南京市高三年级三模数学卷

1、南京市2017届高三年级第三次模拟考试2017.05注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第 1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分.本试卷 满分为160分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.参考公式：方差 S2=：(X1 X)2+(X2 x)2+ (Xn x)2,其中 x 为 X1, X2,，Xn 的平均数.柱体的体积公式：V=Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高.1锥体的体积公式：V = Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高. 3 一、填空题：本大题共 14小题，

2、每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.1 .已知全集 U = 1, 2, 3, 4,集合 A=1 , 4, B=3, 4,则？u(AUB)=.2 .甲盒子中有编号分别为 1, 2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3, 4, 5, 6的4个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.Read xIf x> 0 Thenx+ 1y2Else3 .若复数z满足z+2z=3+2i,其中i为虚数单位，z为y 2 X2End If复数z的共轲复数，则复数 z的模为 .Print y4 .执行如图所示的伪代码，若输出 y的值为1,则输入x

3、的值为 .则在这五场比赛中得分较为稳定(方5 .如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 差较小)的那名运动员的得分的方差为.，一，一，一，兀，一一，八16 .在同一直角坐标系中，函数y=sin(x+1)(xC 0, 2兀)的图象和直线y ="的交点的个数是 一7 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 工一步=1的焦距为6,则所有满足条件的实数 m构成的集合是 2m 3m8.已知函数f（x）是定义在 R上且周期为 4的偶函数.当一3xC 2, 4时，f(x) = | 10g4(x 2)| ,则f（。的值为.9. 若等比数列an的各项均为正数，且 a3ai = 2,则a

4、5的最小值为.10. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB = 1, BC=2, BBi = 3, /ABC=90°,点 D为侧棱BB1上的动点.当 AD + DC1最小时，三棱锥 D ABC1的体积为.11. （2017南京三模）若函数 f（x）= ex（-x，一一 _TT(2)右 t = 1,且 a ? b=1,求 tan(2 a+ 4)的值.14分）在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台I,看台n ,三角形水域 ABC,及矩形表演台 BCDE四个部分构成（如图）径的两个半圆形区域，且看台I的面积是看台n的面积的 角形水域ABC的面积为400m平方米.设/ BAC=

5、0. + 2x+ a）在区间a, a+1上单调递增，则实数 a的似物%图）12. （2017 南京三模）在凸四边形 ABCD 中，BD = 2,且 AC - BD = 0, （AB + DC）?（BC + AD）= 5,则 四边形ABCD的面积为.13. （2017南京三模）在平面直角坐标系 xOy中，圆O： x2 + y2=1,圆M : （x+a + 3）2+（y2a）2= 1（a为实数）.若圆O与圆M上分别存在点P, Q,使得/ OQP = 30 ,则a的取值范围为.14. （2017南京三模）已知a, b, c为正实数，且a+ 2b< 8c,."之贝U 3a+8b的取值范

6、围为.a b c c二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15. （2017南京三模）（本小题满分14分）且BD /平面AEF.（1）求证：EF/平面ABD;如图，在三棱锥A- BCD中,已知向量 a=(2cos& sin2 o),平面 AEFL平面 ACD.16. （2017南京三模）（本小题满分14分)2若"b=(5' 0)，求t的值;17. （2017南京三模）（本小题满分（1）求BC的长（用含。的式子表示）；3倍;看台I ,看台H是分别以 AB, AC为直(2)若 BDXCD, AEL

7、平面 BCD,求证:(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价.X2 y218. (2017南京三模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆了+/=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为 A, B, M为线段AB的中点，且OM AB =-|b2.(1)求椭圆的离心率；(2)已知a= 2,四边形 ABCD内接于椭圆，AB/ DC.记直线 AD, BC的斜率分别为k1，k2,求证：kk2为定值.19. (2017南京三模)(本小题满分16分)已知常数p>0,数列an满足an+1 = |p an|+2 a'* p8噌&N* . (

8、1)若a1 = 1, p= 1,求a4的值；求数列an的前n项和Sn.(2)若数列an中存在三项ar, as, at (r, s, tCN*, rvsv t)依次成等差数列，求 史的取值范围. P20. (2017南京三模)(本小题满分16分)已知入C R,函数f (x) = exex ?(xlnxx+ 1)的导函数为g(x). (1)求曲线y=f (x)在x=1处的切线方程；(2)若函数g (x)存在极值，求 入的取值范围；(3)若x> 1时，f(x)>0恒成立，求 入的最大值.南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70

