【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮（全国人教数学）-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元 不等式（理科2012年） Word版含答案

1、E不等式E1不等式的概念与性质5E1、E6 下列不等式一定成立的是()Alglgx(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)5C 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件对于A选项，当x时，lglgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，x211，0<1，所以正确的是C.21D1、D3、E1、M3 设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)若a21，求证：Sn(a1a

2、n)，并给出等号成立的充要条件21解：(1)证法一：由S2a2S1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2.又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nN*成立，从而an是首项为1，公比为a2的等比数列证法二：用数学归纳法证明ana，nN*.当n1时，由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，再由a20，得a11，所以结论成立假设nk时，结论成立，即aka，那么当nk1时，ak1Sk1Sk(a2Ska1)(a2Sk1a1)a

3、2(SkSk1)a2aka，这就是说，当nk1时，结论也成立综上可得，对任意nN*，ana.因此an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知a11，ana，所以要证的不等式化为1a2aa(1a)(n3)，即证：1a2aa(1a)(n2)当a21时，上面不等式的等号成立当1a21时，a1与a1(r1,2，n1)同为负；当a21时，a1与a1(r1,2，n1)同为正因此当a21且a21时，总有(a1)(a1)0，即aa1a(r1,2，n1)上面不等式对r从1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)，由此可得1a2aa(1

4、a)综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立证法二：当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立当a21时，Snn(a1an)，等号也成立当a21时，由(1)知Sn，ana，下证：(1a)(n3，a21且a21)当1a21时，上面不等式化为(n2)ana2nan2(n3)令f(a2)(n2)ana2na.当1a20时，1a0，故f(a2)(n2)ana2(1a)(n2)|a2|nn2，即所要证的不等式成立当0a21时，对a2求导得f(a2)nng(a2)其中g(a2)(n2)a(n1)a1，则g(a2)(n2)(n1)(a21)a0，即g(a2)是(0,

5、1)上的减函数，故g(a2)>g(1)0，从而f(a2)ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)f(1)n2，所要证的不等式成立当a21时，令b，则0b1，由已知的结论知，两边同时乘以a得所要证的不等式综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立9B11、B12、E1 设a>0，b>0()A若2a2a2b3b，则a>bB若2a2a2b3b，则a<bC若2a2a2b3b，则a>bD若2a2a2b3b，则a<b9A 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、

6、构想、推理的能力若2a2a2b3b，必有2a2a>2b2b.构造函数：f(x)2x2x，则f(x)2x2x在x0上单调递增，即ab成立，故A正确，B错误其余选项用同样方法排除7D2、E1 设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d<0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d<0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*，均有Sn>0D若对任意nN*，均有Sn>0，则数列Sn是递增数列7C 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度法一：特值验证排除选项C显然是错的，

7、举出反例：1，0,1,2,3，满足数列S n是递增数列，但是S n0不恒成立法二：由于Snna1dn2n，根据二次函数的图象与性质知当d<0时，数列Sn有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列Sn是递增数列，那么d>0，但对任意的nN*，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C. 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据图12E2 绝对值不等式的解法13E2 若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.132 本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题去绝对值得2kx42，即2kx6，又其解集为，k2.E

8、3一元二次不等式的解法13E3 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系由条件得a24b0，从而f(x)2，不等式f(x)<c解集为<x<，故两式相减得3，c9.11E2、A1 已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.111,1 本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题A，且AB(1，n)，m1，B，AB(1,1)，即n1.1A1、E3 设集合Ax|1<x<4，集合Bx|x22

9、x30，则A(RB)()A(1,4) B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)1B 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等由于Bx|x22x30x|1x3，则RBx|x<1或x>3，那么A(RB)x|3<x<4(3,4)，故应选B. 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键14A2、A3、B3、E3 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若同时满足条件：xR，f(x)<0或g(x)<0；x(，4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是_14(4，2) 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础

10、知识和基本技能满足条件时，由g(x)2x2<0，可得x<1，要使xR，f(x)<0或g(x)<0，必须使x1时，f(x)m(x2m)(xm3)<0恒成立，当m0时，f(x)m(x2m)(xm3)0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)0的两根2m，m3都小于1，即可得m(4,0)满足条件时，因为x(，4)时，g(x)<0，所以要使x(，4)时，f(x)g(x)<0，只要x0(，4)时，使f(x0)>0即可，只要使4比2m，m3中较小的一个大即可，当m(1,0)时，2m>m3，只要4&

