初中二次函数知识点详解助记口诀2

1、学习必备欢迎下载二次函数学问点详解学问点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（ a， b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横

2、、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当ab 时，（ a， b）和（ b，a）是两个不同点的坐标；学问点二、不同位置的点的坐标的特点1、各象限内点的坐标的特点点 px,y 在第一象限x0, y0点 px,y 在其次象限x0, y0点 px,y 在第三象限x0, y0点 px,y 在第四象限x0, y02、坐标轴上的点的特点点 px,y 在 x 轴上y点 px,y 在 y 轴上x0 ， x 为任意实数0， y 为任意实数点 px,y 既在 x 轴上，又在y 轴上x ， y 同时为零，即点p 坐标为（ 0， 0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y 在第一、三象限夹角

3、平分线上x 与 y 相等点 px,y 在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点学习必备欢迎下载位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 p 与点p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 p 与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 px,y 到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 px,y 到 x 轴的距离等于y（2）点 px,y 到 y 轴的距离等于x（3）点

4、px,y到原点的距离等于x 2y 2学问点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值， y 都有唯独确定的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式； 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数

5、y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；学习必备欢迎下载学问点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如ykxb （ k ， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （k 为常数， k0）；这时， y 叫做 x 的正比例函数；

6、2、一次函数的图像全部一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：一次函数ykxb 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（0，0）的直线；k 的符号b 的符号函数图像图像特点yb>0图像经过一、二、三象限，y 随 x0x的增大而增大；k>0yb<0图像经过一、三、四象限，y 随 x0x的增大而增大；yk<0b>0图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小0xb<0y图像经过二、三、四象限，y 随 x的增大而减小；学习必备欢迎下载0x注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；

7、4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数ykx 有以下性质：（1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k<0 时，图像经过其次、四象限，y 随 x 的增大而减小；5、一次函数的性质 一般地，一次函数ykxb 有以下性质：（1）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb （ k0）中的常数k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法

8、学问点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数yk（ k 是常数， k0）叫做反比例函数；反比例函数的解析式也可以写成xykx 1的形式；自变量x 的取值范畴是x0 的一切实数，函数的取值范畴也是一切非零实数；2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，学习必备欢迎下载它们关于原点对称；由于反比例函数中自变量x0，函数 y0，所以，它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永久达不到坐标轴；3、反比例函数的性质反比例函数yk k0 xk 的符号k>0k<0yy图像oxox x 的取

9、值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限；在每个象限内，y 随 x的增大而减小； x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在其次、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数yk 中，只有一个待定系数，因此只需要x一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数yk k x0 图像上任一点p 作 x 轴、 y 轴的垂线pm ，pn，就所

10、得的矩形kpmon 的面积 s=pmpn= yxxy ；y,xy xk, sk ；学问点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念 一般地，假如特yax2bxc a, b, c是常数， a0) ， 特殊留意 a 不为零那么 y 叫做 x 的二次函数；yax 2bxca, b, c是常数， a0) 叫做二次函数的一般式；学习必备欢迎下载2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲线，这条曲线叫抛物线；2a有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线ya

11、x 2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 a,b 及抛物线与 y 轴的交点 c，再找到点 c 的对称点 d；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 c 及对称点 d ；由 c、m 、d 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 a 、b ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像；学问点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一 般 两根三顶点（1） 一般一般式：yax 2bxca,b, c是常数， a0（

12、2） 两根当抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2bxc0 有实 根 x1 和x2 存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式ax 2bxca xx1 xx2 ， 二 次 函 数yax 2bxc 可转化为两根式ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；a的肯定值越大，抛物线的开口越小；（3） 三顶点顶点式：ya xh 2k a , h, k是常数， a0学习必备欢迎下载学问点八、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 xb时，2a4 acb2y最值；4a假如自变量的取值范畴是x1

