高2016届1轮复习理科第二章 函数

1、 戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生：2.1 函数及其表示1 函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应法则叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量(2)函数的定义域、值域定义域：函数yf(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域(3)函数的两个要素：定义域和对应法则2 映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B

2、的映射这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)于是yf(x)，x称作y的原象映射f也可记为f：AB，xf(x)其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)3 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数 (×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等 (×)(3)若函数f(x)的定义域为x|1

3、x<3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x<5(×)(4)f(x)，则f(x).()(5)函数f(x)1的值域是y|y1(×)(6)函数是特殊的映射()2 (2013·江西)函数yln(1x)的定义域为()A(0,1) B0,1)C(0,1 D0,1答案B解析由得，函数定义域为0,1)3 (2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x| Cf(x)x1 Df(x)x答案C解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于B，f(2x)2x|2

4、x|2(x|x|)2f(x)；对于C，f(2x)2x12f(x)；对于D，f(2x)2x2f(x)，故只有C不满足f(2x)2f(x)，所以选C.4 (2012·福建)设f(x)g(x)则f(g()的值为()A1 B0 C1 D答案B解析根据题设条件，是无理数，g()0，f(g()f(0)0.5 给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x (xN)的图象是一条直线；函数的定义域和值域一定是无限集合其中正确命题的序号有_答案解析对于函数是映射，但映射不一定是函数；对于f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于函数y2x (xN)的图象不是一条直线；对于由于函数

5、的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_思维启迪可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线

6、x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.(1)下列四个图象中，是函数图象的是()A(1) B(1)(3)(4)C(1)(2)(3) D(3)(4)(2)下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)·，g(x)答案(1)B(2)A解析(1)由一个变量x仅有一个f(x)与之对应，得(2)不是函数图象故选B.(2)A中，g(x

7、)|x|，f(x)g(x)B中，f(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同C中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)，两函数的定义域不同D中，f(x)·(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选A.题型二求函数的解析式例2(1)如果f()，则当x0且x1时，f(x)等于()A. B. C. D.1(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.(3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f()·1，则f(x)_.答案(

8、1)B(2)2x7(3)解析(1)令t，得x，f(t)，f(x).(2)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.(3)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).(1)已知f(x)x2，求f(x)的解析式(2)已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)的解析式解(1)f(x)x2(x)22，且x2或x2, f(x)x22(x2或x2)(2)2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x).×2得3f

9、(x)6x，f(x)2x(x0)题型三求函数的定义域例3(1)函数f(x)的定义域为 ()A(1,2) B(1,0)(0,2)C(1,0) D(0,2)(2)已知函数f(x)的定义域为1,2，则函数g(x)的定义域为_答案(1)C(2)，1)解析(1)f(x)有意义，则解之得1<x<0，f(x)的定义域为(1,0)(2)要使函数g(x)有意义，则必须有，x<1，故函数g(x)的定义域为，1)(1)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是_(2)函数y的定义域为_答案(1)，(2)(1,1)解析(1)因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g

10、(x)f(x)f(x)中的自变量x需要满足解得：x，所以函数g(x)的定义域是，(2)由，得1<x<1.题型四分段函数例4(1)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3(2)设函数yf(x)在R上有定义对于给定的正数M，定义函数fM(x)则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2，M1，则fM(0)的值为()A2 B1 C. D答案(1)A(2)B解析(1)由题意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.当a>0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.(2)由题设f(x)

11、2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当1<x<1时，fM(x)1.fM(0)1.已知函数f(x)则f(x)f(x)>1的解集为()A(，1)(1，) B1，)(0,1C(，0)(1，) D1，(0,1)答案B解析当1x<0时，0<x1，此时f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)>1化为2x2>1，解得x<，则1x<.当0<x1时，1x<0，此时，f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)>1化为2x2>1，解得x<，则0<x1.故所求不等式的解集为1，)(0,1分段函数意

12、义理解不清致误典例：(5分)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a>0时，1a<1,1a>1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合题意当a<0时，1a>1,1a<1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2答案B解析由，得1<x2，且x0.2 (2012·江西)设函数f(x)则f(f(3)等于()A. B3 C. D.答案D解析由题意知f(3)

