测量学ppt-第3章测量误差基本知识

1、第三章第三章 测量误差基本知识测量误差基本知识主要内容 观测误差的分类观测误差的分类 衡量精度的标准衡量精度的标准 算术平均值及其观测值的中误差算术平均值及其观测值的中误差 误差传播定律误差传播定律 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 间接平差原理间接平差原理3.1 观测误差的分类观测误差的分类测量误差产生的原因测量误差产生的原因测量误差的分类与处理原则测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性偶然误差的特性ABACB180CBA一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因中丝读数：中丝读数：159115921593一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因一、测

2、量误差产生的原因AB水准测量水准测量水准管水准管视准轴视准轴i角角一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因观测值观测值实际值实际值一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因u人（观测者）人（观测者）u仪器仪器u外界环境外界环境观观测测条条件件凡是观测条件相同的同类观测称为凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测等精度观测”，观测条件不同的同类观测则称为观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测不等精度观测”。二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则u系统误差系统误差u偶然误差偶然误差u粗差粗差系统误差系统误差: :在相同观测条

3、件下，对某一量进行一在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。都相同或者具有一定的规律性。系统误差具有积累性系统误差具有积累性, ,可以利用其规律性对观测值进可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱。行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱。010203030.04NSSLL NS040. 二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则偶然误差：偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现

4、的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任何规律性；但就大量的误差而言，何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律具有一定的统计规律。偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最可靠值。理，可以求得参数的最可靠值。8.51 2 3 4 5 6 7 8.4 8.7 8.5 8.6 8.3 8.2 8.60.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1N二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则粗差：粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于

5、限差的误由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。差。在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除。将其剔除。N二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性1 1、真值和真误差、真值和真误差真值：真值：某一个量的真实值（某一个量的真实值（X）在相同观测条件下，对此量进行在相同观测条件下，对此量进行n次观测，观测值：次观测，观测值： L1，L2， ， Ln真误差真误差: :真值真值 X 与观测值与观测值 Li 之间的差值，用之间的差值，用i 表示表示。 i = X - Li2 2、实例、

6、实例161241021360158560227 )(321iiiLLL 三角形内角和真误差三角形内角和真误差: :在相同的观测条件下，观测了在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。个三角形的全部内角。i = 180 (i = 1,2,3,.358)三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性误差分布表误差分布表误差区间误差区间正误差正误差负误差负误差合计合计个数个数频率频率个数个数频率频率个数个数频率频率0 0 3 3 45450.126 0.126 46460.128 0.128 91910.254 0.254 3 3 6 6 40400.112 0.112 41410.115 0.11

7、5 81810.226 0.226 6 6 9 9 33330.092 0.092 33330.092 0.092 66660.184 0.184 9 9 1212 23230.064 0.064 21210.059 0.059 44440.123 0.123 1212 1515 17170.047 0.047 16160.045 0.045 33330.092 0.092 1515 1818 13130.036 0.036 13130.036 0.036 26260.073 0.073 1818 2121 6 60.017 0.017 5 50.014 0.014 11110.031 0.0

8、31 2121 2424 4 40.011 0.011 2 20.006 0.006 6 60.017 0.017 2424 0 00.000 0.000 0 00.000 0.000 0 00.000 0.000 合计合计1811810.506 0.506 1771770.494 0.494 3583581.000 1.000 三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性频率直方图频率直方图k / nd-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 +3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性3 3、偶然误差的四个特性、偶然误差的四个特性

9、 niinn1n210lim其其中中有限性：有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；会超过一定的限值； 集中性集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；的概率大；对称性：对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；同；抵偿性：抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即均值趋近于零。即: :三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性误差分布曲线：正态分布误差分布曲线：正态分布), 0(2

10、 Nnnnnnlimlim222212 标准差：标准差：方差：方差：nnlim 概率密度函数概率密度函数：22221)(ef观测条件观测条件 误差分布误差分布精度精度：一组观测值：一组观测值误差分布误差分布的密集或离散程度。的密集或离散程度。三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性精度精度( (precise) ) 和准确度和准确度( (accuracy) )高精度，低准确度高精度，低准确度高准确度，低精度高准确度，低精度低准确度，低精度低准确度，低精度高准确度，高精度高准确度，高精度3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准中误差中误差相对误差相对误差极限误差极限误