13、xx2 ，那么，第一要看b是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内，b4acb 2如在此范畴内， 就当 x=时， y最值；如不在此范畴内，就需要考虑函数在x1 2a4 ax x2 范1围内的增减性， 假如在此范畴内， y 随 x 的增大而增大， 就当 xx2 时， y最大ax2bx2c ，当 xx122时， y最小ax 2bx1c ；假如在此范畴内， y 随 x 的增大而减小， 就当 xx1 时， y最大ax 2bx1c ，1当 xx2 时，y最小ax 2bx2c ；学问点九、二次函数的性质1、二次函数的性质函数2y ax二次函数bxca ,b,c是常数， a0学习必备欢迎下载a>0a&l

14、t;0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长；（ 2）对称轴是x=b，顶点坐标是（2ab ，（ 2）对称轴是x=2 abb，顶点坐标是（，2a2a4acb 2）；4 a4acb 2）；4a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随2a性质的 增 大 而 减 小 ； 在 对 称轴 的 右 侧 ， 即 当bx 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>时， y 随 x 的增大而增大， 简记左减2ax>时， y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（ 4）抛物线有

15、最低点，当x=b时， y 有最小2a增右减；（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2 a值， y最小值24 acb4a大值，y最大值24acb4a2、二次函数yax 2bxca,b, c是常数， a0 中，a、b、c 的含义：a 表示开口方向：a >0 时，抛物线开口向上a <0 时，抛物线开口向下bb 与对称轴有关：对称轴为x=2 ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （ 0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的b 24 ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点；学习必备欢迎下载当

16、>0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点；学问点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，懂得记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点a 坐标为（ x 1， y 1）点 b 坐标为（ x2， y2 ）就 ab 间的距离，即线段ab 的长度为2x1x22y1y2a0xb2，二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h，k； 保持抛物线2yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上 k &g

17、t;0【或向下 k<0】平移 |k|个单位y=ax 2+ k向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k| 个单位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|个单位向上 k >0【或下 k <0】平移 |k |个单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但把握这个学问点，对提高答题速度有很大帮忙，可以大大节约做题的时间

18、）学习必备欢迎下载特殊记忆 -同左上加异右下减 必需懂得记忆 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧 同左 ， a b 值异号，图像顶点必在y 轴右侧 异右向左向上移动为加左上加 ，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：ktany2y1x2x1b为直线在 y 轴上的截距 4、直线方程：4、 两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:yy1kxb t a n xby2y1x2x1x xx1此公式有多种变形牢记 点斜yy1kxxx1 斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b k0 截距由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab牢记口诀 -

19、两点斜截距 - 两点点 斜 斜截截距5、设两条直线分别为，l 1 ： yk1 xb1l 2 ： yk 2 xb2如 l 1/l 2 ，就有l1 / l 2k1k 2且 b1b 2 ；如ll12k 1k 216、点 p（ x0，y0）到直线 y=kx+b 即： kx-y+b=0的距离 :dkx02ky0b21kx0y0b2k17、抛物线 y2axbxc 中， a b c,的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax 2 中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax 2bxc 的对称轴是直线xb，故： b2 a0时，对称轴为y 轴； ba0

20、（即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；学习必备欢迎下载 b0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .口诀 -同左异右a（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就b0 .a十一，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识

21、别，懂得图像与变量的关系3、一次函数的概念和图像4、一次函数的增减性、象限分布情形，会作图5、反比例函数的概念、图像特点，以及在实际生活中的应用6、二次函数的概念和性质，在实际情形中懂得二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题命题猜测：函数是数形结合的重要表达，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范畴，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2% 左右一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 5% 左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式显现，要关注反

22、比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3 6 分；二次函数是中学数学的一个非常重要的内容，是中考的热点，多以压轴题显现在试卷中要求：能通过对实际问题情形分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会依据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值学习必备欢迎下载分析近年中考，特殊是课改试验区的试题，估计20xx年除了连续考查自变量的取值范畴及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将留意考查二次函数，特殊是二次函数的在实际生活中应用十二，

23、中学数学助记口诀 函数部分 特殊点坐标特点: 坐标平面点 x,y,横在前来纵在后；+,+,-,+,-,-和+,-,四个象限分前后；x 轴上 y 为 0,x 为 0 在 y 轴；对称点坐标 : 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，x 轴对称 y 相反 ,y 轴对称 ,x前面添负号；原点对称最好记 , 横纵坐标变符号；自变量的取值范畴：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行；函数图像的移动规律: 如把一次函数解析式写成y=k（ x+0） +b、二次函数的解析式写成y=a（ x+h） 2+k 的形式，就用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍,同左上加异右下减

