中国计量学院~学第二学期《高等数学A》课程考试试卷(A)

1、装订线中国计量学院2009 2010 学年第二学期高等数学(A)(2) 课程考试试卷（A）开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2010 年 7 月 1 日 9：00 时考试形式：闭卷、开卷，允许带 铅笔、钢笔、橡皮 、胶带纸等文具 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序一二三四五六总分得分评卷人得分评卷人一、单项选择题（每小题3分，共15分）一、单项选择题（每题3分，共15分）1 函数在（2，1）处的全微分为（ ）A， B，C， D，2 极限（ ） A， B， C， D，不存在3设存在，则（ ）A， B， C， D，4下列级数条件收敛的是（ ）A， B， C， D，5. 设，则（ ）A

2、， B， C， D， 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分) 1设，具有一阶连续偏导数，则 . 2. 面上的双曲线绕轴旋转一周而成的曲面方程为 .3. 改变二次积分的积分次序4. 已知级数，则级数 .5. 幂级数的收敛域为 得分评卷人三、计算与解答题(每小题7分，共56分)1、求过点且与两平面和平行的直线方程2、求垂直于平面且过点和的平面方程装订线3、求曲线在点处的切线方程4、计算，其中是由，所围成的闭区域5、计算，是抛物面被平面所截下的有限部分的下侧。6、计算，其中是抛物线上从点到点的一段弧装订线7、计算三重积分:，其中是由旋转抛物面及平面所围成的闭区域8、求幂级数的收敛域与和函数.得

3、分评卷人四、应用题（8分）要用铁板做一个体积为立方米的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.得分评卷人五、证明题（6分）设是椭圆： 的正方向的边界光滑闭曲线，证明： 中国计量学院2009 2010 学年第二学期高等数学(A) (2) 课程考试试卷（A）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院 ，学生班级： ，教师： 等 一 单项选择题（每小题3分, 共15分)15， BCCAD 二、填空题（每小题3分， 共15分)1 2 3 4 5三、计算与解答(共56分)1、解:因为所求直线与两平面都平行，因而平行于他们的交线，而交线的方向向量为 （+3分）故所求直线方程为 .(+

4、4分)2、解:由条件，设所求平面方程为 （1）而，且在所求平面上，因而有， （2） （+3分）又所求平面垂直于平面，故有 ， （3）因此由（2）、（3）得，代入（1）得 或 .(+4分)3、解: 处,对应，且处对应的切向量为 .(+3分)所求切线方程为 .(+4分)4、解： （+4分） .(+3分)5、解：计算，是抛物面被平面所截下的有限部分的下侧。解：由对称性知： (+3分) (+4分)6、解： (+4分) (+3分)7、计算三重积分:，其中是由旋转抛物面及平面所围成的闭区域解： ,其中： (+2分)故 (+5分)8、因，故收敛半径为。当时级数分别为与，且都发散，故级数的收敛域为 .(+3分

5、)当 时设 ，则有 (+4分)四、应用题(8分)解：设水箱的长为，宽为，则高应为，此水箱所用材料的面积为 .(+4分)令解这个方程组的驻点得 ，由题意，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在区域中取得，又函数在内只有唯一的驻点，因此当时取得最小值，即当水箱的长为 ，宽为 ，高为时，水箱所用的材料最省。 .(+4分)五、 证明题(6分)证：记，则在椭圆内作包含原点的半径为的小圆，其圆周曲线为，方向取为顺时针方向，因此构成一个封闭的区域，由格林公式得： .(+3分)因，所以得 由此得 ，即 .(+3分)注：计算、解答和证明过程没有错误，并能得到该题正确答案的其它计算、解答和证明方法可参照本参考答案

6、的标准给分。中国计量学院2009 2010 学年第二学期高等数学(A)（2）课程考试试卷（B）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院 ，学生班级：，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1B 2C 3C 4D 5B二、填空题（每小题3分，共15分)1 2 3 4 5三、计算题(每题7分；共56分)1解： 设平面方程为 根据题意有 （4分） 所以有； 所求平面方程为 （3分）2解： （3分） （4分）3解：是由及所围成的闭区域 也就是 （3分） （4分）4解：计算三重积分:，其中是由旋转抛物面及平面所围成的闭区域解： ,其中： (+2分)故 (+5分)5解： 设，因为， 所以，而且

7、有， .(3分) 故由格林公式得 .(4分)6解：计算，是抛物面被平面所截下的有限部分的下侧。解：由对称性知： （3分） .(4分)7解： . (3分) 所以原式 （4分)8解 ，所以收敛半径为1；在端点处，级数为，发散；在端点处，级数为为收敛的交错级数所以收敛域为 （2分）令，则当时有 ， （2分）因 于是在上积分得： (3分)四、应用题（8分）解：设球面方程为，是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则长方体的长、宽、高分别为体积为 （3分） 做辅助函数则有方程组 解得为唯一驻点 （3分）根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别为体积最大。 （2分）五、证明题（6分） 证

8、明: 证明：因为级数、均收敛，所以+即收敛 （2分） 因为 （2分）因此收敛，即绝对收敛。 （2分）中国计量学院200 8 200 9 学年第 2 学期 高等数学（A）(2) 课程试卷（ B ）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级： 08级二本各班 ，教师： 丁春梅 等 一、单项选择题（每题3分，共15分）1、A 2、C 3、C 4、D 5、B 二、填空题（每题3分，共15分）1、（由两点距离相等或经化简可得该平面方程的答案都算正确） 2、 3、 4、 5、三、计算与解答题（8、9小题各7分，其它小题各6分，共56分）1. 解：因 ， （+3分） （+3分）2解： （+3分） .(

9、+3分)3. 解：记，则 （+3分） （+3分）4. 解：方程的特征方程为：，其特征根为， （+3分）故方程的通解为： .(+3分)5解： (+3分) (+3分)6解：解：因为所求直线与两平面都平行，因而平行于他们的交线，而交线的方向向量为 （+3分）故所求直线方程为 .(+3分)7解：因的柱坐标方程是， .(+3分)因此有 .(+3分)8因，故收敛半径为。当时级数分别为与，且都发散，故级数的收敛域为 .(+3分)当 时设 ，则有 (+4分)9解：记，则在上有，且在上的投影区域为，在上，且在上的投影区域仍为，而且有 （+3分）， 因此有 （+4分）四、应用题（8分）解：设长方体箱子的长、宽、高分别为,，则长方体箱子的表面积为，而，设 (+4分)则，求解以上方程组得，此时面积最小，平方单位 (+4分)五、证明题（6分）证：记，则在椭圆内作包含原点的半径为的小圆，其圆周曲线为，方向取为顺时针方向，因此构成一个封闭的