高中数学知识点及知识点测试题

1、1.1集合的概念与运算1.集合元素的三个特征:、. 2.元素与集合的关系是或关系,用符号或表示. 3.集合的表示法:、图示法. 4.常用数集:自然数集;正整数集(或);整数集;有理数集;实数集.5.集合的分类:按集合中元素的个数划分,集合可以分为、. 6.子集、真子集及其性质:对任意的xA,都有xB,则AB(或BA);若集合AB,但存在元素xB,且xA,则AB(或BA);A;AA;AB,BCAC.若集合A含有n个元素,则A的子集有个,A的非空子集有个,A的非空真子集有个. 7.集合相等:若AB,且 ,则A=B. 8.集合的并、交、补运

2、算:并集:AB= ; 交集:AB= ; 补集:UA= ;U为全集,UA表示集合A相对于全集U的补集. 9.集合的运算性质并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA.交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB.补集的性质:A(UA)=U;A(UA)=;U(UA)=A;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的,可以叫做命题,其中判断为真的语句叫做,判断为假的语句叫做.2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系.(2)四种命题的真假关系互为逆否的

3、两个命题(或). 互逆或互否的两个命题. 3.充分条件与必要条件(1)如果pq,那么p是q的,q是p的. (2)如果pq,qp,那么p是q的,记作. 1.3简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词1.逻辑联结词:命题中的 叫做逻辑联结词. 2.命题pq,pq真假的判断pqpqpq真真    真假    假真    假假    3.命题􀱑p真假的判断p􀱑p真  假  4.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任

4、意一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号 表示.含有全称量词的命题,叫做,可用符号简记为,它的否定是 . (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号 表示.含有存在量词的命题,叫做 ,可用符号简记为 ,它的否定是 . 2.1函数及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是两个非空  设A,B是两个非空  对应关系f:AB如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个,在集合B中 的 和它对应 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个在集合B中 的 与之对应 名称称 为从集合A到集合B的一个

5、函数 称对应 为从集合A到集合B的一个映射 记法y=f(x),(xA,yB)对应f:AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域.在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量, 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值, 叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集. (2)函数的三要素:、和. 3.函数的表示方法表示函数的常用方法有、和. 4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的,其值域等于各段函数的值域的,分段函数虽由几

6、个部分组成,但它表示的是一个函数. 2.2函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述自左向右看图象是  自左向右看图象是  (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是或,则称y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值前提设

7、函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意xI,都有; 存在x0I,使得. 对于任意xI,都有; 存在x0I,使得. 结论M为最大值M为最小值2.3函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数 关于对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数 关于对称 2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T

8、)=,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数,那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.对称性若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于直线对称. 2.4一次函数、二次函数1.一次函数、二次函数的定义及性质函数名称一次函数 二次函数解析式y=kx+b(k0) y=ax2+bx+c(a0)图象k>0k<0a>0a<0定义域   值域    单调性在(-,+)上是

9、 在(-,+)上是  在 上是减函数; 在 上是增函数 在上是增函数; 在 上是减函数 奇偶性当b0时, ; 当b=0时,  当b0时, ; 当b=0时,  周期性非周期函数非周期函数顶点 对称性过原点时,关于对称 k=0时,关于对称 图象关于直线成轴对称图形 2.二次函数的解析式(1)一般式:f(x)=; (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为:f(x)=; (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为x1,x2,则

10、其解析式为f(x)=. 2.5指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果存在实数x,使得,那么x叫做a的n次方根 aR,n>1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个,负数的n次方根是一个 na零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有,它们互为 ±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式nan=(n为奇数),|a|=,a0,a<0(n为偶数);(na)n=(n>1且nN*)(注意a必须使na有意义). 2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂的意义是amn=(a>0,m