11、gt;m3，解得m>1与m(1,0)的交集为空集；当m1时，两根为2；2>4，不符合；当m(4，1)时，2m<m3，所以只要4>2m，所以m(4，2)综上可知m(4，2)2E3 不等式0的解集为()A. B.C. 不等式等价于解得x1，选A.16B11、B12、E3 设f(x)a ln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值16解：(1)因f(x)a ln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知

12、f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值E4 简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题14E5 设函数f(x)D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在D上的最大值为_142 本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识，解题的突破口是先求出切线的方程，画出可行域对于函数在x1的导数，可只对函数ylnx求导，有y

13、，所以在x1处的切线的斜率为k1，在x1处的切线方程为：yx1.此时可画出可行域当目标函数过点(0，1)时z取得最大值2.5E5 已知变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B. C D. 5A 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题可行域如图所示阴影部分当目标函数线l移至可行域中的点A(2,0)时，目标函数有最大值z3×206；当目标函数线l移至可行域中的B点时，目标函数有最小值z3×3.10E5、H4 设平面点集A(x，y)(yx)·y0，B，则AB所表示的平面图形的面积为()A. B.C. D.10D 平面点集A表示的平面

14、区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是AB所表示的平面图形由于圆和曲线y关于直线yx对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为.8E5 设变量x，y满足则2x3y的最大值为()A20 B35C45 D558D 本小题主要考查线性规划解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值不等式组表示的区域如图11所示，令z2x3y，目标函数变为yx，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z2x3y经过点A时，z最大，由于故而A的坐标为，代人z2x3y，

15、得到zmax55，即2x3y的最大值为55.图1113E5 若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_131 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值1.11E5 若x，y满足约束条件则xy的取值范围是_11. 本题考查线性规划的应用设zxy.作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)易知当直线zxy经过点A(0,3)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最小值，且zmin3，当直线zxy经过点C(1,1)时，直线在y轴上截距最小，目标函数z取得最大值，即zmax0，所以xy

16、2E5、K3 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.2D 设事件A：点到坐标原点的距离大于2.如图11，P(A).图119E5 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1800元 B2400元C2800元 D3100元9C 设该公司

17、每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则 利润函数z300x400y，如图，在 的交点(4,4)处取得最大值zmax300×4400×42800元9E5 若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1 C. D29B 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当曲线y2x与直线yx3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x1，y2，所以交点的横坐标为x1，所以当m1时，曲线y2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.5E5 已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A12 B11 C3 D15B 作出可行域，如

18、图所示目标函数变形为：y3xz，平移目标函数线，显然当直线经过可行域中A点时，z最大，由 得A(3,2)，所以zmax3×3211.所以选择B.8E5 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0 B30,20 C20,30 D0,508B 考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形结合思想，以及

19、阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即设出 x、y、z；列出约束条件，确定目标函数；画出可行域；判断最优解；求出目标函数的最值，并回到原问题中作答设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件 下，求z0.55×4x0.3×6y1.2x0.9yx0.9y的最大值画出可行域如图利用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值故选B.14E5 设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_14 作出不等式组 表示的平面区域(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线zx2y，可知当直线zx2y经过点M(1,2)时，zx

20、2y取得最小值3，经过点N(3,0)时，zx2y取得最大值3，所以zE6基本不等式5E1、E6 下列不等式一定成立的是()Alglgx(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)5C 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件对于A选项，当x时，lglgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，x211，0<1，所以正确的是C.15A2、C8、E6、E9 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所

21、有正确命题的编号)若ab>c2，则C<；若ab>2c，则C<；若a3b3c3，则C<；若(ab)c<2ab，则C>；若(a2b2)c2<2a2b2，则C>.15 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等对于，由c2a2b22abcosC<ab得2cosC1>2，则cosC>，因为0<C<，所以C<，故正确；对于，由4c24a24b28abcosC<a2b22ab得ab>3即8cosC2>36，则cosC>，因为0<C<，所以C<，故正确；对

