无穷级数检测题

1、2 2 2 2 23 3 3 3 31211111,5,( 1)2,()nnnnnnnaaa 已已知知则则( )3a一、选择题一、选择题(3(3分分/ /题题, ,共共1515分分) )( )10b( )8c()12d12,()nna 若若级级数数收收敛敛 则则有有1( )nna aa 1( )nb an ( ) lim0nncna n inida1( )lim0 cdnnnnnbbbbbsn12113,0,() 若若, ,级级数数收收敛敛于于则则( )as收收敛敛于于( )b 收收敛敛, ,但但不不收收敛敛于于s s( )c 发发散散( )d 不不能能判判定定c4 4 4 4 4nnnf x

2、xxs xbn xxbf xn x ns2110125,( ),01,( )sin,()2( )sin,(1,2,()() 设设而而其其中中则则a1( )2 b1( )4 c1( )4d1( )2b1214,0,( 0,),2(1) (tan)()nnnnnnaanan 若若, ,级级 数数收收 敛敛常常 数数则则 级级 数数( )a 绝绝对对收收敛敛( )b 条条件件收收敛敛( )c 发发散散 ( )d 敛敛散散性性与与 有有关关a5 5 5 5 52、填空（、填空（3分分/题题, 共共15分）分）nnn112,2 级级数数的的和和等等于于03,(1)!nnxn 级级数数的的和和函函数数为为

3、nnnnxn211,3( 2) 幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间为为 (3, 3) ln2xexs xxx1,0( )1,0 nnnf xxxfourieras xanxbnxa5014,( ),(),( )(cossin),2 5 5设设其其级级数数为为则则其其中中的的值值为为06 6 6 6 6nnnn231(531)5, 为为常常数数 级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件为为nnn2,(8)sin,. n n= =1 1三三分分 研研究究级级数数的的敛敛散散性性其其中中为为常常数数53 nnnnnnn2:sinsin()( 1) sin() 解解nzn( 1) sin()0 当当时时,

4、,7 7 7 7 7nnn2sin n n= =1 1级级数数发发散散nnnnznnn2sin( 1) sin()( 1)sin() 当当时时, ,nnnnn2( 1)sin()sin n n= =1 1又又单单调调收收敛敛于于零零, ,故故级级数数收收敛敛nnn2sin n n= =1 1此此时时, ,若若0 0, ,级级数数条条件件收收敛敛nnn2sin n n= =1 1若若0 0, ,级级数数绝绝对对收收敛敛于于0 08 8 8 8 8nnnn2( 1),(8.( 1) 四四分分) )判判别别级级数数的的敛敛散散性性:,解解先先讨讨论论绝绝对对收收敛敛性性nnnn( 1)1:1( 1)

5、 解解nnnnnn121( 1).1( 1) 而而发发散散, ,故故级级数数非非绝绝对对收收敛敛,再再讨讨论论条条件件收收敛敛性性nsnn2111111()()(),3254212 9 9 9 9 9nsnn211()0,212 故故单单调调下下降降nsnnnnn2111111()()()3254212111111()()()42642221112222 ns2故故有有下下界界nnsss22 n n故故有有极极限限, ,令令 l li immnnnsssnns212211()2323 n nn nn nn n又又l li imml li imml li imml li imm101010101

6、0nnnn2( 1).( 1) 故故级级数数条条件件收收敛敛1111111111 1.(8),( 1),nnnnaa 五五分分 设设正正项项数数列列单单调调减减少少 且且发发散散nnnnaaaa:0,lim0 解解且且单单调调下下降降 故故nnnnnnnnaaaa11lim0,( 1)( 1) 若若则则收收敛敛与与发发散散矛矛盾盾nnaalim0, 故故 nnnnnaana11111111 n n对对级级数数利利用用柯柯西西判判别别法法l li imm nnan111. 故故级级数数收收敛敛11?.1nnna 试问级数是否收敛 说明理由试问级数是否收敛 说明理由1212121212 nnf x

7、xafffn1.(10)( ),0,(0)1,(0)2,1()1 六六分分 设设为为偶偶函函数数 在在的的某某邻邻域域内内有有连连续续的的二二阶阶导导数数, ,且且单单调调减减少少 且且试试证证绝绝对对收收敛敛f xx:( )0 解解为为偶偶函函数数, ,且且在在的的某某邻邻域域内内有有连连续续的的二二阶阶导导数数ff(0)0(0)20 又又2f xxf xffxfxo xxfonnnn222( )01,1( )(0)(0)(0)()2!11111()12()2 故故在在处处取取得得极极小小值值在在泰泰勒勒公公式式+ +中中取取得得1313131313fonnnn2221111()1() 故故

8、nfn11()1 所所以以绝绝对对收收敛 (8)1nnnxn 七七分分 求求的的和和函函数数及及收收敛敛域域. .nnxx11:1 解解对对两两边边求求导导得得nnnxx1211(1) x两两边边同同乘乘以以 得得nnxnxx21(1) 两两边边积积分分: :xnnnxxdxxnxxx120111ln(1)1(1)1 1515151515nnnn1100,1 另另一一方方面面nnxxnxxxnx1111ln(1),0110,0 nnnannnan nn211(1)21(2)1 n nn nn n收收敛敛域域: :l li imml li imml li imm11 收

9、收敛敛半半径径r rx1 当当时时nnnn11( 1)()1 级级数数发发散散 通通项项不不趋趋于于零零1616161616x1 当当时时nnn1()1 级级数数发发散散 通通项项不不趋趋于于零零nnnxn111 故故的的收收敛敛域域为为(-1,1).(-1,1).1717171717f xx21, (8)( )(1) 八八分分 将将展展开开为为麦麦克克劳劳林林级级数数. .xnndxxxxxx2011:1(1)11 解解两两端端求求导导: :nnnxx1211(1) 1818181818nf xxfouriern1, (10)( )()0,2 2( 1).21 n n= =0 0九九分分 将

10、将函函数数在在区区间间内内展展开开为为级级数数, ,并并求求的的和和 2011:coscos22nxtanxdxtxnnt dt 解解令令1( 1)cos0(1,2,3,)2ntntdtn 2011sin(1,2,3,)2nxbnxdxnn 111( )()sin(02 )2nf xxnxxn 1919191919,2x 令令得得11( 1)421nnn 2020202020 4201, (10)tan,(1),(2):0,.nnnnnaxdxaanan n n= =1 1n n= =0 0十十分分 设设+ +的的值值试试证证 对对任任意意常常数数级级数数收收敛敛 2442002244004011:(1)tantan11tan(1 tan)tansec11tan(tan )(1)nnnnnnnaaxdxxdxnnxx dxxxdxnnxdxnn n 解解+ +111,(1)nsn 211,nnaan n n= =1 1+ +