11、,nN*,n>1). 正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a>0,m,nN*,n>1). 0的正分数指数幂是,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质aras=(a>0,r,sQ); (ar)s=(a>0,r,sQ); (ab)r=(a>0,b>0,rQ). (3)无理指数幂一般地,无理指数幂a(a>0,是无理数)是一个的实数,有理指数幂的运算法则于无理指数幂. 3.指数函数的图象和性质函数y=ax(a>0,且a1)图象0<a<1a>

12、;1图象特征在x轴 ,过定点 当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域 值域 单调性在R上 在R上 函数值变化规律当x=0时, 当x<0时,; 当x>0时, 当x<0时,; 当x>0时, 2.6对数与对数函数1.对数的概念与性质对数的定义如果 ,那么数b叫做以a为底N的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 对数的性质(1) 没有对数. (2)loga1=(a>0,且a1). (3)logaa=(a>

13、0,且a1). (4)alogaN= (a>0,且a1,N>0). 2.几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a1) 常用对数底数为  自然对数底数为  3.对数的运算(1)对数的运算性质如果a>0,且a1,M>0,N>0,那么loga(M·N)= ; logaMN= ; logaMn= (nR). (2)换底公式logab= . 4.对数函数的图象和性质(1)对数函数的定义一般地,我们把函数y= 叫做对数函数,其中x是自

14、变量,函数的定义域是(0,+). (2)对数函数y=logax(a>0,且a1)的图象和性质a>10<a<1图象a>10<a<1性质定义域: 值域: 过定点,即x=1时,y= 单调性:在(0,+)上是 单调性:在(0,+)上是 当0<x<1时,y;当x>1时,y 当0<x<1时,y;当x>1时,y 5.指数函数与对数函数的关系函数y=ax(a>0,且a1)与函数 互为反函数. 2.7幂函数1.幂函数的定义形如(R)的函数称

15、为幂函数,其中x是,为. 2.五种幂函数的图象3.五种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域          值域         奇偶性         单调性              定点 2.8函数的图像及其变换1.作图:作函数图象有两种基本方法(1)描点法其基本步骤是列表、描点、连线.首先:确定函数的 ;

16、0;化简函数 ; 讨论函数的性质( 、 、 、 等); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点);再次:描点;最后:连线.(2)图象变换法平移变换左右平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向(+)或向(-)平移个单位而得到. 上下平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向(+)或向(-)平移个单位而得到. 对称变换y=f(-x)与y=f(x)的图象关于对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于对称. y=-f(-x)与y=f(x

17、)的图象关于对称. 要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到.要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x0的部分作出,再利用偶函数的图象关于的对称性,作出x<0的图象而得到. 伸缩变换y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变而得到. y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为,纵坐标不变而得到. 2.有关函数图象的几个结论(1)若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立,则y

18、=f(x)的图象关于 成轴对称图形; (2)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线 对称. (3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数,是它的一个周期(未必是最小正周期,下同). (4)若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)都成中心对称,则f(x)为周期函数,是它的一个周期. (5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,又关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,是它的一个周期. 2.9函数与方程1.函数的

19、零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与有交点函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系>0=0<0二次函数y=ax2+bx+c(a

20、>0)的图象与x轴的交点,  无交点零点个数   3.二分法(1)二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证 ,给定精确度; 第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算; 若,则c就是函数的零点; 若,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若,则令a=c(此时零点x0(c,b). 

21、;第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.2.10函数模型及其应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a1,b0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a1,b0)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数y=ax(a>1)与幂函

22、数y=xn(n>0)在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长xn的增长,因而总存在一个x0,当x>x0时有. 对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有. 由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+)上,总会存在一个x0,使x>x0时有. 2.解函数应用问题的步骤(四

23、步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:3.1导数、导数的计算1.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limx0yx= ,称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0. 2.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(

24、a,b)内每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是在区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f'(x)或y'. 3.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为 . 4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xn(nQ*)f'(x)= f(x)=sin xf'(x)= f(x)=cos xf'(x)= 

