第2章逻辑函数与逻辑门

1、第二章第二章 逻辑函数及逻辑门逻辑函数及逻辑门杭州电子科技大学电子信息学院杭州电子科技大学电子信息学院 教材原著：教材原著：数字电路数字电路 龚之春龚之春 编著编著第第2 2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础一、基本概念一、基本概念逻辑：逻辑：事物的因果关系事物的因果关系 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究，相应的研究工具是工具是逻辑代数（布尔代数逻辑代数（布尔代数(Boole Algebra) ）。 逻辑代数中的变量称为逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，一般用大写，一般用

2、大写字母字母A A、B B、 C C、表示，逻辑变量的取值只有两种，表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑即逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1。 0 0和和1 1称为称为逻辑常量逻辑常量。但必须指。但必须指出，这里的逻辑出，这里的逻辑0 0和和1 1本身并没有数值意义，它们并本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的事物矛盾双方的两种对立的状态两种对立的状态。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算2.“2.“与与”运算运算“与与”运算又称运算又称“与与”逻辑、逻辑、“逻辑乘逻辑乘”。与运算：与运算：决定事件发生的各条件中，

3、所有条件都决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。我们具备，事件才会发生（成立）。我们把这种因果关系称为把这种因果关系称为与运算与运算。例，招聘，取得毕业资格等。例，招聘，取得毕业资格等。E EY YA AB BC C 规定规定: : 开关合为逻辑开关合为逻辑“1”1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0”0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”0” Y=ABC逻辑式：逻辑式：逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与AYBC00001000010011000010101001101111真值表真值表该真值表的该真值表的特点特点: : 任任0 0则则0, 0, 全全1

4、 1则则1 1与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1图形符号：图形符号：2.“2.“或或”运算运算“或或”运算又称运算又称“或或”逻辑、逻辑、“逻辑加逻辑加”。或运算或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。（成立）。我们把这种因果关系称为我们把这种因果关系称为或运算或运算。例，输电线路。例，输电线路。A AE EY YB BC C规定规定: : 开关合为逻辑开关合为逻辑“1”1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0”0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”1” 灯灭

5、为逻辑灯灭为逻辑“0” 0” Y=A+B+C逻辑式：逻辑式：逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或AYBC00001001010111010011101101111111真值表真值表该真值表的该真值表的特点特点: : 任任1 1则则1, 1, 全全0 0则则0 0与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1图形符号：图形符号：3.“3.“非非”运算运算 “ “非非”运算又称运算又称“非非”逻辑、逻辑、“反相运算反相运算”、“逻辑否定逻辑否定”。非运算：非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不具决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件备时事

6、件发生（成立），条件具备时事件不发生。我们把这种因果关系称为不发生。我们把这种因果关系称为非运算。非运算。规定规定: : 开关合为逻辑开关合为逻辑“1”1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0”0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 0” A AE EY YR RAY0110真值表真值表该真值表的该真值表的特点：特点： 1 1则则0, 00, 0则则1 1。逻辑式：逻辑式：AY 逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反非逻辑运算规则非逻辑运算规则: :10,01图形符号：图形符号：三、几种常用的复合逻辑运算三、几种常用的复合逻辑运算异或Y= A BA BY0 000 111 011 10同

7、或Y= A BA BY0 010 101 001 11BABABABABA二、逻辑函数的运算定律及规则二、逻辑函数的运算定律及规则逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律0 0 = 00 1 =1 0 =0 1 1 = 10 + 0 = 00 + 1 =1 + 0 =1 1 + 1 = 1A B = B A A + B = B + A (A B ) C = A (B C) (A+ B )+ C = A+ (B+ C) 自等律自等律A ( B +

8、 C ) = A B+ A C A + B C =( A + B) (A+ C )A 0=0 A+ 1=1A 1=A A+ 0=AA A=0 A+A=1A A=A A+ A=AA B= A+B A+ B=AB A= A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+ A B =A (A+ B) (A+ B) =A A+A B=A A (A+B)=AA+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C(A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式证明方法：推演、真值表证明方法：

