(整理)平面向量的内积教案

1、平面向量的内积【教学目标】知识目标：(1) 了解平面向量内积的概念及其几何意义.(2) 了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义 ，培养学生观察和归纳的能力.【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.教教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量， 而功是数量.因此，向量的内积又叫做数量积.在讲述向量内积时要注意：(1)向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定；(2)向量

2、数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：(1)当 <a,b>=0 时，a - b= |a|b|;当 <a,b>= 18(o时，a - b= - |a|b|.可以记忆为：两 个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数.(2)冏=jaw显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的 公式的基础；(3) cos<a,b>= -a-b_,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 |a|b|础；(4) “a - b= 0 a b”经常用来

3、研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3平面向量的内积*创设情境兴趣导入图 721如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用 100 N的力，朝着与水平线成 30角的方向拉小车，使小车前进了 100 m.那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图722所示，设水平方向的单位向量为i,垂直方向的单位向量为 j,则F xi + y j F sin30o i F cos30o j ,即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上

4、没有产生位移，没有做功，水平 方向上产生的位移为 s,即3.；-W= | F | cos30 | s| = 100X 10=500 V3 (J)2这里，力F与位移s都是向量，而功 W是一个数量，它等于由两个向量 F, s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积，它是一个数量，又叫做 数量积.如图723,设有两个非零向量 a, b,作OuA=a, CuB =Bb,由射线OA与OB所形成的角叫做向量 a与向量b的夹角，记作<a,b>.两个向量a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a - b,即a - b= | a|b|cos<a,b>

5、;(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W=F s.由内积的定义可知a , 0=0, 0 , a= 0.由内积的定义可以得到下面几个重要结果：(1) 当<2扫>=0 时，a,b=|a|b|;当 <a,b>= 18。时，a - b=- |a|b|.(2) cos<a,b> = a b|a|b|(3) 当 b = a 时，有 <a,a> = 0,所以 a - a= |a|a|= |a|2,即 |a|= Ja a .(4) 当 a,b 90o 时，a b,因此，a - b= |a |bcos90o 0,因此对非零向量 a, b,有a - b= 0

6、a b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：(1) a - b = b - a.(2) ( a) b= (a - b)=a ( b).(3) 3)(a+ b) - c= a - c+ b - c.注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a (b c)w ( a b) c.请结合实例进行验证*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|= 3,|b|=2, <a,b>=60，求 a b.解 a - b= |a|b| cos<a,b> =3X2Xcos60 =3.例 2 已知 |a|= |b|= 2 ,a - b=<2，求<a,b>.a b解 cos<a,

7、b> =|a|b|0< <a,b>< 180 ,所以<a,b>=135°. *理论升华 整体建构思考并回答下面的问题:平面向量内积的概念、几何意义 结论：两个向量a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a - b,即a b= I a|b|cos<a, b>(7.10)a b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积.知识典型例题例3求下列向量的内积：(1) a= (2,-3), b=(1,3);运用知识强化练习1 .已知|a|=7, |b|=4, a和b的夹角为60，求a b.2 .已知 a -

8、 a=9,求|a|.3.已知 |a|=2,|b|= 3, <a,b>= 30 ,求(2a+b) 3动脑思考探索新知设平面向量a= (xi,yi),b= (x2,y2), i, j分别为x轴,y轴上的单位向量,由于i±j,故ij=0,又 |i|=j|=1,所以a - b= (xi i + y1j) -(x2 i + yj=xix2i ?i+ xiy2i ?j +x2yii ?j +yiy2j ?j=xi x j |2+ yi y2 |j|2=xi x2 + yi y2 .这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a b= xi x2+ yi y2利用公式(7. i

9、i)可以计算向量的模.设(7.ii)a=(x,y),则a x2y2(7.i2)由平面向量内积的定义可以得到，当a、cos<a,b>= , %x2 Jy2 lallbl %2 yi242 v2b是非零向量时,(7.i3)利用公式(7.i3)可以方便地求出两个向量的夹角由于a b a b=0,由公式(7.ii)可知因此xi X2 + yi y2= 0.a b xi X2+ yi y2= 0.利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题.*巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：(2) a= (2,-3), b=(1,3);(3) a= (2,-1), b= (1,2)

10、;(4) a= (4,2), b=(-2,-3).解 (1) a b=2X 1 + (-3)x 3=- 7;(7.14)(2) a - b=2X 1 + (- 1)X2 = 0;(3) a b= 2X (-2)+2X (- 3)=- 14.例 4 已知 a= (-1,2),b=(-3,1).求 a b, |a|,b|, <a,b>.解a - b=(- 1)( -3)+2X 1=5；|a|= TTT J( 1)222石;|b|=布T J( 3)212布;cos<a,b>=三 |a|b|5.10,5所以<a,b>=45°.例5判断下列各组向量是否互相垂

11、直：(1) a=(-2, 3), b= (6,4);(2) a=(0, - 1), b= (1,-2).解(1)因为 a b=(-2)X6+3X4=0,所以 a b.(2)因为 a - b= 0X 1 + (- 1) x (- 2) = 2,所以 a 与 b 不垂直. 运用知识强化练习1 .已知 a=(5,-4), b=(2,3),求 a b.2 .已知 a=(1, J3), b= (0,网),求 <a,b>.3 4 .已知 a=(2,-3), b=(3,-4), c= (-1,3)，求 a (b+c).4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a=(-2,-3), b=(3,-2); (2) a =(2,0), b=(0,-3);(3) a=(-2,1), b=(3,4).5. 求下列向量的模：a=(-2, -4), b=(3,-2); (2) a=(2,1), b=(4,-3);归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思