第八章多元函数微分法及其

1、第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念p)( | )(e )(pe, . ., .满足条件记作的集合的有序实数对就是满足某种条件平面点集平面上点的集合是同一概念平面上的点与数对集的一些概念必须熟悉有关平面上点元函数之前在具体研究二因此的集合定义域将是坐标平面上二元函数轴上的点集一元函数的定义域是数平面点集一x,yx,yx,y.,;:.,| ),(),()()( | ),(.,| ),(;,| ),(;,| ),(:22222212的某一个圆邻域可以包含的任意一个方邻域内反之的某一个方邻域以包含的任意一个圆邻域内可点质这两种邻域具有如下性方邻域的称为点平面点集圆邻域的称为点平面

2、点集的圆内所有点的全体半径为是平面上以原点为圆心是矩形上点的全体代表全平面例如aaaaabxaxyxbaabyaxyxrryxyxcbycbxayxeyxyxr),(,;,41 | ),(1).(.,.,.)(),(),(),(,| ),()()(0),(),(,),()(,022100222闭集没有聚点的集合也称为显然为闭集则称的一切聚点都属于若集合为开集则称若的内点及边界点研究平面点集例内点一定是聚点为聚点称无限多个点的任意领域内含有点集若点边界点外点内点连通等概念区域闭域开域闭集开集界点内点以下介绍聚点是平面点集设来表示或并用记号或集的空心邻域是指平面点点表示或泛指这两种邻域用邻域的点区

3、别地用将不加包含关系除非特别指明由于两种邻域这种相互eeeaaayxyxededcbaeauaubayxbyaxyxbyaxyxbaaauaua.0| ),(;1; c | ),( ;| ),(.,e,eqde .41 | ),(; .,| ),(212222212是开集但不是开域集合为区域例为闭域为开域如为区域分边界点的集合统称闭域或开域连同它的部开域为闭城合称开域连用它的边界的集为开域则称折线连接起来的都可用一条包含于与中任意两点若非空开集既非开集也非闭集而既是开集又是闭集与空集全平面上点的集合有聚点没有内点也没是闭集皆为正整数平面点集例xyyxbybxayxeryxyxcyxyxcrey

4、xyx 1 , 0,1| ),()(1 4),(, 52 3.,),( .),(),(|,)(),(),( ,),(, 1.,),0 , 0(), 0(,2222值域为平面上的图域的定义域是函数例其值域为整个坐标平面面其定义域是的图象是空间的一个平函数例平面上的投影区域的曲面在函数的定义域就是空间二元的图象是空间的曲面通常二元函数称为该函数的值域数集称为因变量称为自变量称为函数的定义域点集或记为的函数或点的二元函数是变量则称的值和它对应按照一定法则总有确定变量如果对于每个点是平面上的一个点集设定义二元函数二否则称为无界点集为有界点集则称示坐标原点表其中使得存在某个正数若平面点集yxyxxyyx

5、zyxzxyyxfzdyxyxfzzzyxdpfzyxfzpx,yzzdyxpdeorvere元函数概念义如二元函数情形可以定维欧化空间记作维空间称为具有这种距离性质的重合与当见仅当且述三个条件离满足下可以证明这样定义的距为距离定义与维空间的点坐标称为这个点的数维空间的点称为个有序实数组其中每一个维空间构成元函数维欧氏空间与三nrnnpppppppppppppppppxxppxxxpxxxpnxxxnxxxnnnirxxxxnnnniiinnnnin),(),(),()3( ),(),()2(;, 0),(, 0),() 1 (.)(),(),(),(.,),(., 2 , 1,),(.322

6、131122121212112)2()1(21)2()2(2)2(12)1()1 (2)1(11212121或记作时的极限当为函数则称常数成立都有的一切点使得对于适合不等式总存在正数数如果对于任意给定的正的内点或界点是内有定义或闭区域在开区域设函数定义多元函数的极限四空间的一个超平面以设想这点集描绘了我们可从几何意义看维空间的一个超平面表示时当表示空间上一个平面时当表示平面上一条直线时当方程,),(lim,),(,),(,),()()(0, 0,.),(,)(),(:.,|),(,(.,3 ,3 ,2,000020200000111ayxfyyxxyxfaayxfdyxpyyxxppdyxpd