24、一次函数图像与性质口诀 : 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简洁 , 经过原点始终线； 两个系数 k 与 b, 作用之大莫小看， k 是斜率定夹角 ,b 与 y 轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展 , 变化规律正相反； k 的肯定值越大 , 线离横轴就越远；二次函数图像与性质口诀 : 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点 , 它们确定图象现；开口、大小由 a 断 ,c 与 y 轴来相见 ,b 的符号较特殊，符号与 a 相关联；顶点位置先找见， y 轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要 , 一般式配方它就现，横

25、标即为对称轴 , 纵标函数最值见；如求对称轴位置 , 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换；反比例函数图像与性质口诀 : 反比例函数有特点 , 双曲线相背离的远 ;k 为正 , 图在一、三 象 限 ,k 为负 , 图在二、四 象 限; 图在一、三函数减 , 两个分支分别减；图在二、四正相反 , 两个分支分别添 ; 线越长越近轴 , 永久与轴不沾边；正比例函数是直线，图象肯定过圆点，k 的正负是关键，打算直线的象限，负k 经过二四限， x 增大y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点打算一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，

26、正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的次序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点， a、 b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键；学习必备欢迎下载1对称点坐标 :对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆， x 轴对称 y 相反 , y轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号；关于 x 轴对称yax2bxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2

27、ya xhk ；2关于 y 轴对称2yaxbxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk2关于顶点对称2yax2bxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxcb；2yaxhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2a2yaxhk 关于点 m ，n对称2yaxhk 关于点m，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk学习必备欢迎下载依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外

28、形肯定不会发生变化，因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原就，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀 - - y反对x，x 反对 y，都反对原点2自变量的取值范畴：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律 :如把一次函数解析式写成y=k （ x+0） +b，二次函数的解析式写成y=a（ x+h ）2+k 的形式，就用下面后的口诀：“左右平移在括号, 上下平移在末稍,左正右负须牢记, 上正下负错不了”；一次函数图像

29、与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限； 正比例函数更简洁, 经过原点始终线；两个系数k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角 ,b 与 y 轴来相见 , k 为正来右上斜 ,x增减 y 增减； k 为负来左下展 , 变化规律正相反； k 的肯定值越大 , 线离横轴就越远；二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；学习必备欢迎下载开口、顶点和交点, 它们确定图象限；开口、大小由a 断 ,c 与 y 轴来相见 ,b 的符号较特殊，符号与a 相关联；顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函

30、数最值见；如求对称轴位置,符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换；反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点, 双曲线相背离的远; k 为正 , 图在一、三 象 限； k 为负 , 图在二、四 象 限;图在一、三函数减, 两个分支分别减；图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永久与轴不沾边；函数学习口决： 正比例函数是直线，图象肯定过原点，k 的正负是关键，打算直线的象限，负k 经过二四限， x 增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点打算一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增

31、大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的次序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键；求定义域：求定义域有讲究，四项原就须留意；负数不能开平方，分母为零无意义；指是分数底正数，数零没有零次幂；限制条件不唯独，满意多个不等式；求定义域要过关，四项原就须留意；负数不能开平方，分母为零无意义；分数指数底正数，数零没有零次幂；限制条件不唯独，不等式组求解集；学习必备欢迎下载解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项；系数化“ 1”有讲究，同乘除负要变向；先去分母再括号，移项别忘要变号；同类各项去合并，系数化“1”留意了；同乘除正无防碍，同乘除负也变号；解一元二次不等式：第一化成一般式，构造函数其次站；判别式值如非负，曲线横轴有交点； a 正开口它向上，大于零就取两边；代数式如小于零，解集交点数之间；方程如无实数根，口上大零解为全；小于零将没有解，开口向下正相反；13.1 用公式法解一元二次方程要用公式解方程，第一化成一般式；调整系数随其后，使其成为最简比；确定参数abc ，运算方程判别式； 判别式值与零比，有无实根便得知；有实根可套公式，没有实根要告之；