初三数学几何定理的运用(1)

1、初三数学几何定理的运用(1)摘要：教师在教学时经常需要面对不同的学生，如何根 据不同的情况采取相应的措滋显得非常必要。一些学生到了 初三仍对几何证明题书写感到困难，思考时没有明确的目的。 本文针对这些情况，充分重视了 “定理教学”，采取了先集 中讲授再平时渗透的方法，提出了从定理的基本要求出发， 通过建立表象、组合定理、联想定理等教学对策，从而使学 生具备'用定理”的意识。关键词：建立表象、组合定理、联想定理教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有 时由于教学上的需要，往往到了初三，也会出现面对陌生学 生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的， 却不会书写或书写不完

2、整；知道步骤的原因和结论，但讲不 出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面 对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对 学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。通过一段时 间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了 “依靠”，也 发现了定理的价值，基本树立了 “用定理”的意识。那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻， 产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：(1)不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道 完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个 一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺 乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不

3、能严谨 推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不 出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之 间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形 的变式不理解，图形稍作改变，学生就难以思考。推理过程因果关系模糊不清。针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。一、教学环节对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式， 第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了 “模式+ 定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作 用，提出了 “图形+定理”的思考方法。程序图设计

4、如下:基本要求一重新建立表象一推理模式一组合定理一 联想定理二、操作分析和说明1.定理的基本要求我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定 理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单 位。因而在教学中我们采取了 “一划二画三写”的步骤，让 学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶 段的定理，集中展示给学生。例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直 角三角形和原三角形相似。一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论 用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。如：“直角三角形"和“高线”、“相似”。二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形

5、。 如：三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言 表达，允许采用等同条件。如：abc是rtz, cd丄ab于d；对条件太简单的不 会写；或者把条件当成结论。 还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些 学生把定理重新证明一遍；或者在一个定理中出现txx, 又vxx, /.xx的错误。 更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件 当成本质条件；条件重复；图形过于特殊；文字过多等。2. 重新建立表象从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授 知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世 界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象, 具有一定的鲜明性、具体性、概

6、括性和抽象性。由于几何的 每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一 定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的 形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤 起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着 重大的作用。教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用 实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容:(1) 问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形 象？答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、 两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相 等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。目的：建立单个定理的表象，要求能想

7、到非标准图形。继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的 定理就没有想起来吗？答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等甚至有学生想到了两条平行弦目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。(2) 问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理 吗？答：有定理22,定理25,定理27目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加 深定理间的联系。下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试 的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种 语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们 主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一 个基本图形中往往存在着另一个残缺

8、的基本图形，所以学生 大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过 特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结 论。 定理16-定理24-定理34o 定理51-定理36定理47、48-定理50。 如下图，把ef向下平移，使定理37和50联系起来：3. 推理模式从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还 在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时 知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式 多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在 二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模 式。具体教学分三

9、个步骤实施：精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推 理模式。编辑。 条件f结论f新结论 新结论 新结论通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的 推理模式。通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框 架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的 盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么 原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是 推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以 下一个环节。4. 组合定理基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而 在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理

10、的因 果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造 图形，进一步强化学生“用定理”的意识。下面通过一例来说明这一步骤的实施。例1：已知如图，四边形abcd外接的半径为5,对 角线ac 与bd相交于e,且ab=ae ac, bd=8o求abad 的面积。证明：连结ob,连结0a交bd于f。学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的 主要定理：比例基本性质一s/as/证相似一相似三角形性质一 垂径定理勾股定理一三角形面积公式由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程 中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定 理镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可 顺势布

11、置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多 个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？实践表明：经过“模式+定理”书写方法的熏陶后，学 生基本具备了完整书写的意识。5. 联想定理分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某 些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图 形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想, 但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往 往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图 形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面, 即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题 设、结论联想某些定理，以配合图形想象。例：

12、如图，o01和002相交于b、c两点，ab是。01 的直径，ab、ac的延长线分别交002于d、e,过b作。01 的切线交ae于f。求证：bf /7deo讨论此题时，启发学生由题设中的“ab是。0的直径” 联想定理"直径所对的圆周角是90° ”，因而连结bc；“过b 作。0的切线交ae于f”联想定理“切线的性质”，得出z abf=90° o从而构造出基本图形。由命题的结论“bfde”联想起“同位角相等，两直线 平行”定理，构造出基本图形。将上述基本图形的 性质结合在一起，学生就易于思考了。这一环节我们的引导语有："由已知中的哪一个条件， 你能联想起什么定

13、理？ ”、“条件组合后能构成哪个定理？ ”、 “有无对应的基本图形？ ”、“能否构造出基本图形？ ”等。 目的是让学生树立起“图形+定理”的思考方法，把以前的 无意识思考变成有目的、有意识的思考。三、几点认识复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自 身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终 坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生 学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学 生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更 髙的水平”。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、 领悟是很好的方法，所以我们

14、在教学时总留出足够的时间来 让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但 如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性 原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。参考资料： 高三数学第二轮复习的理论和实践 孟祥东等 中 学数学教与学2001、3 全国初中数学教育第十届年会论文集p3 80、p470附录：初中数学几何定理集锦lo同角的余角相等。3 o对顶角相等。5o三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。6o在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行 线。7o同位角相等，两直线平行。12o等腰三角形的顶角平分线、

15、底边上的高、底边上的 中线互相重合。16o直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。19o在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其 逆定理。21o夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。22o 一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。24o有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。25o菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每 一条对角线平分一组对角。27o正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角 线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。34o在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对 量都相等。36o垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。43o直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形 和原三角形相似。46o相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比 的平方。37.圆内接四边形的对角互补，