“数学分析”(下)学习引导

1、“数学分析”(下)学习引导第九章.级数一重点：幕级数收敛区间的确定，以及求其和函数.二例题.例1.求幕级数1 2x + 2 3兀 + + n(n + i)x + 收敛区间与和函数.解.设an = n(n + 1),于是lim 也= lim = l"t8 cln从而收敛半径为r = l.但是；t = ±l时，幕级数发散故其收敛区间为(-u).设f(x) = 1 2兀 + 2 3兀 + + n(n + l)x + ，(ix < 1).逐项积分，得mz+3 宀+”+)=口于是，有fm =x2、(1一兀)2丿2x(1 一兀尸例2.试用幕级数求数项级数若(七尙的和.解.考察幕级

2、数84n +1z(-ir?j=1易求此幕级数收敛区间为-1,1.设其和函数为丄jy4n+】4/2 + 18广=工(-1)十n=l于是ft dtcx dt)1 + /j) 1 + r由于在闭区间-1，1上连续，从而j) 1 +1 fm=lxtf， mil.因此/专"止金+步呗+") 第十章.多元函数微分学重点：复合函数的偏导数的计算.二.例题.例 1设 z = ln(w2 + v),而 u = ex+y', v = x2 + >?.求旦仝. dx dy解.由于各= 20譽=2. ? = 1,于是 oxdydxdydz dz du dz dv 2 t_ = 7_7

3、_ + 7_7_ = (必+ %)，ox ou ox dv dx u + v& dz du dz 8v 1x+>,2=+= (4uye +1).dy du dy dv dy u2 +*例2设z = /(x,-)求弩，啓.ydx一 dxdy解.这里z是以兀和y为自变量的复合函数，它可写成如下形式z = /("*)，u = x, v = . y由复合函数求导法则知dz _df du df 5v _df 1 df ox du dx cv dx du y du于是化一 6 ©. 1 dfxd2fdut a2/ av. ira2/ du ,夕/州=i1 ) =11 l1

4、；jdx2 dx du y dv du dx dudv dx y dvdu dx dv dx _df_2 d2f1dfdu2y dudvy2dv2，色=(堂+丄笑)dxdy dy du y dv= d2f cu d2f dv _| 1 a2/ ou | a2/ dvdu2 dy dudv dy y2 dv y dvdu dy dv2 dyx d2fx d2f1 dfy2 dudv y3 dv2y2 dv第十一章.多元函数微分学一.重点：隐函数的求导，条件极值的计算，以及偏导数在几何上的 应用.二.例题.例1设方程)x-siny = 0 确定 y = y(兀)，求2dx解设f(x,y) = y-

5、x-|siny .由于f,及其偏导数耳,化在平面上任一2点都连续，且f(0,0) = 0, fv(xo9 = l-|cos>0.厶于是由方程f(x,y) = 0确定字=f(x)存在,且dxdx fy 1 -ycosy 2 - cos y例2讨论方程f(x,y,z) = xyz3+x2 + y3-z = 0在原点0(0,0,0)附近所确定 的二元隐函数及其偏导数.解.由于f(0,0,0) = 0,巴(0,0,0) = -1工0,处处连续，由隐函 数存在定理，知f(x,y,z) = 0在原点附近能唯一确定连续的隐函数 "/("),且可求得它的偏导数如下& _ 化_

6、平3 +2兀 比_ 代汐+彳)"dxfy 1 - 3xyz2， dyfy 1 - 3xyz2例3求函数f(x,y,z) = xyz在条件丄+丄+ - = (x > 0, > 0, z > 0)下的极 x y z r值，并证明不等式(111y' ,r3 <abc ,a b c 丿其中d,/?,c为任意止实数.解.设拉格朗13函数为z/x, y, z, 2) xyz + 2(i1).x y z r对厶求偏导数，并令它们都等于零，则有2 2 2匕=2 _ = °， l、= yx=0, l, =- = 0,x y z r由此解得厶的稳定点为x = y

7、 = z = 3r9 2 = (3r)4.为判定/(3r,3r,3r) = (3r)3是否为所求条件极(小)值，可把条件丄+丄+丄=丄看作隐函数"讼,刃(满足隐函数定理条件)，并把目标函x y z rf(x,y,z) = xyz看作/与z = z(x,y)的复合函数，再应用极值充分条件來作出判断，为此计算如下:j =z2x22 2fx = yz + v = >7, f =xz-xz22yz32 c 3 z . 2z +x xy当 x = y = z = 3r 时，fxx = 6r = fyy, fxy = 3r ,or yyf.“ f = 36r2 9r2 = 27r2 >

8、;0.由此可见，所求得的稳定点为极小值点，且是最小点.于是，就有不等式xyz (3r)3, (兀>0,y >0,z >0,且+ + = ).x y z r令兀= o,y = b,z = c,贝lj有r = (+ -j- + -)-1,代入上面不等式，有a b cabc > 3(丄+ g +丄)-丫，a b c或3(- + - + -)_1 <l/abc , (d>(),b0,c>0). abc例3求椭圆而戏+2戸+3/ =6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.解.设 f(x,y,) = x2+2y2+3z2-6.由于 fx =2x9fy =2y,

9、fz =6z 在全空间上处处连续，在(1,1,1)处f、=2,fy=4, f： =6,于是，得切平面方程为2(x-l) + 4(y l) + 6(z 1) = 0,即 x + 2y + 3z = 6.法线方程为x - 1 y - 1 z 1 r 2第十二章反常积分与含参变量的积分%1. 重点：含参变量的无穷积分收敛的判定.%1. 例题.例1证明含参变量的无穷积分竺耳dx在(-00,+00)上一致收敛.1 x证.由于对zr,有|罟*古，及反常积分占必收敛，由m判别法知，所判含参变量的无穷积分在(-8,+8)上一致收 敛.例2证明含参变量的无穷积分 pexy sinxjx在(0,+oo)上非一致收

10、 敛.证.玉0=丄 >0， va>0,卫炽，(2k + l)”a，(r 充分大)，3y0 =1e(2k + 1)tte (0,+oo),有 e sinxdx > e拓smxdx =>| ilkrjlkre u由柯西一致收敛准则知无穷积分严'sin皿在(0,+oo)上非一致收敛 第十三章.重积分一.重点：二，三重积分的计算 二例题.例1设d是由直线x = 0, y = 1,和y = x围成，试求i = x2ey dxdy 的值.d解.先对兀积分后对y积分.i = fdy f x2ey dx = y3ey dy . 由分部积分法，知/ =7-丄.6 3e例2计算，其

11、中u为由平面x = l, x = 2, z=0, y = x,与 v兀+ y解.v在平面上的投影区域为d = (x, y) :0<y<x,l<x< 2,于是prr dxdydz+y2clz2 2x + y= 1 f2ln(x2+y2)|xjx= ljn2x + y 22第十四章.曲线与曲面积分一.重点：利用格林公式和高斯公式计算曲线与曲面积分.二例题.例 1 求/ =j " siny -刃dx + ex cos - cly ,其中 c 是点 a(2,0)到点0(0,0)的上半圆周.解.用处轴上直线段必，使上半圆周和直线段朋构成封闭曲线.设p(x, y) = ex sin y 一 y , q(x, y) = ex cos y -i.有8qdxdp¥cos y - (ex cos y 1) = 1 于是=i ex sin y -jihoaydx + ex cos y-dy=dxdy712其中在直线段必上，有尸o, (0<x<2),则ex sin y - ydx + 0 cos y - ldy = 0. )a因此ex sin y -刃dx + e x cos y - dy =. m2例 2