9、推演、真值表序号公 式序号公 式10 1 = 0; 0 = 110A = 0111 + A= 121A = A120 + A = A3AA = A13A + A = A4AA = 014A + A = 15AB = BA15A +B = B + A6A(BC) = (AB)C16A + (B +C) = (A + B) + C7A(B +C) = AB + AC17A + B C = (A +B)(A +C)8A B = A + B18A + B = A B9A = A根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式1.3.3 1.3.3 逻辑代数的公式和运算法则逻辑代数的公式和运算法则 逻辑

10、函数的相等：已知Y = F1 (A、B、C、D)W= F2 (A、B、C、D)问：问： Y = W的条件？的条件？仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的的任一组取值所对应的Y和和W都都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y = W 。等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。ABY000010100111ABW0010101001111. 基本公式 （1）常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 +

11、0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)公式（公式（1717）的证明（公式推演法）：）的证明（公式推演法）：左左右右 BCABC)CB(ABCACABA)CA)(BA(1ABCABCBCBCA+BCA+BCA+BA+BA+CA

12、+C（A+BA+B）(A+C)(A+C)0000000 00 00 00 00 00010010 00 00 01 10 00100100 00 01 10 00 00110111 11 11 11 11 11001000 01 11 11 11 11011010 01 11 11 11 11101100 01 11 11 11 11111111 11 11 11 11 1真值表法：真值表法：（4）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理2.1.2 2.1.2 若干常用公式若干常用公式序序 号号公公 式式21A + A B = A22A + A B = A + B23A B

13、+ A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B + A C + B CD = A B + A C26A AB = A B; A AB = A2.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明： A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：?)(FEDABCDAB被吸收被吸收长中含短，长中含短，留下短。留下短。CDAB2.反变量的吸收：反变量的吸收：BABAABAABABAA BA)AA(BA 证明：证明：例如：例如：?DEBCAA被吸收被吸收长中含反，去长

14、中含反，去掉反。掉反。DEBCA4.A)BA(A 证明：证明：3.ABAAB AABAABAAB)A(A5.混合变量的吸收：混合变量的吸收：CAABBCCAAB 证明：证明：BC)AA(CAABBCCAAB 1吸收吸收CAABBCAABCCAAB 正负相对，正负相对，余全完。余全完。例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB注注2. A+B=A+CB=C注注2. AB=ACB=C逻辑加与代数加不同逻辑加与代数加不同如如A=B=1，C=0逻辑乘与代数乘不同逻辑乘与代数乘不同如如A=C=0，B=1BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等式右边由此可以看出：与或表

15、达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广：例例5 5：证明包含律：证明包含律CAABBCCAAB成立成立BC)AA(CAABBCAABCCAAB在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。2.4. 基本定理 （1）代入规则 推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。

16、理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 （2）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。1)(0DCBAYCDBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换：“”“”“”“” “0” “1”“1” “0”，原变量反变量反变量原变量Y例例: 已知已知 CD)CB(AY 求求，。解：解： 根据反演定理可写出根据反演定理可写出)DC)(C BA(Y D A C BC AD C

17、BD AC BC A 解：解： 根据反演定理可写出根据反演定理可写出，CDCBAY 例例 : 若若 求求。YCDCB)A(Y不属于单个变量上的反不属于单个变量上的反号应保留不变号应保留不变! 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。 （3）对偶规则 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。 ) 1)()0(CABAYCABAYD对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。 互为对偶式 对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y D=WD也成立。 一、逻辑函数一、逻辑函数定义定义：输入逻辑变量和输出逻辑变

18、量之间的逻辑关系。：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的逻辑关系。 二、二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量不同取值组合与函输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格数值间的对应关系列成表格用逻辑符号来表示用逻辑符号来表示函数式的运算关系函数式的运算关系特点特点：输入变量和输出变量只有逻辑：输入变量和输出变量只有逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1两种取值两种取值。反映输入和输出波形变反映输入和输出波形变化的图形又叫时序图化的图形又叫时序图2.2 逻辑函数及其表示逻辑函数及其表示把输入和输出的关系写成与、把输入和输出的关系写成与、