7、yxfrreppfpnnnndxcyyxxnnniii.111sin,.,),(),(),(),(lim,),(,)(),(.,), 0(),(22220000000000000上没有定义在圆周例如函数形成一条曲线二元函数的间断点可以为间断点称否则处连续在则函数如果的内点或边界点且是内有定义或闭区域在开区域设函数多元函数连续性五二重极限叫我们把二元函数的极限为了区别一元函数极限其中yxyxypyxpyxfyxfyxfdpdyxpyxfppayxfyyxx)()(lim .,., )(2)( 1.,000pfpfppp即的函数值则极限就是函数在该点的定义域内函数处的极限而该点又在此如果要求它在的

8、连续性由多元函数内的区域或闭区域区域是指包含在定义域所谓定义定义域内连续一切多元初等函数在其介值定理性质最值原理性质元函数也有如下性质在有界闭区域上多形类似与闭区域上一元函数情证毕有时所以于是内讨论的方邻域在先限制点因为证依定义验证例14277,) 1 , 2(),( , 0)12(715277 , 72 , 53 ,11, 12| ),(1) 1 , 2(3122 ) 1)(1() 1(2)2()2)(2( ) 1(2)4(7 :7)(lim12222222222)1 , 2(),(yxyxyxyxyxyxyxyxyyxyxyyyxxyyyyxxxyxyxyxyxyxyxyxxxykxyyx

9、xyyxfyxfxyxyxyyxyxfyxyx)sin(lim4)0()0 , 0(),(. 30),(lim:0 00,1sin1sin),(. 22022)0, 0(),(求例形式方式趋于考虑以处的极限在点讨论例求证设例),(|,|,|,|),(),(,),(),(lim),(),(,),(),(. ),(00000000000000000000000略的偏导数相应地可以定义对编导数记作的处对在则称此极限为函数存在如果量相应地函数有增时处有增量在而固定在当的某一领域内有定义在点设函数偏导数定义及其计算法一偏导数第二节yfzxzxfxyxyxfzxyxfyxxfyxfyxxfxxxyyyxy

10、xfzyxxyyxxxyyxxyyxxx.,),(,),(),(lim),(),(),(,.),(),(),(,),(),(,.,.),(.,),(),(0000000函数的方法它们的求法仍然是一元为定义域的内点其中的偏导数可以定义为处对在点例如至三元及多元情形偏导数的概念可以推广处的函数值在点就是偏导函数的偏导数处对在点由偏导数概念可知从而等记作的偏导函数对自变量称为函数的函数那么这个偏导数就是的偏导数都存在处对内每一点在区域如果函数zyxxzyxfzyxxfzyxfxzyxzyxfuyxyxfyxfxyxyxffzzfxzxfxyxfzyxxyxdyxfzxxxxxxxx)( 1. ),(

11、. 5),(.)0 , 0(0 , 00,),(. 4.)sin(3.)0(2 .) 3 , 1 (2),(122222232323导数符号那样进行运算本例说明偏导数不能像求证为常量程已知理想气体的状态方例考虑但函数仍然可能不连续本题说明偏导数存在的偏导数在点求函数例的偏导数求三元函数例的偏导数求函数例偏导数的和关于在点求函数例何意义二元函数的偏导数的几pttvvprrtpvkxyyxyxyxxyyxfzyxuxxzyxyyxxyxfy二阶混合偏导数偏导数四个二阶量求导次序不同有下列的二阶偏导数按照对变则称它们是函数数也存在如果这两个函数的偏导内具有偏导数在区域设函数),()(),()(),(

12、)(),()(.),(,),(),(.),(222222yxfyzyzyyxfxyzyzxyxfyxzxzyyxfxzxzxyxfzyxfyxfdyxfyyyyxxyxxyx高阶偏导数二.33222222323,136xzyzyxzxyzxzxyxyyxz及求设例)8, 7(, 018laplace 0ln7.,),(:)(22222222222222222称为拉普拉斯方程例例其中满足方程证明函数例满足方程验证例等个二阶混合偏导数必相那么在该区域内两内连续在区域及的两个二阶混合偏导数如果函数定理相等本例中两个混合偏导数zyxrzuyuxuruyzxzyxzdyxzxyzyxfz.),(),(,

