间相互作用的整体作用力，应使控制间相互作用的整体作用力，应使控制体既包含待求作用力的固壁，又不含体既包含待求作用力的固壁，又

13、不含其他的未知作用力的固壁其他的未知作用力的固壁（5）联立动量方程求解。）联立动量方程求解。 21()xxQ vv 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程136. 动量方程式在实际工程中的应用动量方程式在实际工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程14例例3-15 水在直径为水在直径为10cm的的60水平弯管中，以水平弯管中，以5m/s的流速流的流速流动。弯管前端的压强为动。弯管前端的压强为0.1at(9807Pa)。如

14、不计水头损失，也不考。如不计水头损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管虑重力作用，求水流对弯管1-2的作用力。（弯管水平放置）的作用力。（弯管水平放置）解解（1）确定控制体。）确定控制体。取控制体为取控制体为1-2断面间弯管占有的空间；断面间弯管占有的空间； （2）选择坐标系。）选择坐标系。如图所示；如图所示； xyz60A1A2v2v12p1p1122x轴为弯管进口前管道的轴线轴为弯管进口前管道的轴线xy平面为水平面平面为水平面 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程15（3）控制体内流体受力分析。）控制体内流体受力分析。由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括

15、：由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括：断面断面1上：上：P1=p1A1；断面断面2上：上：P2=p2A2；其余表面：弯管内表面的作用力设为其余表面：弯管内表面的作用力设为 ，其投影与，其投影与x轴成轴成角。角。未知压强未知压强p2应用能量方程：应用能量方程： 由于由于Z1=Z2，v1=v2=v，可得：，可得：R2211221222pvpvZZgggg129807pppPaxyzR60A1A2v2v12p1p1122可求出在可求出在x、y轴上的分力轴上的分力 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程16（4）流出和流进控制体的动量差：）流出和流进控制体的动量差

16、：xyzR60A1A2v2v12p1p1122由于断面面积不变由于断面面积不变v1= v2=5m/s（5）联立动量方程得：）联立动量方程得：1 12 2211 1212cos60cos1cos60coscos60cos601xxxVFpAp ARpARQvvv A vvAv21()xxQ vv 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程1722212221sin 60sinsin 60sinsin 600sin 60yVyyzzvzzFp ARpARQvvvA vAvFRQvv 22211cos60coscos601sin60sinsin60zvzzpARAvpA

17、RAvRQ vv29807(0.1 )77.14pAPamN也即：也即： 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程1823223277.11cos 60cos1000/(0.1 )5/cos 601477.1sin 60sin1000/(0.1 )5/sin 6040NRkgmmmsNRkgmmmsRz272 ,60 ,0zRNR联立求解，得：联立求解，得：（6）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反。的作用力大小相等方向相反。 因此水流对弯管的作用力因此水流对弯管的作用力F为：为： F=272N，方向与，

18、方向与R相反。相反。FR 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程19【例】【例】 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由，直径由 dA200 mm 变为变为 dB150 mm ，在流量，在流量 时，压强时，压强 ，求水流对，求水流对 AB 段段 弯管的作用力。不计弯管段的水弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。头损失。（弯管水平放置）（弯管水平放置）o60sQ/m1 . 032KN/m 18Ap解：解：222221 4 3.18 m/s4 5.66 m/s2 ()7.03 KN/m22ABAABBBABBAvvQvdQ

19、vdpvvppgg（）用连续性方程计算和（ ）用能量方程计算BAyxoQxRyRB 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程202223 () () cos(cos)44 sin4xyxBxAxyByAyAABBxBABBABRRxyFQ vvFQ vvpdpdRQ vvpd（）将流段作为隔离体取出，规定坐标正方向，假定弯管反力和的方向，写和两个坐标方向的动量方程：代入题中的外力和流速，注意力和流速的正负性221(sin0) 0.538 KN , 0.598 KN , tanyBxyyxyxRQvRRRRRRR代入已知数据可求得。相反，即方向弯管的反力大小相等，

20、流体对弯管的作用力与结论：）（ 4RRBAyxoQxRyRB 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程21【例【例】如图所示，夹角呈如图所示，夹角呈60的分岔管水流射入大气，干的分岔管水流射入大气，干管及管的轴线处于同一水平面上。已知管及管的轴线处于同一水平面上。已知v2=v3=10m/s，d1200mm，d2120mm，d3100mm，忽略水头损，忽略水头损失，试求水流对分岔管的作用力分量失，试求水流对分岔管的作用力分量Fx、Fy。1122333030Q1Q3Q2FxFyoxy解解（1）确定控制体。）确定控制体。 取过流断面取过流断面1-1、2-2、3-3及管