19、或、非等运算的组合式或、非等运算的组合式F = f（A、B、C、.）三、三、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1 1真值表真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的 函数值排列在一起而组成的表格。函数值排列在一起而组成的表格。2 2函数表达式函数表达式由逻辑变量和由逻辑变量和“与与”、“或或”、“非非”等多种运等多种运 算符所构成的表达式。算符所构成的表达式。3 3逻辑图逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。4 4波形图波形图由输入和输出的波形图可构成函数的对应形式。由输入和输出的波形图可构成函数的对应形式。

20、ABCF000001001011100110111011断断“0”合合“1”亮亮“1”灭灭“0”C开，开，F灭灭0000C合，合，A、B中中有一个合，有一个合，F亮亮11C C合，合，A A、B B均断，均断，F F灭灭0逻辑函数式逻辑函数式 挑出函数值为挑出函数值为1 1的项的项1 101111101111 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加逻辑加输入变量取值为输入变量取值为1 1用用原变量原变量表表示示; ;反之，则用反之，则用反变量反变量表示表示ABCABC、ABCABC、ABCABCF= ABC

21、+ABC+ABCABC+ABC+ABC解：解：第一步：设置自变量和因变量。第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。第二步：状态赋值。 对于变量对于变量A A、B B、C C设：设： 同意为逻辑同意为逻辑“1”1”， 不同意为逻辑不同意为逻辑“0”0”。 对于函数对于函数F F设：设： 事情通过为逻辑事情通过为逻辑“1”1”， 没通过为逻辑没通过为逻辑“0”0”。例例1. 1. 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的的原则原则 决定，试建立该逻辑函数。决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表

22、。列出函数的真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 F三人表决电路真值表三人表决电路真值表ABCCABCBABCAL 由真值表可以转换为函数表达式。由真值表可以转换为函数表达式。由由“三人表决三人表决”函数的函数的真值表可写出真值表可写出逻辑表达式：逻辑表达式：解：解：该函数有两个变量，该函数有两个变量，有有4 4种取值的可能组合，种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来将他们按顺序排列起来即得真值表。即得真值表。 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。例例2 2 列出下列函数的真值

23、表：列出下列函数的真值表：真值表真值表0 00 11 01 1A B 1001 L0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 F三人表决电路真值表三人表决电路真值表ABBAL例例4 4 写出如图所示写出如图所示逻辑图的函数表达式。逻辑图的函数表达式。由函数表达式可以画出逻辑图。由函数表达式可以画出逻辑图。解：解：可用两个非门、可用两个非门、 两个与门两个与门 和一个或门组成。和一个或门组成。由逻辑图也可以写出表达式。由逻辑图也可以写出表达式。ACBCABL解：解：&CBA&L1&L1AB11例例3 3 画出

24、函数画出函数 的逻辑图：的逻辑图： ABBAL例例6 6：用真值表证明反演律：用真值表证明反演律A BA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB用真值表证明用真值表证明例例7 7、试用真值表证明、试用真值表证明BAABBABA010100011101010001101001010010000100AB+ABAB+ABAB+ABABABABABBA1）、最小项最小项和和最大项最大项2 2、函数表达式：与或式、函数表达式：与或式最小项：最小项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i3 3个变

25、量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项CBACBAm m0 0m m1 100000101CBABCACBACBACABABC m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567n n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次）乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变量量取值取值看成看成

26、二进制数二进制数，对应的对应的十进制数十进制数 最大项最大项n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i in n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的和项和项（每个变量必须而且只能以原变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次）最大项：最大项：CBACBAM M0 0M M1 100000101CBACBACBACBACBACBA M M2 2M M3 3M M4 4M M5 5M M6 6M M7 7010011100101110111234567最大项最大项二进制数二进制数 十进制数十进制数

27、 编号编号ABCABCABCABCABCABCABC ABC 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即: : mi =Mi Mi =mi 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F F，其反函数，其反函数F F可可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。 例：例：7531mmmmF7531mmmmFm1m3m5m7= 7531MMMM=6420MMMMF2）、逻辑函数的标准形式）、逻辑函数的标准形式 最小项（标准积）之和表达式最小项（标准积）之和表达式式