25、f(x)=axf'(x)=  f(x)=exf'(x)=  f(x)=logaxf'(x)=  f(x)=ln xf'(x)=  5.导数的运算法则(1)f(x)±g(x)'=; (2)f(x)·g(x)'= ; (3)f(x)g(x)'= (g(x)0). 3.2导数在函数单调性、极值中的应用1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值,且f'(a

26、)=0,而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值,且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,和统称为极值. 3.3导数在函数最值及生活实际中应用1.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(

27、x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的值; 将f(x)的各值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 2.解决优化问题的基本思路4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的分类任意角可按旋转方向分为、. (2)象限角第一象限角的集合  第二象限角的集合  第三象限角的集合  第四象限角的集合  2.弧度制(1)弧度制长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,以作为单位来度量角的制度叫做弧度制. (2)角度与弧度之间

28、的换算360°=rad,180°=rad,1°=180rad,1rad=. (3)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l,圆心角为(弧度),半径为r,则l=;S扇形=. 3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)叫做的正弦,记作sin,即sin=y 叫做的余弦,记作cos,即cos=x 叫做的正切,记作tan,即tan=yx(x0)            &#

29、160;口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦三角函数正弦余弦正切终边相同的角的三角函数值(kZ)(公式一)sin(+k·2)= cos(+k·2)= tan(+k·2)= 三角函数线有向线段MP叫做角的正弦线有向线段OM叫做角的余弦线有向线段AT叫做角的正切线4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: ; (2)商数关系: . 2.诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)+-2-2+正弦      余弦

30、60;     正切    口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即+k·2(kZ),-,±的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成时原函数值的符号;2±的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 3.特殊角的三角函数值角0°30°45°60°90°120°150°180°270°角的弧度数  

31、;       sin        cos         tan         4.3三角函数的图像与性质1.周期函数及最小正周期对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,则称f(x)为周期函数,T为它的一个周期.若在所有周期

32、中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域xRxRxR且x2+k,kZ值域   单调性在 上递增,kZ;在 上递减,kZ 在 上递增,kZ; 在 上递减,kZ 在 上递增,kZ 最值x= (kZ)时,ymax=1; x= (kZ)时,ymin=-1 x= (kZ)时,ymax=1;x= (kZ)时,ymin=-1 无最值 奇偶性   

33、对称性           无对称轴最小正周期      4.4函数y=Asin(x+)的图像与性质1.y=Asin(x+)的有关概念y=Asin(x+)(A>0,>0),x0,+)振幅周期频率相位初相AT=  f=1T=  x+2.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.x         x+02322y=Asin(x+)0A0-A03.函数y=s

34、in x的图象变换得到y=Asin(x+)(A>0,>0)的图象的步骤4.5三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦sin(±)=  两角和与差的余弦cos(±)=  两角和与差的正切tan(±)=  2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin2=  二倍角的余弦cos2= = =  二倍角的正切tan2=  3.半角公式4.形如asin+bcos的化简asin+bcos=a2+b2sin(+),其中cos=,sin=,即tan=ba.

35、60;4.6正余弦定理及其应用举例1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 =2R. (R为ABC外接圆半径)a2= ; b2= ; c2= .  a= ,b= ,C= ; sin A= , sin B= ,sin C= ; abc= ; a+b+csinA+sinB+sinC=asinA.cos A= ; cos B= ; cos C= . 解决的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边.已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角.已知三边,求各角;已知两边和它们的夹角,求第三边和

36、其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平线的角叫俯角(如图).  图3.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).4.方向角相对于某一方向的水平角(如图).(1)北偏东°:指北方向向东旋转°到达目标方向.(2)东北方向:指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似.5.坡角和坡比坡角:坡面与水平面的夹角(如图,角为坡角).图坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡比).5.1平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量,向量的大小