11、差一、中误差一、中误差u标准差标准差u中误差中误差 是反映一组误差离散程度的指标。是反映一组误差离散程度的指标。nnlimnm-m1+m1-m2+m2m2 2大精度低大精度低观测条件观测条件误差分布误差分布观测值精度观测值精度曲线形态曲线形态（陡峭、平缓）（陡峭、平缓）具体的数值具体的数值 （大小）（大小）观测精度观测精度（高、低）（高、低）一、中误差一、中误差举例举例【例例】同精度下对某一三角形进行了同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：观测所得的三角形闭合差分别为（单位：）：）：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，

12、-1。7 . 21013234024232222222222 m另一台仪器的结果（单位：另一台仪器的结果（单位：）：）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。6 . 31013081127102222222222 m一、中误差一、中误差二、相对误差二、相对误差【例例】分别丈量了分别丈量了S1=200m 及及S2=40m 的两段距离，观测的两段距离，观测值的中误差均为值的中误差均为2cm，试比较两者的观测成果质量。，试比较两者的观测成果质量。相对误差相对误差K : : 中误差的绝对值与观测值之比，用分子为中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1 1表示表示S1的丈量精度高

13、于的丈量精度高于S2的丈量精度的丈量精度2000140210000120021222111mcmDmKmcmDmKmDDmK三、极限误差三、极限误差683. 021)()(222dedfP概率密度函数概率密度函数：22221)(ef954. 021)()22(2222222dedfP997. 021)()33(3323322dedfPm2允允3.3 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差算术平均值算术平均值观测值的改正值观测值的改正值按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差一、算术平均值一、算术平均值niinlnlllnx1211)(1nnlXlXlX2211nlXn

14、0limnnnlX通常把算术平均值作为通常把算术平均值作为“最或是值最或是值”“最或是值最或是值”二、观测值的改正值二、观测值的改正值0lnlnlxnv算术平均值与观测值之差算术平均值与观测值之差iilxv三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差通常使用观测值的改正值来统计观测精度，计算中误差：通常使用观测值的改正值来统计观测精度，计算中误差：1nvvm标准差标准差 衡量精度衡量精度最理想！最理想！中误差中误差m 衡量精度衡量精度现实现实nm三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差1 1120.031 120.031 2 2120.025 120.025

15、 3 3119.983 119.983 4 4120.047 120.047 5 5120.040 120.040 6 6119.976 119.976 序号序号 观测值观测值l（m）120.017120.017均值均值x-1.4-1.4-0.8-0.83.43.4-3.0-3.0-2.3 -2.3 4.14.1改正值改正值v（cm）3.0cm3.0cm中误差中误差m3.4 误差传播定律误差传播定律 观测值的函数观测值的函数 观测值函数的中误差观测值函数的中误差 误差传播定律应用实例误差传播定律应用实例问题的提出：问题的提出：在上节介绍了对于在上节介绍了对于某一个量直接某一个量直接进行多次进行

16、多次观测观测，计，计算算观测值的中误差观测值的中误差。许多未知量是不能直接观测得。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差观测值的中误差而去求而去求观测值函数的中误差观测值函数的中误差呢？呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。关系的定律称为误差传播定律。一、观测值的函数一、观测值的函数 和差函数和差函数 倍函数倍函数 线性函数线性函数 一般函数一般函数),(21221121nnnnxxxfZxkxkxkZmxZxxxZ 1 1、一

17、般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）),(,212121nnnxxxfzmmmxxx 相相应应中中误误差差：独独立立观观测测值值：p=aba babbab a观测值观测值a、b的中误差为的中误差为ma、mb求面积求面积p的中误差的中误差baabpdbadabdpdbbpdaapdp 一、观测值的函数一、观测值的函数nnnbaabpbaabpbaabpbaabp222111nbaabnbbanaabnppbaabbbaaabpp222222nbbanaabnppnban022lim22222bapmambm 1 1、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）一、观测值的函数一、观测值

18、的函数nnmmmxxxxxxfz,),(212121相相应应中中误误差差为为：为为独独立立观观测测值值，的的中中误误差差，求求一一般般函函数数 (1)(1)求偏微分求偏微分(2)(2)转换为中误差关系式转换为中误差关系式nndxxfdxxfdxxfdz 2211222222212)()()(21nnzmxfmxfmxfm 1 1、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）一、观测值的函数一、观测值的函数设有函数设有函数z = x + y， z: :观测值的函数，观测值的函数，x、y为为独立观测值独立观测值，已知已知m x、m y，求求m z ? ?222yxzmmm 两观测值代数和的中误差