13、),(),(.,)()(-),( )()(-),( , . 处的全增量在称为二元函数的偏微分和对数对而右端分别叫做二元函的偏增量和对二元函数对上面两式左端分别称为可得微分的关系元函数微分学中增量与根据一的变化率固变量相对于该自变量变量固定时自的偏导数表示当另一个二元函数对某个自变量全微分定义一全微分及其应用第三节yxpyxfzzyxfyyxxfyxyxyx,yfx,yfyyxfxx,yfx,yfyxxfyx)(,),(),(,),(),(,)()(,),(0 ),(),( ),(),(:22证明是明显的连续可微即的全微分记作在点为函数称而可微在点称函数则有关而仅与不依赖于其中可表示为的全增量在

14、点如果函数定义ybxadzdzyxyxfzybxayxyxfzyxyxyxbaybxazyxfyyxxfzyxyxfz),(),( ),(),(),(),(),(),( ),(),(),(),(.,),(,),()(),(),(,),(,),(),()(2121,21yxyyxfxyxfyyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyzxzyxfzdyyzdxxzdzyxyxfzyxyxyxfzyxyxffyxyx连续证则函数在该点可微分连续点在的偏导数如果函数充分条件定理证明的全微分为在点且函数的偏导数必定存在则该函数在点可微分在点如果函数必要条

15、件定理)()0 , 0(.0 , 0 0 ,),(. 4.2sin. 3) 1 , 2(. 2. 1),(,.),(),()0, 0( 0. 0, 0, 0, 0,2222222221212121能推出可微本题说明偏导数存在不点连续本题在在原点的可微性考察函数例的全微分计算函数例处的全微分在计算函数例的全微分计算函数例全微分可写成函数习惯上是可微分的在从而说明又且当函数为其中yxyxyxxyyxfeyxuezyyxzdyyzdxxzdzyxfzyxpyxfzyxyxyxyxyzxy.)0 , 0(),(,)0 , 0(,)0 , 0( 0 , 00,1sin)(),( :)0, 0()()0.

16、(),()0 , 0(0 , 00,2),()(22222222222222处可微在点但不连续处在点都存在的领域内证明在设考察函数可微性主要考察不可微性及可微性偏导数存在性不连续点处的连续性在能推出连续本例说明偏导数存在不考察函数yxfyfxfyfxfyxyxyxyxyxfdzzffyxyxyxxyyxfyx都存在的任何领域内所以在时当同理所以证yfxfyxyxyxyxyyxyyxfyxyxyxyxxyxxyxfyxyxxyxxyxfyxffxxxfxfyxxyxxx,)0 , 0(0, 0 0,1cos21sin2),(0, 0 0,1cos21sin2),(1cos21sin2),(,0.

17、 0)0 , 0(; 0)0 , 0(, 01sinlim0)0 , 0()0 ,(lim:22222222222222222222222222222000)0 , 0(,)0 , 0(),(01sinlim1sin)(lim)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(lim.)0 , 0(),(;)0 , 0(),(.)21cos1(lim )21cos121sin2(lim),(lim022222200202200dfyxfyxyxyxyfxffyxfyxfyxfxxxxxxyxfyxyxxxxxyx且点可微在所以点也不连续在同理点不连续在故不存在又因为tvtutvvztuuztzvu

18、vuvvzuuzzvuvufzdtdvvztduduzdtdztttfzvuvufzttvtu212121)0,(0, 0 .),(),(:(1) ,)(),(,),(),(,)()( 当其中处可微在证列公式计算且其导数可用下可导在点合函数则复具有连续偏导数在对应点函数可导都在点及如果函数定理则多元复合函数的求导法第四节tvtuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdztwttfzttvtuwvufzdtdvvzdtduuzdtdzt图称为全导数中的导数及在公式则同样可以推得复合而得到复合函数例如间变量多于两个的情形数的中可将定理推广到复合函用同样的方法得令) 1 (.(2)(1)

19、(2) ),(),(, )()w(w )(),(),(, , 0且可用下列公式计算的两个偏导数存在点在则复合函数具有连续偏导数在对应点函数的偏导数及对具有对都在点及设类似地则可以推得以下公式复合而成函数而设例如是多元函数情形而中间变量不是一元函数上述定理还可以推广至图,),(),(),(),(,),(),(,)()()(),(, ),(),(),(),(),( , )2(yxyxwyxyxfzwvuwvufzyxx,yx,ywwx,yvx,yuxvvzxuuzxzyxyxfzyxvyxuvufztwtvtuz1 1,),(,),(, yfyuuzyzxfxuuzxzywxvyxyxfzyxuy