28、中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(AF(A、B B、C C、D)D)D C BADCBADC B AD C B A8510mmmm)8 5 1 0(m、例例9 9： 求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)CB ABA的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B、C)C)CB ABACB ABACB A)CC(BACB ACBABCA123mmm)3 2 1 (m、利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量C C解解: :A B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1m

29、i01234567FMi0123456700010111例例1010：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从真值表找出从真值表找出F F为为1 1的对应最小项的对应最小项解解: :0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)ABCCABCBABCA7653mmmm)7 6 5 3(m、 最大项（标准和）之积表达式最大项（标准和）之积表达式A B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11

30、 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例例1111：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式 从真值表找出从真值表找出F F为为0 0 的对应最大项的对应最大项解解: : 然后将这些项逻辑乘然后将这些项逻辑乘F(AF(A、B B、C)C)()()(CBACBACBACBA4210MMMM)4 , 2 , 1 , 0(M)7 6 5 3(m、完全描述的逻辑函数：完全描述的逻辑函数：真值表中各行的输出都是明确的，真值表中各行的输出都是明确的， 非非0 0即即1 1非完全描述的逻辑函数：非完全描述的逻辑函数：

31、真值表中有些行的输出是明确的，真值表中有些行的输出是明确的， 还有些行的输出是未加规定的还有些行的输出是未加规定的 ， 称为无关项或任意项，用称为无关项或任意项，用d d和和D D表表 示。示。 3 3）、未完全描述函数的真值表及表达式）、未完全描述函数的真值表及表达式例、试写出表中所示真值表的逻辑函数例、试写出表中所示真值表的逻辑函数ABCY000100100100011-10011011110-1110解：解：表中有两行是任意项表中有两行是任意项将任意项作将任意项作1 1看待，看待，函数的最小项之和表达式为函数的最小项之和表达式为)6 , 3()5 , 4 , 0(dmY将任意项作将任意项

32、作0 0看待，看待，函数的最大项之积表达式为函数的最大项之积表达式为)6 , 3()7 , 2 , 1 (DMY函数的简化依据函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性四、逻辑函数的简化四、逻辑函数的简化最简式的标准最简式的标准 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的变量少乘积项中含的变量少 与或表达式的简化与或表达式的简化1 1、代数法化简函数、代数法化简函数与门

33、的输入端个数少与门的输入端个数少 实现电路的与门少实现电路的与门少方法：方法： 并项：并项： 利用利用ABAAB将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B B 消项：消项： 利用利用A + AB = AA + AB = A消去多余的项消去多余的项ABAB 配项：利用配项：利用CAABBCCAAB和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BCBC 消元：利用消元：利用BABAA消去多余变量消去多余变量A A2.并项法并项法 利用公式利用公式ABAAB 例例:试用并项法化简下列逻辑函数试用并项法化简下列逻辑函数CDBACDBAY1 CDABAA

34、CDBAY2 ACDBCDBACDBACDBAY1 ）（解：解：CDB CDABAACDBAY2 )CDB(A)CDB(A 将两项合并为一项，将两项合并为一项，消去一个变量。消去一个变量。 2. 吸收项法吸收项法 利用公式利用公式 AABA 例例1:试用吸收法化简下列逻辑函数试用吸收法化简下列逻辑函数ADABD)CBA(Y1 ADADADB)CBA( )DC(ABABDCABABY2 AB)DC(DCABAB CAABBCDCAAB BABAA 利用吸收律和包含律利用吸收律和包含律等有关公式来减少与等有关公式来减少与项数。项数。解：解：BC)DCBA(BCAAY3BCA)DCBA)(BCA()

35、BCA( 例例2:试用消项法化简下列逻辑函数试用消项法化简下列逻辑函数解：解：CBACCBBAACCBBAACY1 EDCAEBADCBAY2 A)E)(DC(E)BA(DC)BA( EBADCBA ACBABCBY1 BABABABABBAY2 D)CA(ACDCDAACY3 DACDACAC 例例3: 试用消因子法化简下列逻辑函数试用消因子法化简下列逻辑函数 3. 配项法配项法 例例: 试化简逻辑函数试化简逻辑函数ABCBCACBAY AAA (1)利用公式利用公式)ABCBCA()BCACBA(Y BCBA)AA(BC)CC(BA 解：解：解：解： 例例: 试化简逻辑函数试化简逻辑函数1