13、，f21，f(f(3)f.3 若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能()答案B解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案4 已知函数f(x)满足f()log2，则f(x)的解析式是()Af(x)log2x Bf(x)log2xCf(x)2x Df(x)x2答案B解析根据题意知x>0，所以f()log2x，则f(x)log2log2x.5 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可

14、以表示为()Ay ByCy Dy答案B解析方法一取特殊值法，若x56，则y5，排除C，D；若x57，则y6，排除A，选B.方法二设x10m(09，m，N)，当06时，mm，当6<9时，mm11，所以选B.二、填空题6 下表表示y是x的函数，则函数的值域是_.x0<x<55x<1010x<1515x20y2345答案2,3,4,5解析函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为2,3,4,57 已知f(x)x2，则f(3)_.答案11解析f(x)x2(x)22，f(x)x22(x0)，f(3)32211.8 若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_答案1,0解析由

15、题意知0恒成立x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.三、解答题9 已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得.f(x)x2x.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab等于()A1 B2 C3 D4答案D解析由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的

16、两根，故ab4.2 设函数f(x)，则不等式f(x)<f(1)的解集是 ()A(3，1)(3，)B(3，1)(2，)C(3，)D(，3)(1,3)答案A解析f(1)3，f(x)<3，当x0时，x24x6<3，解得x(3，1)；当x>0时，x6<3，解得x(3，)，故不等式的解集为(3，1)(3，)，故选A.3 已知函数f(x)则关于x的方程f(f(x)k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有1个实根；存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根其中正确命题的序号是_(把所有满足

17、要求的命题序号都填上)答案解析依题意，知函数f(x)>0，又f(f(x)依据yf(f(x)的大致图象(如右图所示)，知存在实数k，使得方程f(f(x)k0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根§2.2函数的单调性1函数单调性的定义增函数减函数定义设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量xx2x1>0，则当yf(x2)f(x1)>0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数yf(x2)f(x1)<0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升

18、的自左向右看图象是下降的2 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)(×)(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)>0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数(×)(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)(×)(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)(×)(

19、6)函数y的最大值为1.()2 函数yx26x10在区间(2,4)上是 ()A递减函数 B递增函数C先递减再递增 D先递增再递减答案C解析作出函数yx26x10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增3 (2013·安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图

20、象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件4 函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_答案，1解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.5 函数y(2x23x1)的单调减区间为_答案(1，)解析由2x23x1>0，得函数的定义域为(，)(1，)令t2x23x1，则yt，t2x2

21、3x12(x)2，t2x23x1的单调增区间为(1，)又yt在(1，)上是减函数，函数ylog(2x23x1)的单调减区间为(1，).题型一函数单调性的判断例1讨论函数f(x)(a>0)在x(1,1)上的单调性思维启迪可根据定义，先设1<x1<x2<1，然后作差、变形、定号、判断解设1<x1<x2<1，则f(x1)f(x2).1<x1<x2<1，x2x1>0，x1x21>0，(x1)(x1)>0.又a>0，f(x1)f(x2)>0，函数f(x)在(1,1)上为减函数思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的

22、步骤：(1)已知a>0，函数f(x)x (x>0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数；(2)求函数y的单调区间(1)证明设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0<x1<x2时，0<x1x2<a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1<x2时，x1x2>a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数

23、(2)解令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)题型二利用函数的单调性求参数例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa> BaCa<0 Da0(2)已知f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是_思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参答案(1)D(

24、2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a<0，且4，解得0>a.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a<2，a的取值范围是，2)(1)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba<3 Ca3 Da3(2)已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案(1)C(2)B解析(1)y1，由函数在(1，)上单调递增，有，解得a3.(2)因为f(x

25、)是R上的单调递增函数得解得4a<8，故选B.题型三函数的单调性和最值例3已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值思维启迪抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证问题(3)用函数的单调性即可求最值(1)解令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，当x>

26、;1时，f(x)<0，f<0，即f(x1)f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)解f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为()A2 B3 C4 D1(2)函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案(1)C(2)6解析(1

27、)根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x对称又函数f(x)在，)上单调递增，故f(x)在(，上单调递减，则函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.(2)易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.(1)证明设x1，x2R，且x1<x2，x2x1>0，当x>

28、0时，f(x)>1，f(x2x1)>1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)1>0f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为增函数6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)<2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a5<13<a<2，即a(3,2)12分A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1 函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当