20、xwyxvyxuzxwwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz从而的特殊情形取取可看作则复合函数具有偏导数当特别地2222222222211 sin,cos,),(. 5 ,),(4cos,sin. 3 ,sin),(. 2,sin. 1222urrurruyvxuryrxyxfuyxwxwfxyzzyxfwdtdutveutuvzyuxuyxzezyxfuyzxzyxvxyuveztzyxu证明之下，在极坐标变换的所有二阶偏导数连续设例及求具有二阶连续偏导数设例求全导数而设例和求而设例和求而设例dvvzduuzdzyvvzyuuzyzxvvzxuuzxzydyzxdxzdzyxy

21、xfzyxvyxuyxu,vdvvzduuzdzvufz得式代入而全微分为的则复合函数续偏导数且这两个函数也具有连的函数又是如果则有全微分具有连续偏导数设函数全微分形式不变性)*( , (*) ),(, ),(,),(),(, ,),(yzxzyxvxyuvezvuvuu和求而设重解例利用全微分形式不变性全微分形式不变性这个性质称为样的它们的全微分形式是一的函数还是中间变量的函数无论是自变量由此可见,sin1 ., 它满足条件续导数的函数一个单值连续且具有连确定的某一邻域内恒能唯一在点则方程且导数一邻域内具有连续的偏的某在点设函数隐函数存在定理一个方程的情形一隐函数求导公式第五节),f(),(

22、0)f(0),(f0,),f(,),p()f( 1. 0000y0000 xyyxx,yyxyxyxx,y222220000000000000003222200, 04 2z ,z ),(),(),(0),f(, 0),(, 0),(,),(),f( 22 ,),(),(xzzzyxffyffxyxfzyxfzyyxzyxyyxfyyxfzyxpzyxffffffffdxydxyxfffdxdyxfyzyzxzyxyyyxxyyxxyx求设例并有它满足条件的函数连续且具有连续偏导数确定一个单位的某一领域内恒能唯一在点则方程且内具有连续的偏导数的某一领域在点设函数隐函数存在定理即得导的复合函数而

23、再一次求上式可看作的二阶偏导数也都连续如果并有)( ),( ),(),()(0,)g(0,)f(,)(g gf f)(g)(f,j)(0)g(0,)(,)p()g(),f(3 .00000000000000000000000000,yxuv,yxuuyxvvx,yuu,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v,v,u,yxpvuvuu,v,v,u,yx,v,u,yxf,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v它们满足条件偏导数的函数连续确定一组值连续且具有的某一领域内恒能唯一在点则方程组不等于零在点或称雅可比行列式行列式且偏导数所组成的函数又续偏导数个变量的连的某一领域内具有对各在点设隐函数存

24、在定理方程组情形二 g g )(g)(f, 1 g g )(yg)(f, 1 g g ) (g)(f, 1 g g )(g)(f, 1vuvuyuyuvuvuvyvyvuvuxuxuvuvuvxvxgffgffu,yjyvgffgff,vjyugffgffxu,jxvgffgffx,vjxuyvxvyuxuxvuxu-yvxvgxuggxvfxuffxyxvyxuyxyxvyxuyxfvuxvux和求设例得式则可解可克莱姆法求导两边对由于式可作如下推导,1y 0, 3(*)000),( ),( ,g 0),( ),( ,:(*)试证明都具有一阶连续偏导数其中的函数所确定的是由方程而设补充,0)

25、,(),() 1 (ffyxtyxfttxfytfyftfxftftfxudxdyxvxugfyvxugvyvuxfu,),(),()2( 2求具有一阶连续编导数其中设tzzztyyytxxxzzzyyyxxxzzyyxxmtttzyxmttptwztytxt00000000000000 ),(,),()()()() 1 (. 割线方程为的邻近一点及对应于的一点上对应于在曲线的参数方程为设空间曲线面空间曲线的切线与法平一微分法在几何上的应用第六节.) 1 , 1 , 1 (,10)()()(,.)(),(),(,)()()( .),0(32000000000000000外的切线及法平面方程在点