36、AA (2)利用公式利用公式解：解：CB ACBACBCBABCABA CB)AA(CB)CC(BABA C)B ABCA()CBAC(BC)BAB(A CACBBA CBCBBABAYCBCBBABAY 4. 综合法综合法 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。才能将逻辑函数化为最简。解：解：例例1：化简逻辑函数化简逻辑函数EFBEFBABDCAABDAADY EFBEFBABDCAABAY （利用（利用 ）1 AAEFBBDCAA （利用（利用A+AB=A）EFBBDCA （利用（利用 ）BABAA解：解：例例2 2：化简逻辑函

37、数化简逻辑函数G)ADE(FBDDBBCCBCAABY G)ADE(FBDDBBCCBCBAY （利用反演律（利用反演律 ） G)ADE(FBDDBBCCBA（配项法）（配项法） （利用（利用 ） BABAABDDBBCCBA（利用（利用A+AB=A）)CB(CDDBBC)DC(DBACBDBCDDBBCDCBCDBABCDDBBCDCBA（利用（利用A+AB=A）DBBCB)B(DCADBBCDCA（利用（利用 ）1 AA例例3 3：化简逻辑函数化简逻辑函数解解:DEBADBCA)CB(ADCDBCBACY DEBA)CB(ADCDBCBAC DEBAADCDBCBAC DCDBCBA DE

38、BADBCA)CB(ADCDBCBACY DBCBA 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。解法解法1 1：解法解法2 2：例例4 4：化简逻辑函数化简逻辑函数BACBCBBAL代数法化简函数代数法化简函数CBDBDAACF例例8 8：试简化函数：试简化函数解：解：CBDBDAACF利用反演律利用反演律)BA(DCBACABDCBAC配项加配项加ABABABDABCBAC消因律消因律DABCBAC消项消项ABABDCBAC公式法化简公式法化简优点是：优点是：不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。缺点是：缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运没有固

39、定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。很难判定化简结果是否最简。2.2.卡诺图化简函数卡诺图化简函数 1、卡诺图（卡诺图（K图）图）图中的图中的一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一行一行，即对应一个即对应一个最小项最小项，又称真值图，又称真值图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0

40、 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二变变量量K图图三三变变量量K图图四四变变量量K图图（2）三变量卡诺图）三变量卡诺图 0mABCmABC1m3mABCABC265mABC74ABCmmmABCABC0(a)(b)132457610011100BCA01BCA（1）二变量卡诺图）二变量卡诺图（3）四变量卡诺图）四变量卡诺图仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边

41、相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。 (3) 四角相邻性。 m0ABCD ABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCD ABCD1412m15mABCDABCD ABCDmABCD8m1011m9mABCDABCD0132765413141512981110ABCD0000010111111010(a)(b)相对相邻（2 2）用卡诺图表示逻辑函）用卡诺图表示逻辑函数数将函数表示为最小项之和的形式。将函数表示为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1

42、 1，其余地方填，其余地方填0 0。 与或与或 式的卡诺图表示式的卡诺图表示. .直接将表达式的直接将表达式的 与项与项 或或 最小项最小项 所所对应的方格标以对应的方格标以1. 1. 其它形式函数的卡诺图表示其它形式函数的卡诺图表示要转换成要转换成 与或与或 式再在卡诺图上表示。式再在卡诺图上表示。CBABCBACACBAF),(可表示为：可表示为：例例1：00 01 11 1001BCA11111例例 2:用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数BAACDDBADCBAY 解：解： 首先将首先将Y化为最小项之和的形式化为最小项之和的形式CD)BB(AD)CC(BADCBAY )DD)(CC

43、(BAmmmmmmm 0100100 0100 01 10111 1115111098641mmmmmmmmY CDAB0001111000011110例例 3: 已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，试写出该函数的逻辑式。试写出该函数的逻辑式。CBAABCCBACBAY 解：解：ABC0001111001001 1 00112.2. 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数l依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。因子。l在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图