9、分.)31. 22.台7. 28. 213. 6，034. - 15. 6.89. 810. 111.1：*3214. 27, 306. 212. 3二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15 .(本小题满分14分)证明：(1)因为 BD/平面 AEF, BD 平面BCD,平面 AEF n平面BCD = EF ,所以BD / EF. 3分因为BD 平面 ABD, EF 平面ABD ,所以 EF/平面 ABD . 6分(2)因为 AEL平面 BCD, CD 平面BCD,所以 AEXCD. 8分因为 BDXCD, BD/EF,所以 CD ±

10、EF, 10 分又 AEAEF = E, AE 平面 AEF, EF 平面 AEF,所以 CD,平面 AEF . 12分南京市2017届高三三模考试数学试卷第3页共8页又 CD 平面ACD,所以平面 AEF，平面ACD . 14分16 .(本小题满分14分)解：(1)因为向量 a=(2cos& sin一 c 800在AABC 中，S"BC=2AB?AC?sine= 400V3,所以忐=而,由余弦定理可得 BC2= AB2+ AC2 2AB?AC?cos 9, = 4AC2 273AC2 cos 3cos 0sin 0a), b=(2sina, t),且 ab=(2, 0),

11、所以 cos a sin a= -, t= sin2 a 2 分55由 cos a-sin a= 1 得(cos a sino)2：；1,即 1 -2sin «cosa= 1-,从而 2sin«cosa=空. 5252525所以(cosa+ sin o)2 = 1 + 2sin ocos a= 49.因为 长(0,9),所以 cosa+ sin a= 1.2525所以sin a=(cos sin o() (cos a sin 3 3 r从而 t= sin5南京市2017届高三三模考试数学试卷第11页共8页(2)因为 t= 1,且 a ? b=1,所以 4sin acosa+

12、 sin2a= 1 ,即 4sin ocos a= cos2 a.因为<兀 LL ,一一1aC (0，2),所以 cos a* 0,从而 tan a= 4所以tan2 a= 2tan2 =*.1 - tan2 a 1511分从而,八,，兀 8 兀 tan2- tan4-+1 23tan(2 " 4) =；= = J -1 tan2 5 tan / 1 d -41514分17.（本小题满分14分）解：（1）因为看台I的面积是看台n的面积的3倍,所以 ab =，3ac.仁(4 - 2V3cos )器,即BC =侬9)喘=4°所以BC = 40(2)设表演台的总造价为 W万

13、元.因为CD = 10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W= 3BC= 1202 V3cos (< 小sin 0' 0 (0,兀记f（0） =在滞詈，ee （0,兀）则f（ =sin2 011分由f（。）=0,解得仁6c.当长（0, $时，f（<0；当底故f（。）在（0,2上单调递减，在（:，兀上单调递增，从而当时，f（©取得最小值，最小值为6=1.所以Wmin=120（万元）.14分答：表演台的最低造价为120万元.18.(本小题满分16分)解：(1) A(a, 0)B(0, b),由M为线段AB的中点得Mg,1).所以OM=(1b 一,2), AB =

14、 ( a, b).因为 OM - AB =-2b2,所以(I，a2= -|b2,整理得a2=4b2,即 a= 2b.因为a2= b2+ c2,所以3a2=4c2,即3a=2c,所以椭圆的离心率e=c=亚a 22(2)方法一：由"2得b=1,故椭圆方程为尹y=1.1从而A(2, 0), B(0, 1),直线 AB 的斜率为一2.1因为AB/ DC,故可设DC的方程为y=2x+m.设D(xi1y= gx+ m y1)，C(xi, y2).联立x2+ y2 =1,4消去 y,得 x2- 2mx+ 2m2 2=0,所以 xI + x2=2m,从而 x=2mX2.1-2x1 + m直线AD的斜

15、率k1=y=,直线BC的斜率ki=x1 2x1 2y21x2-2xi + m-1xi，11分12x1 + m所以k1 k|=x1 211-2x2 + m - 1 4x2xix22(m 1)xi 2mx2+ m(m 1)(xi 2)x21x1x2 一42m(x1 +xi) + 2x1 + m(m 1)xx2 2x2xx2 |m 2m+2(2m xi) + m(m 1)xx2 Ixi114x1x2 2xi 1 x1xi 2xi 4'16分1y=- 2(x-x0)+ y0,联立o 27十八1，所以点D的坐标为(2yO1 2x0).13分一.1即k1 k2为定值方法二：由a=2得b=1,故椭圆