26、求曲线例因此这法平面方程为为法向量的平面而以点它是通过为曲线的法平面而与切线垂直的平面称通过点处的一个切向量在点就是曲线向量线的切向量切线的方向向量称为曲处的切线方程即得曲线在点此时令tztytxzztwyytxxttmmmtwttttwzztyytxxmtmm)()(1 ),(),(),(, 1)()(,)()()2(0) 1(3) 1(2) 1( 312111 ,3 , 2 , 1, 1) 1 , 1 , 1 (,3 ,2 , 1:00000000002xzzxyyxxzyxmxxtxzxyxxxxzxyzyxzyxttztyxttt处的切线方程为从而在此时为参数的参数方程形式则可视为以形

27、式给出如果空间曲线方程以法平面方程为于是切线方程为所以参数所对应的而点因为解故可解得由于求全导数两边对在恒等式以下关键是求型从而转化为从函数组的某一邻城内确定了一且的连续偏导数有对各个变量又设上的一个点是曲线形式给出的方程以空间曲线处的法平面方程为在点, 0),(),(00.0)(),(,0)(),(,)2(),(),(|),(),(,),(.0),(0),()3(0)()()(),(00000000000zygfjdxdzzfxdydygxgdxdzzfxdydyfxfxxxxgxxxfdxdzdxdyxzxyzygfgfzyxmzyxgzyxfzzyyxxxmzyxzyxzyxzyzyyx

28、yxzyzyxzxzgggfffzyxggffggffxdxdzggffggffxdxdy)( )(0)()()(),(),()( ,)(,)(),(, 100000000000000000000000000zzggffyyggffxxggffzyxmggffzzggffyyggffxxzyxmtggffggffxggffggffxmtxxtyxyxxzxzzyzyyxyxxzxzzyzyzyzyyxyxzyzyxzxz处的法平面方程为在点曲线处的切线方程为在点由此可以写出曲线此时处的一个切向量在点是曲线于是1, 0 , 11| , 0|1111 1111 ,1,:.) 1 , 2, 1 (0

29、, 62)1 , 2, 1()1 , 2, 1(222tdxzddxdyzyyxzyxydxzdzyxzzyzxdxdydxdzdxdyxdxdzzdxdyyxzyxzyx从而由此得得求导并移项将方程两边对解的切线及法平面方程处在点求曲线例)()()( ,)(),(),(),(),(),(, )(,.),(, 0),(.) 1 (.00) 1()2(0) 1(1102110000000000000tzztyytxxtwttzyxmtttuztytxtmyxfzzyxfzxzyxzyx为则可得曲线的切线方程不全为零且对应于点给出为假定其以参数方程形式点作任意一条曲线过作为它的特殊情形面方程然后把

30、由显式给出的曲面方程的情形首先讨论由隐式给出曲曲面的切平面与法线二即法平面方程为故所求切线方程为)(,(),(, ),(0)(),()(),()(),(0|)(),(),(, 0)(),(),(,.,0000000000000000000000定值引入向量即有得求全导数两边过所以有恒等式上完全在曲面由于曲线的法向量同一平面是寻找关键上处的切线都在同一平面它们在点的任何曲线处具有切线且在点点上通过在曲面以下要证明zyxfzyxfzyxfntwzyxftzyxftzyxftwttfdtdttwttfmmmzyxzyxtt1f ),(),(),(),(),(),(;),()2(),(),(),(,)

31、,(0)(,()(,()(,(,.,)(, 0)(),(),(z000000000000000000000000000yxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfyxfzzyxfzzzyxfyyzyxfxxzyxmzzzyxfyyzyxfxxzyxfnnmtntwtttmyyxxzyxzyx从而令量式形式给出考虑曲面方程以法线方程为法线称为曲面的而垂直于切平面的直线通过点切平面方程为于是向量切向量的所在平面的法可以充当所有从而垂直总与一固定向量是变化的点的任何曲线的切向量此式说明过我们有从而处的切向量为曲线在.),(),(,),(),()(,()(,(0)()(,()(,(1, ),(, )