22、于，a3b3c3可变为331，可得0<<1,0<<1，所以133<22，所以c2<a2b2，故C<，故正确；对于，c<2ab可变为2×>，可得>c，所以ab>c2，因为a2b22ab>ab>c2，所以C<，错误；对于，c2<2a2b2可变为<，即>，所以c2<ab，所以cosC>，所以C<，故错误故答案为.E7 不等式的证明方法E8不等式的综合应用14E8 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则的取值范围是_14 本题考查多元问题的求解以及

23、线性规划思想的运用解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形由方程组得交点坐标为C，此时zmax7.又过原点作曲线yex的切线，切点为(x0，y0)，因yex，故切线斜率kex0，切线方程为yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01，故切线方程为yex，从而zmine，所求取值范围为21 B12、B14 、E8 设a<1，集合AxR|x>0，BxR|2x23(1a)x6a>0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a

24、)x26ax在D内的极值点21解：(1)xDx>0且2x23(1a)x6a>0.令h(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a3(3a1)(a3)当<a<1时，<0，xR，h(x)>0，BR.于是DABA(0，)当a时，0，此时方程h(x)0有唯一解，x1x21，B(，1)(1，)于是DAB(0,1)(1，)当a<时，>0，此时方程h(x)0有两个不同的解x1，x2.x1<x2且x2>0，B(，x1)(x2，)又x1>0a>0，所以i)当0<a<时，DAB(0，x1)(x2，)；ii)当a0时，D(x2，

25、)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：x(，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当<a<1时，D(0，)由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点，x1为f(x)在D内的极小值点当a时，D(0,1)(1，)由表可得，x为f(x)在D内的极大值点当0<a<时，D(0，x1)(x2，)x12a>a且x1<<1，x2>1，aD,1D.由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点当a0时，D(x2，)且x2>1.由表可得，f(x)在D内单调递增因此f(x)在D内没有极

26、值点21B9、B12、E8 设函数fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x2，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性21解：(1)b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)×1<0，fn(x)在内存在零点又当x时，fn(x)nxn11>0，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x2都有|f2(x1)f2(x

27、2)|4等价于f2(x)在上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当>1，即|b|>2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|>4，与题设矛盾当1<0，即0<b2时，Mf2(1)f224恒成立当01，即2b0时，Mf2(1)f224恒成立综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf2(1)，f2(1)f2f21c|b|24恒成立(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2)fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11<xxn

28、11fn(xn1)，又由(1)知fn(x)在上是递增的，故xn<xn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，是递增数列法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1<xxn10，则fn1(x)的零点xn1在(xn,1)内，故xn<xn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，是递增数列E9 单元综合17E9 如图15，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横

29、坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由图1517解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标21H10、E9 如图17所示，动点M与两定点A(1,0)、B(2,0)

30、构成MAB，且MBA2MAB，设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y2xm与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|PR|，求的取值范围图1721解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y0.当MBA90°时，点M的坐标为(2，±3)当MBA90°时，x2，由MBA2MAB，有tanMBA，即.化简可得，3x2y230.而点(2，±3)在曲线3x2y230上，综上可知，轨迹C的方程为3x2y230(x>1)(2)由消去y，可得x24mxm230.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，)内，设f(x)x

31、24mxm23.所以解得，m>1，且m2.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|<|PR|有xR2m，xQ2m.所以1.由m>1，且m2，有1<1<74，且17.所以的取值范围是(1,7)(7,74)16D5、E9 记为不超过实数x的最大整数，例如，2，1，1.设a为正整数，数列xn满足x1a，xn1(nN*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16 对于，x1a5，x23，x3

32、2，正确；对于，取a3，则x13，x22，x31，x42.由此可知，n2时，该数列所有奇数项等于1，所有偶数项等于2，故错误；对于，由的定义知x1，而a是正整数，故xn0，且xn是整数，又n1时，x1a>1，命题为真，于是，xn1，由于xn和都是整数，故xn1>11，正确；对于，当xk1xk时，得xk，从而xk0，即xk0，xkxk0，即xk0，解得xk，结合得：1xk，故xk. 正确15A2、C8、E6、E9 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)若ab>c2，则C<；若ab>2c，则C<；若a3b3c3，则C<；若(ab)c<2ab，则C>；若(a2b2)c2<