16、方程为x + y2=1.41从而A(2, 0), B(0, 1),直线AB的斜率为一2.xo21设 C(xo, yo),则 丁+丫02=1.因为 AB / CD ,故 CD 的方程为 y= - 2(x xo)+ yo.消去 y,得 x2(xg + 2y0)x+ 2x0y0= 0,解得 x = xo (舍去)或 x= 2y°.12X0 所以ki - k2=y= J,即ki k2为定值； 16分2y0 2X04419.(本小题满分16分)解：(1)因为 p= 1,所以 an+1 = |1-an|+2 an+1. 因为 a1 = 1,所以 a2=|1a1|+2 a1 + 1 = 1, a3

17、=|1 a2|+2 a2+ 1 = 3,a4=|1a3|+ 2 a3+1=9. 3 分 因为 a2 = 1, an+1 = |1 an |+ 2 an + 1,所以当 n > 2 时，an> 1,3n 1 32从而 an+1=|1 an|+ 2 an+1 = an1 + 2 an + 1 = 3an,于是有 an = 3n 2(n>2)、“1 -3n 1当 n=1 时，& = 1；当 n>2 时，Sn=1 + a2+ a3+ an= 1 + 1 31， n= 1，qn 1 _ 3所以 Sn= 3n 1-3° uz* 即 Sn = 3, nCN*. 8

18、分2, n>2, nC N ,2(2) 因为 an+1 an= |p an|+ an+ p> pan+an+p=2 p>0,所以an+1 >an,即an单调递增. 10分(i)当 1 时，有 a1>p,于是 an>a1> p,所以 an+1= |p - an|+ 2 an+ p = an p+ 2 an + p= 3an,所以 an = 30 1a1.若an中存在三项ar, as, at (r, s, tCN*, rvsv t)依次成等差数列，则有2 as=ar+at,即2X 3-1=3厂1+3.1. (*),因为s< t-1,所以2X3sIxs

19、ya一1旷心旷1,即(*)不成立. 3故此时数列an中不存在三项依次成等差数列. 12分一 a1(ii)当一1 v v 1 时，有pva1vp.此时a2= |p a1|+ 2 a1+ p = p a1+ 2 a1+ p= a1+ 2 p> p,于是当n>2时，an>a2>p, 从而 an+1= |p an|+ 2 an + p = an p+ 2 an+p= 3an.所以 an= 3n 2a2= 3n 2(a1 +2p) (n> 2).若an中存在三项ar, as, at (r, s, tCN*, rvsvt)依次成等差数列，同(i)可知，r = 1,于是有 2X

20、3s 2(a1+2 p)=a1+32(a1+2p).因为 2w sw t- 1,a1+2 p93a1 + 2 p于是 a1w a1 2p,即 a1w p,与一p<a1<p 相矛盾.故此时数列an中不存在三项依次成等差数列. 14分(iii)当$ - 1时，则有所以一a-=2X 3s 2-3t 2=-X3s- 1X31V0.因为 2*352 3广2是整数，所以 一a<- 1,a1w pvp, a1 + pW0,于是 a2=| pa1|+2a1 + p= pa1+2 a1 + p=a1 + 2p,a3= |p a2|+2a2+p= |p+a1|+2a1+ 5p= p a1+2a1

21、+5p=a1 + 4p, 此时有 a1, a2, a3成等差数列.16分20.(本小题满分16分)解：(1)因为 f'(x)= exe Xnx,所以曲线y=f (x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=0,又切点为(1 , f (1),即(1, 0),所以切线方程为 y=0. 2分(2) g (x)=ex-e- Xnx, gx)=ex-j.当入w 0时，g'(x)>0恒成立，从而g (x)在(0, +°°)上单调递增，故此时g (x)无极值. 4分当 X>0 时，设 h(x) = ex；,则 h'(x)=ex+ 根>0 恒成立，所以h(x)在(0, +8)上单调递增. 6分当0V入v e时， 入 入 h(1) = e入>0, h()=eev 0,且 h(x)是(0,十 )上的连续函数，因此存在唯一的xoC (看1),使得h(x0)=0.当后e时，h(1) = e-入w 0, h(入学e