32、,(),(,),(),(, ),(),(00000000000000000000000000000上点的竖标的增量处的切平面在点何在表示曲面在几的全微分在点此时表明函数或切平面方程为处的法向量为曲面在点连续时在点的偏导数当函数zyxyxfzyxyxfzyyyxfxxyxfzzzzyyyxfxxyxfyxfyxfnzyxmyxyxfyxfyxfyxyxyxyx222222000000011cos,1cos,1cos,1),(),(yxyxyyxxyxffffffffzzzyxfyyyxfxx则法向量的方向系弦为为锐角轴的正身所成的角即使其与向量的方向是向上的并假定法向角表示曲面的法向量的方如果用

33、法线方程为1, 2 , 41,2 ,21,1),(:)4 , 1 , 2(14332211014320)3(6)2(4) 1(2)3 , 2 , 1 (6 , 4 , 22 ,2 ,2,14),(:)3 , 2 , 1 (143)4, 1 , 2(2222)3 , 2, 1(222222nyxffnyxyxfyxzzyxzyxzyxnzyxfffnzyxzyxfzyxyxzyx解处的切平面及法线方程在点求旋转抛物面例法线方程为即为处此球面的切平面方程所以在点解处的切平面及法线方程在点求球面4() 1(2)2(4)4 , 1 , 2(zyxzyxzyx法线方程为即处的切

34、平面方程为所以在点),()(,lim)()(lim,),(,),(1.,000000000000zyxfpflflpffpfpfpppelzyxpplezyxfpllpi或记作的方向导数沿方向在点则称此极限值为函数存在若的距离两点间与表示以内的任一点上且含于为的射线出发为从点内的一点的定义域为函数设定义方向的变化率往往要研究沿某一特定题中但在许多实际问标轴方向的函数变化率偏导数反映沿平行于坐第七节方向导数与梯度),()sin,cos(,00000),(lim00yxfyxflfxlyx我们有正向夹角的时候与表示当用的方向导弦为方向其中且的方向导数都存在任一方向处沿在点则函数可微在点函数若导数与

35、偏导数的关系是关于沿任一方向的方向轴正向的方向导数沿平行于在点则的偏导数存在关于在点若该点极限存在限存在不能方向方向极从而即使一点处的任意极限是单侧极限由于方向方向极限方向导数是一种特殊的注意lpfpfpfpflpfzyxpzyxfthxflfxpfxpfzyxlppcos,cos,coscos)(cos)(cos)()(,),(),(1:,)2(., ) 1 ( :0000000000000则令则有处可微在点由假设我们有图如之间的距离与为记上任一点为设证, 0)(0cos)(cos)(cos)( )(0)()()()()()(0)()()()()(,coscoscos,),(:0000000

36、000000000zpfpfpfzpfypfxpfpfpfzpfypfxpfpfpfpfzzyyxxpplzyxpzyxzxxzyx:) 1 , 2, 2( :, 3) 1 , 1 , 1 (, 2) 1 , 1 , 1 (, 1) 1 , 1 , 1 (:.) 1 , 2, 2( :) 1 , 1 , 1 (,),(. 1.,sin),(cos),( cos),(cos),()(,),(cos)(cos)(cos)()()(lim)(22000000000000000的方向余弦是方向由于解的方向导数沿方向在点求设例轴正向的夹角轴分别与是方向其中我们有来说相应于二元函数lffflfzyxzyx

37、fyxlzyxfzyxfyxfzyxfpfyxfzpfpfpfpfpfpfzyxyxyxlzyxl趋时趋于沿抛物线当点因为时极限存在但这并不表明此函数在趋于零相应的沿任何直线趋于原点时当否则时当函数例的方向导数所以沿方向),(,0) 10(),(,)0 , 0(),(,),(,),(, 0,0, 1),(:31313)32(2321) , 1 , 1 , 1 (311)2(21cos321)2(22cos321)2(22cos22222222222yxfkkxyyxyxyxfyxxxyyxffll222)0, 0()()()()(),(, )(,),()(),(),(,),(),(2.)2(

38、;,) 1 (0|)0 , 0(,.),(,)0 , 0(,)0 , 0()()0 , 0(. 1pfpfpfgradupfpfpfgradupzyxfupfpfpfzyxpzyxfudeflflyxfzyxzyxzyx它的模让作梯度的在点为函数们称向量那么我处是可微的在点若函数向导数存在的必要条件方函数在一点连续并不是不是必要条件的充分条件导数存在函数在一点可微是方向此例说明都有沿任何方向在点得于是由方向导数定义可的函数值恒为零在这一段上的充分小的一段都存在包含的任何射线上但它在过当然不可微不连续所以函数在点于cosgradu)(, 1)(cosgradu )cos,cos,(cos) )(

