初中数学《平面与圆锥面的截线》教学设计2

1、平面与圆锥面的截线一、教学目标：1. 学问与内容：（ 1）通过观看平面截圆锥面的情境，体会定理2（ 2）利用 dandelin 双球证明定理 2 中情形（ 1）（ 3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的懂得2. 过程与方法：利用现代运算机技术，动态地呈现dandelin 两球的方法，帮忙同学利用几何直观进行思维， 培育同学的几何直观才能， 重视直觉的培育和训练， 直觉用于发觉，规律用于证明；3. 情感态度价值观：通过亲历发觉的过程， 提高对图形熟悉才能， 重视合情推理和演绎推理的启示、应用和培育，让同学辩证地观看、分析问题；二、教学重点难点重点：（ 1）定理 2 的证明（ 2）

2、椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种；生成椭圆的方法有很多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数0<e<1 的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2ypdox图 1假如用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？仍有其他情形吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线；a摸索：如图 39 1 , ad 是等腰三角形abc底边上的高 ,bad.直线 l 与ad 相交

3、于点p,且与 ad的夹角l为0.摸索究2:当与满意什么关系.1 l 与ab或ab的延长线、ac都相交 ;p2 l与ab不相交 ;3 l与ba的延长线、ac 都相交bc d利用几何画板试验探究.图391g如图 39 2 , 可以有如下结论 :a1 当l 与ab或ab的延长线、ac都相交时 ,设l 与 ab 或ab的延长线交于e ,与 ac 交于 f .l由于是aep 的外角, 所以必定有;f反之 ,当时, l与ab或ab的延长线、ac都相交 .ep2 当l与ab不相交时 ,就l / / ab, 这时有;反之,当时,l/ / ab,那么l与ab不相交 .bcd3 当l 与ba的延长线、ac都相交时

4、 ,设 l 与 ba的延长线交于 g,39 2由于是apg的外角, 所以; 假如, 那么 l与 ba的延长线、ac都相交摸索：将图 39中的等腰三角形拓广为圆锥, 直线拓广为平面,就得到图310.假如用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会显现哪些情形呢？假如平面与一条母线平行相当于图39 2 中的, 那么（1）平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是一条抛物线;假如平面不与母线平行, 那么会显现两种情形 :（2）平面只与圆锥的一半相交, 这时的交线为椭圆 ;（3）平面与圆锥的两部分都相交,这时的交线叫做双曲线.归纳提升：定理在空间中，取直线l 为轴，直线l ' 与 l

5、 相交于 o 点，其夹角为 ， l ' 环绕 l 旋转得到以 o 为顶点， l ' 为母线的圆锥面，任取平面 ，如它与轴 l 交角为 （ 与 l 平行，记住 0），就：（ 1） ，平面 与圆锥的交线为椭圆；（ 2） ，平面 与圆锥的交线为抛物线；（ 3） ，平面 与圆锥的交线为双曲线；摸索 : 你能仿照定理1的证明方法证明定理2 的结论1 吗 .问题： 利用 dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面 的上方， 一个位于平面的下方，并且与平面 及圆锥均相切）证明： ，平面 与圆锥的交线为椭圆 .争论： 点 a 到点 f 的距离与点 a 到直线 m 的距离比小于

6、 1） .证明 1：利用椭圆第肯定义，证明fa+ae=ba+ac= 定值，详见课本 .证明 2：上面一个 dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆， 并与圆锥的底面平行， 记这个圆所在平面为/；假如平面 与平面 /的交线为 m，在图中椭圆上任取一点a，该 dandelin球与平面 的切点为 f，就点 a 到点 f 的距离与点 a 到直线 m 的距离比是（小于 1）.（称点 f 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数为离心率 e.）点评：利用可以证明截线为抛物线，双曲线的情形，以离心率的范畴为准.探究 : 如图 312 ,1 找出椭圆的准线;2 探讨 p到焦点f1 的距离与到两平面交线m

7、的距离之比 .msq1abf1p图312如图 312,上面一个 dandelin 球与圆锥的交线为圆s, 记圆s，所在的平面为.设与的交线为 m.在椭圆上任取一点 p,连接pf1.在中过p作m的垂线 ,垂足为a.过p作的垂线 , 垂足为b, 连接ab, 就ab是pa在平面上的射影 .简单证明 , mab.故pab是平面与平面交成的二面角的平面角 .在rtabp中,apb, 所以pbpa cos.1设过p的母线与圆s交于点q1 ,就在rtpq1b 中 ,q1pb, 所以pbpq1 cos.2由 12得 pf1cos.由于0,故 coscos, 就 pf1cos1.pacos2pacos由上所述可

8、知, 椭圆的准线为m, 椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数 cos,因此椭圆的离心率为ecos,coscos即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.争论：我们延用争论椭圆结构特点的思路,争论一下双曲线的结构特点.q1f1s1os2q2f2p图313如图 313,当时, 平面与圆锥的两部分相交在. 圆锥的两部分分别嵌入dandelin球,与平面的两个切点分别是f1、f2 , 与圆锥两部分截得的圆分别为s1、s2 .在截口上任取一点p,连接pf1、pf2 .过p和圆锥的顶点o作母线 ,分别与两个球切于q1、q2 ,就pf1pq1 , pf2pq2

9、 .所以 | pf1pf2| | pq1pq2 |q1q 2 .由于q1q 2为两圆 s1、s2所在平行平面之间的母线段长,因此q1q 2的长为定值 .由上所述可知, 双曲线的结构特点是:双曲上任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点的距离之差的肯定值为常数.拓展： 1. 请证明定理 2 中的结论（ 2）2. 探究双曲线的准线和离心率3. 探究定理中（ 3）的证明，体会当 无限接近 时平面 的极限结果四、自我检测练习1.平面截球面和圆柱面所产生的截线外形是.分析：联想立体几何及上节所学，可得结论， 要留意平面截圆柱面所得的截线的不怜悯形 .答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆

10、或椭圆；2.判定椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1 的关系？分析：第一通过画图查找规律，然后加以证明.答案：略.五、课外争论材料材料 1. 阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合 力也不同， 这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于 7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当 发射的速度等于或大于11.2 km/s（其次宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚， 成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于 16.7 km/s（第

11、三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去；例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的 速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线；（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，莫非在冥冥宇宙中， 有什么奇妙的力气，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深化的懂得圆锥曲线材料 2.圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线设圆锥轴截面母线与轴的夹角为 ，截面和圆锥的轴的夹角为当截面不过顶点时，（1）当时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；（2）当 时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，2交线是椭圆特殊地，当，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆2（3）当 0 时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线当截面过顶点时，（1）当时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线（2）当时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点2（3）当 0时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线前一类情形中，抛物线、椭圆（包含圆）