21、壁及管壁所围成的空间为控制体；所围成的空间为控制体；（2）选择坐标系，如图所示；）选择坐标系，如图所示； 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程22（3）控制体内流体受力分析。）控制体内流体受力分析。 过流断面过流断面1-1上的压力上的压力P1； 过流断面过流断面2-2和和3-3上的压力上的压力P2P30； 分岔管对水流的作用力分岔管对水流的作用力Fx、Fy；1122333030Q1Q3Q2FxFyoxy（4）列动量方程）列动量方程x，y轴方向的投影式轴方向的投影式12 23 31 1v cos30v cos30vxP FQQQ 2233v sin30v si

22、n300yFQQ 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程23n以分岔管轴心线为基准线，列以分岔管轴心线为基准线，列1、2断面伯努利方程断面伯努利方程232221dv0.113/4Qms233331dv0.079/4Qms31230.192/QQQms1121v6.115/1d4Qm s22112vv00022pgg2221131.3032vvpkPa 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程24n将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力0.49xFkN0.17yFkNn水流对分岔管的作用力

23、水流对分岔管的作用力0.49xFkN0.17yFkN方向与方向与ox 轴方向相同轴方向相同方向与方向与oy 轴方向相反轴方向相反 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程25 【例】【例】 有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为90，起始断面起始断面1-1与终止断面与终止断面2-2间的轴线长度间的轴线长度L为为3.14m，两断面，两断面中心高差中心高差z为为2m，已知断面，已知断面1-1中心处压强中心处压强p1为为117.6kPa，两，两断面之间水头损失为断面之间水头损失为0.1m，管径，管径d为为0.2m。试求当管中流

24、量。试求当管中流量Q为为0.06m3/s 时，水流对弯头的作用力。时，水流对弯头的作用力。 解解（1）确定控制体。）确定控制体。取控制体为取控制体为1-1,2-2断面间弯管占有的空间；断面间弯管占有的空间； （2）选择坐标系，如图所示；）选择坐标系，如图所示； Oxz 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程26（3）求管中流速和断面）求管中流速和断面2-2中心处压强中心处压强p2m/s911420143060406022.d.AQv以断面以断面2-2为基准面，对断面为基准面，对断面1-1与与 2-2写能量方程写能量方程22121 2022lppvavzhgg

25、于是于是 211 2lppzh RZZ1 20 1mlh.21kN/m6117.p m2z22kN/m2136.p 将将代入上式代入上式得得 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程27n 重力：弯头内水重重力：弯头内水重kN970204143143891422.dLggVGn 作用于断面作用于断面1-1与与2-2上的总压力上的总压力kN693420143611742211.).(.dpPkN284420143213642222.).(.dpPRZZ（4）受力分析）受力分析n 令管壁对水体的作用力在水平和铅垂方向令管壁对水体的作用力在水平和铅垂方向的分力为的分力

26、为 及及 ，xRzR 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程28（5）对弯头内水流沿）对弯头内水流沿x、z方向分别写动量方程式方向分别写动量方程式l 沿沿x方向动量方程为方向动量方程为1(0)xPRQv1369 1 006 191 380kNxRPQv. 2(0)zPGRQv l 沿沿z方向动量方程为方向动量方程为得得24 280 971 1 0 06 1 913 42kNzRPGQv. 得得RZZ 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程29管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力22223 803 425 11kNzxRRR

27、( .)( .).作用力作用力R与水平轴与水平轴x的夹角的夹角 41 99zxRarctg().R水流对管壁的作用力与水流对管壁的作用力与R大小相等，大小相等，方向相反。方向相反。RZZ 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程30第三章第三章 一元流体动力学基础一元流体动力学基础 n第一节第一节 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法n第二节第二节 恒定流和非恒定动流动恒定流和非恒定动流动n第三节第三节 流线和迹线流线和迹线n第四节第四节 一元流动模型一元流动模型n第五节第五节 连续性方程连续性方程n第六节第六节 恒定元流能量方程恒定元流能量方程n第七节第七节 过流