39、),(),( cos)(cos)(cos)()()cos,cos,(cos,cos,cos,cos.,:0000pfllgradulpfpfpfpfpfpfpflpfllfflzyxzyxl所以由于夹角与为其中方向的方向导数沿在点函数单位向量是方向的于是为设有向射线的方向余弦梯度的模这一方向的变化率就是沿增长最快的方向的梯度方向是函数函数以下说明.1)2,2()(1),(2)(19) 3() 3(1 ) 3 , 3, 1 ( 3)(, 3)(, 1)(:.) 1 , 1, 2(),(1., 1cos,;, 1cos,2222222222222方向导数在这点内法线方向上的处沿曲线在点求函数例习题

40、解答所以由于解处的梯度及其模在点求函数例方向导数取得最小值方向与梯度方向相反时的故当时当取得最大值是等于方向导数时的方向与梯度方向一致当于是byaxbambyaxyxfgradfgradfpfpfpfpyzxyzyxfgradulgradulzyx故所求方向导数为又因将其单位化后得量为内法线方向向方向向量即法线方程为处的法线斜率曲线在点即求导得两边对将方程解,2,2,1,22),2(2|1, 0221:222222222222byyfaxxfabbaababsabybaxaxbabybaykmyaxbyybyaxxbyaxm24316982729427291278|272)(|272|)(|,

41、278|)(|98,94,918|, 4|, 1|, 1:.4,2,.)4, 2 , 1 (. 3)(2coscos322223222232222221112222222pppmpptttluzyxxzzuzyxxyyuzyxzyxuzyxttztytxpzyxxuabbayfxflz故方向导数切线的方向余弦为故由题设可知解导线方向在此点的切线方向上的沿曲线在点求函数例711| )coscoscos(|14| ,148| ,146|141cos ,143cos ,142),cos(1 , 3 , 2|2 , 6 , 4| 2 ,6 ,4|),(, 632),(:.)86(1:) 1 , 1 ,

42、 1 (, 63242222122222pppppppzuyuxunuzuyuxuxnzyxnpzyxfzyxzyxfnpyxzupzyxn可得由方向导数的计算公式故外侧法向量为点的在则令解的方向导数方向处沿在点求函数外側的法线向量处的指向在点为曲面设例).,)0 , 0()0 , 0(. 3)0 , 0(. 2)0 , 0(43. 1.,).,(),(),(),();,(),(),(),(),(),(,),(),(,. 22220000000000000000为负的点也有使函数值总有使函数值为正的点的任一领域内因为点处不取极小值在点函数例处有极大值在点函数例处有极小值在点函数例为极值点使函数

43、取得极值的点称极小植统称为极值极大值有极小值则称函数在点如果都适合不等式有极大值则称函数在点如果都适合不等式的点域内异于对于该领的某个领域内有定义在点设函数最小值值多元函数的极值及最大一法多元函数的极植及其求第八节xyzyxzyxzyxfyxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxyxyxyxfzdef:),(),(),(,),(,),(, 0),(, 0),(,),(),()(2.),(),(0),(, 0),(,0)(,()(,(,),(),(,0),(, 0),(:,),(,),(),()( 100000000000000000000000000000000000如下处是否取得极值的条件在

44、则令又且有一阶及二阶偏导数的某领域内连续在点设函数充分条件定理的驻点称为函数同时成立的点凡是能使仿照一元函数坐标面的平面成为平行于则切平面面处有切平在点这时如果曲面从几何上看然为零则它在该点的偏导数必处有极值在点且具有偏导数在点设函数必要条件定理yxyxfcyxfbyxfayxfyxfyxfyxyxfzyxfzyxyxfyxfzzxoyyyyxfxxyxfzzzyxyxfzyxfyxfyxyxyxfzyyxyxxyxyxyxyx., ),(2,:,),(:., 0),(, 0),(:),(, 2 , 1.,0)3(0)2(.0;0,0) 1 (00200222是极大值还是极小值极值是否是的结论

