格林公式北工大

1、三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系,)()( tytxc ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为其切向量为其切向量为).( ),(ttt ,),( 处处的的切切向向量量的的方方向向角角为为上上点点yxc,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt cdttttttqtttp)()()()()()()()(222222 cdsqp)coscos( 则则 cdttqtp )()( cqdypdx ccdsqpqdypdx)coscos( 即即- - 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyxc

2、 ccdsrqprdzqdypdx)coscoscos( 则则 cdsta可用向量表示可用向量表示，其中其中,rqpa ,cos,cos,cos t处处的的单单位位切切向向量量上上点点),(zyxc（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）cdd1. 1. 区域连通性的分类区域连通性的分类 设设d d为平面区域为平面区域, ,如果如果d内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围多连通区域多连通区域单连通区域单连通区域否则否则, ,称为称为多连通区域多连通区域. .则称则称d d为平面为平面单连通区域单连通区域, ,成的部分都属于成的部分都属于d d, ,四、四、格林公式格林公式dll当观察者沿边界

3、行走时当观察者沿边界行走时, ,规定规定 边界曲线边界曲线l l的的正向正向区域区域d d总在他的总在他的左边左边. .xyodl格林公式格林公式定理定理 若函数若函数 及其偏导数及其偏导数),(),(yxqyxpypxq ,在有界闭区域在有界闭区域d上连续，则有上连续，则有 .qdypdxdxdyypxqd其中是围成闭区域其中是围成闭区域d的边界封闭曲线，的边界封闭曲线， 取正向取正向格林公式格林公式格林公式有两个等式组成：格林公式有两个等式组成： ,pdxdxdyypd .qdydxdyxqd证明证明 (1)(1) 若区域若区域 d d 既是既是 x x型又是型又是y y 型型. . .)

4、,()( :21dycyxyd ddxdyxqdydxxqdcyy )()(21 dyyyqyyqdc ),(),( 12 ce)(1yx oxydcd)(2yx qdy 21qdyqdy),( :11yx . :cdy2 1 ),( :22yx . :dcy dcdyyyqqdy),(22 qdy 21qdyqdy dcdcdyyyqdyyyq),(),(12 . ddxdyxqce)(1yx oxydcd)(2yx cddyyyqqdy),(11 dcdyyyq),(1 2 1 qdy 21qdyqdy dcdcdyyyqdyyyq),(),(12 . ddxdyxq类似，把类似，把 d

5、d 看成看成 x x 型，有型，有 pdx. ddxdyyp两式相加得两式相加得.)( qdypdxdxdyypxqd证明证明 (2)(2) 1 2 3 d d1d2d3d 321)()(dddddxdyypxqdxdyypxq 321)()()(ddddxdyypxqdxdyypxqdxdyypxq 321qdypdxqdypdxqdypdx qdypdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对d 证明证明 (3)(3)由由(2)(2)知知3 2 g gf fc ce e1 a ab b ddxdyypxq)( ceafcbaab2 cgaecqdypdx)(3 qdypdx 231)(

6、qdypdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对d lxyyxdd(1) (1) 计算平面面积计算平面面积 ldyqxpyxypxqdddd格林公式格林公式 lxyyxadd21得得 dyxdd2闭区域闭区域d d的面积的面积取取,xqyp 例例1 1计算计算 其中其中c c是圆周是圆周 cydxxdyxy,22,222ayx 取正向取正向 例例2 2 求椭圆求椭圆 20 ,sin,cos ttbytax所围成的面积所围成的面积. . ldyqxpyxypxqdddd)(2. .1解解,yep yxexyqy23 ,yeyp yeyxq 33yypxq 由由格林公式格林公式有有 ldy

7、qxpyxypxqdddd i对称性对称性例例3 3 lyyyyxexyxei,d)2(d3计计算算其中其中l l为圆周为圆周xyx222 的的正向正向. .oxy yxyddd30解解xyold 1daly yx xo o围成围成应用格林公式，得应用格林公式，得0 012222 dxdyyxydxxdyyxydxxdydl lyxydxxdyyxydxxdy2222.20 : .sin,cos : ayaxl daaa22222sincos 20 (2) (2) 当时，作位于当时，作位于d d内圆周内圆周d )0 , 0(,:222ayxl 记记 由和所由和所1d l.2 ( (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) )则则 ypxq解解 令令, 0 p2yxeq 例例5 5为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域. . dyyxe,dd2计算计算是是其中其中d)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(bao以以 ldyqxpyxypxqdddd)(格林公式格林公式 dyyxedd2 boaboayyxed2 oayyxed2 abyyxed2 boyyxed22ye )1(211