44、形中直观地反映出来。观地反映出来。l合并最小项的原则：合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子。去两对因子。八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。. 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子。00 01 11 1000011110CDAB0011000 0 000 000 0000 01

45、11 1000011110CDAB0010000 0 000 010 0000 01 11 1000011110CDAB000010000000010000 01 11 1000011110CDAB0000001001000000. 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中只包含公共因子。只包含公共因子。00 01 11 1000011110CDAB001100000001001000 01 11 1000011110CDAB00000011110000 0000 01 11

46、 1000011110CDAB000001000100100100 01 11 1000011110CDAB000011000000010100 01 11 1000011110CDAB000000100110100000 01 11 1000011110CDAB1000100000001100 . 若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。中只包含公共因子。00 01 11 1000011110CDAB001000111111100000 01 11 1000011

47、110CDAB111100011001001000 01 11 1000011110CDAB110111000000011100 01 11 1000011110CDAB0000111001101101 0101BA1 1 0101BA1 1 0101BA1 11二变量卡诺图的典型合并情况二变量卡诺图的典型合并情况00 01 11 1001BCA1 11 1BC 00 01 11 1001A1 1 1 11 1 1 101BCA00 01 11 10三变量卡诺图的典型合并情况三变量卡诺图的典型合并情况00 01 11 1000011110CDAB11111100 01 11 100001111

48、0CDAB111111100 01 11 1000011110CDAB1111111111四变量卡诺图的典型合并情况四变量卡诺图的典型合并情况1113.3.用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 1)1) 尽量画大圈，但每个圈内只能含有尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 2n n（n n=0,1,2,3=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。边相邻性和四角相邻性。2)2) 圈的个数尽量少。圈的个数尽量少。3)3) 卡诺图中所有取值为卡诺图中所有取值为1 1的方格均要被圈过，即的方格均要被圈过，即不能漏下取值为不能

49、漏下取值为1 1的最小项。的最小项。4)4) 在新画的包围圈中至少要含有在新画的包围圈中至少要含有1 1个末被圈过的个末被圈过的1 1方格，否则该包围圈是多余的。方格，否则该包围圈是多余的。4.4.用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤：1)1) 画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。2)2) 合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。3)3) 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为与项，规则是，取值为l l的变量用原变量表示，的变量用原变量表示，取值为取值为0 0的变量用反变量表

50、示，将这些变量相的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。与或表达式。圈圈1 1法法CBAABCCABBCACBAF),()7 , 6 , 5 , 3(mBCACAB例：例：用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)= m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)解：解：CBABCACDBDD C B AD)C,B,(A,F 00 01 11 1000011110CDAB0111101110100010例：例：用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C,

51、 D)= m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13)解：解：00 01 11 1000011110CDAB111111100 01 11 1000011110CDAB1111111D BAC B ACAD)C,B,(A,F D C BC B ACAD)C,B,(A,F 或或或例：CBCBCACACBAY),(CBCABACBBACA化 简 结 果 不 唯 一例：0001111000011110ABCDDCACBADCDCAABDABCY 例：DCACBADCDCAABDABCY 0001111000 100101 100111 111110 1111ABCDDA 含有含有无关项无关项的函

52、数的化简的函数的化简 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号填任意符号“-”-”、“”、“d d或或“”。处理方法：处理方法：无关项无关项对于变量的对于变量的某些取值组合某些取值组合，所对应的，所对应的函数值函数值是不定的是不定的。通常。通常约束项和任意项约束项和任意项在逻辑函数在逻辑函数中统称为无关项中统称为无关项 化简时可根据需要视为化简时可根据需要视为“1”1”也可视为也可视为“0”0”，使函数化到最简。，使函数化到最简。图形法化简函数图形法化简函数ABCCACBYCABCACBY)()(CBACACBY5 5）多输出函数的化简）多输出函数的化