45、判定按定理的符号定出第三步和求出二阶偏导数的值对于每一个驻点第二步即可求得一切驻点求得一切实数解解方程第一步的极值求法如下导数的函数我们把具有二阶连续偏利用定理需另作讨论也可能没有极值时可能有极值时没有极值极小值时有当时有极大值且当时具有极值yxfbaccbayxyxfyxfyxfzbacbacaabacyx31)2 , 3()2 , 3(, 0, 0)6(12,)2 , 3(;)0 , 3(, 0612,)0 , 3(;)2 , 1 (, 0)6(12,)2 , 1 (; 5)0 , 1 ()0 , 1 (, 0, 0612,)0 , 1 (, 66),(, 0),(, 66),()2 ,

46、3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 ( 063),(0963),(:933),(. 42222222233fabacfbacfbacfabacyyxfyxfxyxfyyyxfxxyxfxyxyxyxfyyxyxxyx有极大值处所以函数在又处在点不是极值所以处在点不是极值所以处在点处有极小值所以函数在又处在点再求二阶偏导数求得驻点为先解方程组解的极值求函数例)0, 0(),22(2)22(2,2,:?,2. 5).(),(,.,),(,),(,.,3yxyxxysxyxxyyxysxyymxmmdyxfddyxfdyxf即此水箱所用材料面积则其高为宽为设水箱的长为解才能使用料最

47、省高各取怎样尺寸时宽问当长的有盖长方体水箱体积为某厂需用铁板做成一个例最小值上的最大值在函数值就是函数则该驻点处的又驻点唯一得如果最值一定在内部取根据实际问题的就是最小值最小其中最大的是最大值小值相互比较的边界上的最大值和最在值及内的所有驻点处的函数在具体方法是将函数求出最值则可以利用极值上连续在有界闭区域如果与一元情形类似偏导数不存在的点在求极值时同样要考虑与一元情形类似.,.,)(2,.,.(*) .2222,2,2,2,2,2,20)2(20)2(2,22233333333322无条件极值域内的极值问题称为除了限制在函数的定义相应地极值称为条件极值条件的象这样对自变量有附加还必须满足量所

48、以自变又因假定表面积为则体积为设长方体三棱为的体积问题而体积为最大的长方体求表面积为例拉格朗日乘数法条件极值二时水箱所用材料最省为高宽为也即当水箱的长为取得最小值时当又由驻点的唯一性可知一定存在水箱所用材料的最小值由题意可知解得驻点令称为目标函数的二元函数和就是可见axzyzxyzyxaxyzzyxammsyxyxyxsxysyxsyx.)2(2,)(22,)(2,.) 1 (222的无条件极值问题于是问题转化为求中再将其代入函数的表示成将可由条件比如对于上述问题规方法来解决转化为无条件极值用常条件极值问题的解答yxxyaxyvxyzvyxxyazyxzaxzyzxy0,),(,(),(),(

49、0),(0),(,),(.0),(),()2(00(*)0000 xxxzxxzxxfzyxfzxyyxyxyxyxyxfz从而处取得极值的一元函数在作为于是也即说明中得将其代入唯一确定了一个函数函数在满足一定条件下作为隐又则处取得极值设函数在下取得极值的必要条件在条件首先寻求函数拉格朗日乘数法.(*)(*),0),(),(),(),()(),(),(0),(),(*)0000000000000000000件即为取得极值的必要条于是代入上式得隐函数求导公式而yxyxyxfyxfyxyxdxdydxdyyxfyxfdxdzyxyxyxxxxxyxxx(3) 0),( (2) 0),(),(1)

50、0),(),(,),(),(00000000000000yxyxyxfyxyxfyxyxfyyxxyy上述条件变为设0),(0),(),(0),(),(),(),(),(.,0),(),(:.,),(),(),(),()2(),1 (00yxyxyxfyxyxfyxyxfyxfyxyxfzyxyxyxfyxfyyxx点组的解得出可能的极限然后求下列方程可先作辅助函数点下的可能极值在附加条件要确定函数小结待定其中的值数在的两个一阶偏导恰好是函数而6322222)6(108,6ln3ln2ln,0, 0, 0.) 1 , 0 , 2(),1 , 0 , 1 (,1.cbacabcbarzyxzyxuzyxqpzyx成立不等式并证明对任意的正实数上的最大值在球面函数时当例离平方和最小的距使它与两定点上求一点在平面例.,:) ) )(0 (1)(0 )()!1()()( !)()(! 2)(