29、x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数A中，f(x)满足要求；B中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中，f(x)ex是增函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数2 若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1答案D解析f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，a1.又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数a1&g

30、t;1，a>0.由、知，0<a1.3 已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A(0，) B(0， C0，) D0，答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由，得0<a，综上a的取值范围是0a.4 已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)答案D解析依题意得<1，即>0，所以x的取值范围是x>1或x<0.5 定义新运算“”：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x

31、)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于 ()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1<x2时，f(x)x32，f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.二、填空题6 函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是_答案解析函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x42的减区间为，e>1，函数f(x)的单调递减区间为.7 设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.8 已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(

32、1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析由f<f(1)，得>1，>1或<1，0<x<1或1<x<0.三、解答题9 函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值解(1)f(x)x24x4(x2)28.当t>2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t1<2，即t<1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，

33、由图象易知g(t)的最小值为8.10已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)().由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数答案D解析

34、由题意知a<1，g(x)x2a，当a<0时，g(x)在(1，)上是增函数，当a>0时，g(x)在，)上是增函数，故在(1，)上为增函数，g(x)在(1，)上一定是增函数2 已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(，1f(x)e|xa|f(x)在a，)上为增函数，则1，)a，)，a1.3 对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，得h(x)当0<x2时，h(x)log2x是增函数；当x>2时，h(x)3x是减函

35、数，h(x)在x2时取得最大值h(2)1.4 已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围解(1)由x2>0，得>0，a>1时，x22xa>0恒成立，定义域为(0，)，a1时，定义域为x|x>0且x1，0<a<1时，定义域为x|0<x<1或x>1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)1>0恒成立，g(x)x2在2，)上是增函数f(x)lg(x2)在2，)

36、上是增函数f(x)lg(x2)在2，)上的最小值为f(2)lg .(3)对任意x2，)恒有f(x)>0，即x2>1对x2，)恒成立a>3xx2，而h(x)3xx2(x)2在x2，)上是减函数，h(x)maxh(2)2.a>2.5 已知f(x) (xa)(1)若a2，试证：f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围(1)证明任取x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解任设1<x1<

37、;x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,1§2.3函数的奇偶性与周期性1 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2. 周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都

38、有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数(×)(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)若函数f(x)为奇函数，则a2.()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的

39、周期函数()(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0.()2 (2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)x2，则f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)(11)2.3 已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D答案B解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.4 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)等于 ()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是以4为周

40、期的周期函数，f(2 015)f(503×43)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2×122，即f(2 015)2.5 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(1,0)(1，)题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)； (2)f(x)(x1) ；(3)f(x).思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)±f(x)或其等

41、价形式f(x)±f(x)0是否成立解(1)由，得x±3.f(x)的定义域为3,3，关于原点对称又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由，得1<x1.f(x)的定义域(1,1不关于原点对称f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)由，得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，关于原点对称f(x).f(x)f(x)，f(x)是奇函数判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x).解(1)由，得定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为R

42、，关于原点对称，当x>0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x<0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x<1时，f(x)(x2)2；当1x<3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于()A335 B336 C1 678 D2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.思维启迪(1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的

43、变化情况求和(2)通过题意先确定函数的周期性答案(1)B(2)2.5解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解f(x6)f(x)，T6.当3x<1时，f(x)(x2)2；当1x<3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1×335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(

44、3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于 ()A1 B1 C2 D2(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f等于()A B C. D.答案(1)A(2)A解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(

45、4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选A.(2)f(x)是周期为2的奇函数，ffff2××.题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x

46、)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4×4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ)，单调递减区间为4k1,4k3 (kZ)(1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)<f的x的取值范围是 ()A. B.C. D.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f

47、(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)答案(1)A(2)D解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)<ff(|2x1|)<f，进而转化为不等式|2x1|<，解这个不等式即得x的取值范围是.(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)<f(80)<

48、f(11)忽视定义域致误典例：(10分)(1)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误由f(1x2)>f(2x)得1x2>2x，忽视了1x2>0导致解答失误解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k±1.(2)画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)>f(2x)，则即得x(1，1)答案(1)±1(2)(1，1)A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 (2013·广东)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1答案C解析由奇函数的定义可知yx3，y2sin x为奇函数2 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于 ()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2×(1)2(1)3.3 定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，则()Af(3)<f(2)<f(1)Bf(1)<f(2)&l