53、简用卡诺图对变量相同的多个输出函数进行化简时，应圈用卡诺图对变量相同的多个输出函数进行化简时，应圈出尽量多的公共项出尽量多的公共项例：试用卡诺图化简多输出函数：例：试用卡诺图化简多输出函数：解：先画出相应的卡诺图解：先画出相应的卡诺图按尽量圈公共项的原则，可得：按尽量圈公共项的原则，可得：6 6）禁止逻辑）禁止逻辑设有函数设有函数 ，其卡诺图如图所示：，其卡诺图如图所示：)7 , 5 , 1 (),(mCBAf 用圈用圈1 1法，可得：法，可得：CBACf若将图中原为若将图中原为0 0的的3 3号小格号小格打上阴影线，它应为禁止项打上阴影线，它应为禁止项现在先将该禁止项圈进，得现在先将该禁止项

54、圈进，得新函数新函数 ，再，再乘上禁止项之非乘上禁止项之非 ，便得：，便得：CCBAG),(3mBCACmGf3CBAC 例：试用阻塞法化简函数例：试用阻塞法化简函数CBAACDDBADABDCBAf),(解：将函数画成卡诺图解：将函数画成卡诺图发现如按圈发现如按圈1 1法，已是最简法，已是最简的积之和表达式的积之和表达式若令若令 为禁止项，为禁止项，则可写出：则可写出：13mDCABABCBADf)(该表达式具有较少的门电路该表达式具有较少的门电路和连线和连线五、五、六、降维卡诺图（不要求掌握降维卡诺图的合并化简）六、降维卡诺图（不要求掌握降维卡诺图的合并化简）一个五变量函数，可以填入四变量

55、的卡诺图中，小格中一个五变量函数，可以填入四变量的卡诺图中，小格中除常量除常量0 0、1 1及任意项及任意项“”外，还会出现另一个变量，外，还会出现另一个变量，后者就称为图记变量，而这种卡诺图就成为降维卡诺图。后者就称为图记变量，而这种卡诺图就成为降维卡诺图。)31,30,27,21,20,19,11, 5 , 4 , 3 , 1 , 0(),(mEDCBAf将将A A选作图记变量，合并卡诺图选作图记变量，合并卡诺图选选B B为图记变量，降成三变量式的为图记变量，降成三变量式的卡诺图卡诺图A=0 A=1较难较难:不要求掌握不要求掌握五、逻辑门、符号和变换五、逻辑门、符号和变换或：一端为或：一端

56、为A，一端接，一端接1或：一端为或：一端为A，一端接，一端接0函数表达式的常用形式（重点掌握）函数表达式的常用形式（重点掌握） 五种常用表达式五种常用表达式F(AF(A，B B，C)C)CAAB“与与或或”式式)BA)(CA(),(CBAF“或或与与”式式CAAB),(CBAF“与非与非与非与非”式式 BACA),(CBAF“或非或非或非或非”式式BACA),(CBAF“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换CA AB F CAABCAAB利用反演律利用反演律 特定的逻辑问题，对应的真值表是唯一的，实现的逻辑特定的逻辑问题，对应的真值表是唯一的，实现的逻辑函数有多种形

57、式，对应的逻辑电路图的形式有多种。函数有多种形式，对应的逻辑电路图的形式有多种。4 4、电路图、电路图表达式表达式5 5、其他表示法（了解）、其他表示法（了解）ABFVL VLVLVLVHVL1 11ABF1 00 10 00000ABF0 10 01 01 1111VL VHVH VLVH VH电平关系电平关系正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑正与正与 = = 负或负或正或正或 = = 负与负与正与非正与非 = = 负或非负或非正或非正或非 = = 负与非负与非正、负逻辑间关系正、负逻辑间关系逻辑符号等效逻辑符号等效 在一种逻辑符号的所有入、出在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈，当一端同时加上或者去掉小圈，当一根线上有两个小圈，则无需画圈根线上有两个小圈，则无需画圈 原来的符号互换（与原来的符号互换（与或、或、同或同或异或异或）高电平高电平V VH H用逻辑用逻辑1 1表示，表示，低电平低电平V VL L用逻辑用逻辑0 0表示表示（与门）（与门）（或门）（或门）高电平高电平V VH H用逻辑用逻辑0 0表示，表示，低电平低电平V VL L用逻辑用逻辑1 1表示表示六、正逻辑与负逻辑六、正逻辑与负逻辑小小 结结 几种常用的数制：二进制、八进制、十六