37、叫做向量的(或) 平面向量是自由向量零向量长度为的向量,其方向是任意的 记作 向量a的单位向量与非零向量a同方向且长度 的向量 非零向量a的单位向量为a|a|共线向量(平行向量) 向量叫做共线向量(平行向量) 0与任一向量(共线) 相等向量长度且方向的向量 记作a=b相反向量长度且方向的向量 0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b= . (2)结合律:(a+b)+c= .  减法求a与b的相反向量-

38、b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|=. (2)当>0时,a与a的方向;当<0时,a与a的方向;当=0时,a=. (a)= ;(+)a= ; (a+b)= . 3.平面向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是: . 5.2平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数1,2,使 a= ,其中, 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2. 2.平面向量的坐标表示

39、(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使a=xi+yj,把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0),j=(0,1). (2)设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba+ba-ba坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)(

40、2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ,即一个向量的坐标等于 . (3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a= . 5.3平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则称作向量a与向量b的夹角,记作<a,b>. (2)范围向量夹角<a,b>的范围是,且=<b,a>. (3)向量垂直如果<a,b>=,则a与b垂直,记作.3.平面向量数量积的性质:已知非零向量a=(a1,a2),b

41、=(b1,b2)性质几何表示坐标表示定义a·b=|a|b|cos<a,b>a·b=a1b1+a2b2模a·a=|a|2或|a|=a·a|a|=a12+a22若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2ab的充要条件a·b=0a1b1+a2b2=0夹角cos<a,b>=a·b|a|b|(|a|b|0)cos<a,b>=a1b1+a2b2a12+a22·b12+b22|a·b|与|a|b|的关系|a·b

42、|a|b|a1b1+a2b2|a12+a22b12+b226.1数列的概念与简单表示法1.数列的概念按照一定排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的,数列中的每一项都和它的有关.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做).往后各项依次叫做这个数列的第2项,第n项,. 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,其中是数列的第n项,我们把上面的数列简记为. 2.数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数   无穷数列项数  项与项间的大小关系递增数列an+1>an其中nN*递减数列an+1<an常数列an+1=an其他

43、标准摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项3.数列的表示法(1)列举法:a1,a2,a3,an,;(2)图象法:数列可用一群孤立的点表示;(3)解析法(公式法):通项公式或递推公式.4.数列的通项公式如果数列an的 可以用一个公式 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以看成数列的函数 . 5.递推公式如果已知数列an的首项(或前几项),且任意一项an与an-1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.6.数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为的函数,即当

44、自变量从小到大依次取值时对应的一列,而数列的也就是相应函数的解析式. 6.2等差数列及其前n项和1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,通常用字母 表示,定义的表达式为 . (2)等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么叫做a与b的等差中项且. (3)通项公式:如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an=. 2.等差数列的前n项和已知条件首项a1,末项an首项a1和公差d选用公式Sn=n(a1+an)2Sn=na1+n(n-1)2d3

45、.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n是,公差为. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为的等差数列. (6)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n组成新的. (7)若项数为2n(nN*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),且S偶-S奇=,S奇S偶=anan+1. 若项

46、数为2n-1(nN*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶=,S奇S偶=. (8)关于等差数列的规律等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0.等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S'n,则ambm=S2m-1S'2m-1.6.3等比数列及其前n项和1.等比数列的相关概念相关名词等比数列an的有关概念及公式定义an+1an=q(q是常数且q0,nN*)或anan-1=q(q是常数且q0,n

47、N*且n2)通项公式an=,an=am·qn-m 前n项和公式Sn=,(q=1),(q1)等比中项如果三个数a,G,b组成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,且. 2.等比数列有关性质(1)在等比数列中,若m+n=p+q,则am·an=(m,n,p,qN*). (2)间隔相同的项,如a1,a3,a5,仍为等比数列,且公比为. (3)等比数列an的前n项和为Sn(Sn0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为. (4)单调性若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1an. 若a1>0,0<q<1或a1<0,q>1an.