第四节隐函数

1、第四节 隐函数所确定的函数的导数及由参数方程相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数31xy若由方程0),(yxf可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例例1、求由方程03275xxyy)(xyy 在 x

2、 = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例例2.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例例3、 求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxx

3、yx说明说明: : 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3

4、lnxx11x21x31x41x若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(

5、tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得例例4、抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则yxo2212tgtvytanxyddtyddtxdd12vtgv 抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出 (即 t = 0 )时,

6、 倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向2vt gyxo 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例例5、一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0500h)minrad/(转化转化内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用