19、平方，等于两观测值中误差的平方和两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和2 2、和或差的函数、和或差的函数一、观测值的函数一、观测值的函数n个观测值代个观测值代数和数和的中误差平方，等于的中误差平方，等于n个观测值中误差的平方个观测值中误差的平方和。和。2222212121,当nxxxznnmmmmxxxzxxxz的代数和时，是一组观测值nmmmmmmxxxzxxxnn21,21为同精度观测值时，即当n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成的平方根成正比正比2 2、和或差的函数、和或差的函数一、观测值的函数一、观测值的函数

20、3 3、倍函数、倍函数设有函数设有函数z = kx ， z: :观测值的函数，观测值的函数，x为为观测值观测值，k为常数，为常数，已知已知m x，求求m z ? ?xzxzkmmmkm222观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数一、观测值的函数一、观测值的函数4 4、线性函数、线性函数设有函数设有函数z = k1x1 + k2x2+ +knxn， z: :观测值的函数，观测值的函数，x1, x2, xn为为独立观测值独立观测值，k1, k2, kn为常数。已知为常数。已知m xi求求m z ? ?22222221212xnnxxzm

21、kmkmkm 一、观测值的函数一、观测值的函数三、误差传播定律应用实例三、误差传播定律应用实例例：用尺子在例：用尺子在1:500的地图上量得两点间的距的地图上量得两点间的距离离 d=10cm，中误差，中误差md 0.2cm，求其相应，求其相应的实地距离的实地距离D及其中误差及其中误差mD。mmDmcmmmmcmdDdD15012 . 0500500501050050022 例：对某量进行了例：对某量进行了n n次独立同精度观测：次独立同精度观测：L1 、L2 、Ln ，中误差均为中误差均为m, ,求其算术平均值的中误差。求其算术平均值的中误差。nmmnnmnLnLLLxxn121三、误差传播定

22、律应用实例三、误差传播定律应用实例例：测得某块地的长例：测得某块地的长a=10m，宽，宽b5m，a、b独立，且独立，且ma2cm，mb1cm，求该块地的周长及中误差。，求该块地的周长及中误差。cmmmmbaSbaS5 . 422222222 S30m 4.5cm三、误差传播定律应用实例三、误差传播定律应用实例zsmmmmmSSz求已知设有函数例：,6 .20,0054119,05. 0,11.150,sin cmmSmmdSdSdzdSSzdzSz4 . 4)()cos(sincossin22222 解：三、误差传播定律应用实例三、误差传播定律应用实例例：设有函数：例：设有函数：Z=X+Y ，

23、Y= =3X，已知已知 mx，求求 mz = ?= ?XZXYYXZmmmmmmm103222解：正确解正确解XZmmXYXZ44 解：解：注：由于注：由于X和和Y不是独立观测值不是独立观测值三、误差传播定律应用实例三、误差传播定律应用实例总结总结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：归纳以下几步：1 1、列出函数式；、列出函数式；2 2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式；误差的关系式；3 3、独立性的判断；、独立性的判断；4 4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的

24、关系式。、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式。三、误差传播定律应用实例三、误差传播定律应用实例3.5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定精度精度1 1、如何求、如何求X的最或是值的最或是值2 2、如何求观测值、如何求观测值Li的中误差的中误差3 3、如何求、如何求 的中误差的中误差对某个未知量对某个未知量X, , 不等精度观测：不等精度观测：nnmmmLLL,2121x x 一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：10987654321,llllllllll646410)()(101098

25、7654321乙乙甲甲LLlllllllllllLl 甲组：甲组：l 乙组：乙组：两组算术平均值分别为：两组算术平均值分别为：L甲甲, L乙乙观测值的权观测值的权式中：式中：C为任意正数为任意正数当观测值当观测值Li的权的权Pi1时，称为单位时，称为单位权观测值，相应其中误差称为单位权观测值，相应其中误差称为单位权，用权，用m0表示。表示。iiiiiiPmmmmPmCP10220权的特性权的特性2222122022202120211:1:1:nnnmmmmmmmmmPPP一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权反应观测值的相互精度关系；反应观测值的相互精度关系；m0的大小对的大小对 X 值毫无影响；值毫无影响；不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系关系；若若L i 是同类量的观测值，此时，权无单位；若是同类量的观测值，此时，权无单位；若L i 是不同类量的观测值，权是否有单位不能一是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定概而论，而视具体情况而定。一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权二、加权平均值二、加权平均值0)(212211pLxpLxppvLxvppLpppLpLpLpxiinnn为：该量的最或然值可扩充其权分别为若有不等精度观测值,;,2121nnpppLLL三、