初中数学函数知识点归纳4

1、中学数学函数板块的学问点总结与归类学习方法中学数学学问大纲中， 函数学问占了很大的学问体系比例，学好了函数，把握了函数的基本性质及其应用，真正熟知了函数的每一个模块学问，会做每一类函数题型，就读于中考中数学胜利了一大半，数学 成果自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础；中学数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法；一、一次函数1. 定义：在定义中应留意的问题ykx b 中， k、b 为常数，且k 0，x 的指数肯定为1；2. 图象及其性质（ 1）外形、直线k（ 2 ）k0时， y随x

2、的增大而增大，直线肯定过一、三象限0时， y随x的增大而减小，直线肯定过二、四象限（ 3）如直线 l1 ：yk1 xb1l 2 ： yk2 xb2当k1k2 时， l1/ / l 2 ；当b1b2b时， l1与l 2 交于 0， b 点；（ 4）当 b>0 时直线与y 轴交于原点上方；当b<0 时，直线与y 轴交于原点的下方；（ 5）当 b=0 时， y kx（k 0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线；（ 6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解；3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息； （ 2）能依据题目中所给的信息写出表达式；（二

3、）反比例函数1. 定义：应留意的问题：y2. 图象及其性质：k中（ 1） k是不为x0的常数；（2） ） x的指数肯定为“1”（ 1）外形：双曲线1(1) 是 中 心 对 称 图 形 ， 对中 称心 是 原 点（ 2 ） 对 称 性 ：(2) 是 轴 对 称 图 形 ， 对 称是 轴直 线yx和yxk（ 3）k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而减小y随x的增大而增大（ 4）过图象上任一点作x 轴与 y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k| ；（ 1）应用在pf 上s3. 应用（ 2 ）应用在 us 上t（ 3）其它其要点是会进行

4、“数形结合”来解决问题二、二次函数1. 定义：应留意的问题（ 1）在表达式yax2 bxc 中（ a、 b、c 为常数且a 0）（ 2）二次项指数肯定为22. 图象：抛物线3. 图象的性质：分五种情形可用表格来说明表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y 随 x 的变化情形1y=ax 20， 0直 线 x=0y 轴如 a>0，就 x=0 时，y 最小 =0如 a<0，就 x=0 时，y 最大 =02y=ax 2+c 0， 0直 线 x=0y 轴如 a>0，就 x=0 时，y 最小 =0如 a<0，就 x=0 时，y 最大 =0如 a>0，就 x>0 时， y随 x

5、 增大而增大如 a<0，就当 x>0 时，y 随 x 增大而减小如 a>0，就 x>0 时，y 随 x 的增大而增大如 a<0，就 x>0 时，y 随 x 的增大而减小(3) y=ax h2h， 0直线 x=h如 a>0，就 x=h 时，y 最小 =0如 a<0，就 x=h 时，y 最大 =0如 a>0，就 x>h 时，y 随 x 的增大而增大如 a<0，就 x>h 时，y 随 x 的增大而减小2表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y 随 x 的变化情形(4) y=ax h2+kh， k直线 x=h如 a>0，就 x=h

6、 时，y 最小 =k如 a<0，就 x=h 时，y 最大 =k如 a>0，就 x>h 时，y 随 x 的增大而增大如 a<0，就 x>h 时，y 随 x 的增大而减小(5) y=ax 2+b b，2ax+cb直线 x=2ab如 a>0，就 x=2ab时，如 a>0，就 x>2 a4acb24 acb 24ay 最 小 = 4a时， y 随 x 的增大而增大b如 a<0，就 x=2ab时，如 a<0，就 x>2 a4 acb 2y 最 大 = 4a时， y 随 x 的增大而减小4. 应用：（ 1）最大面积； （2）最大利润； （

7、3）其它平面直角坐标系、函数及其图像【学问梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特点x轴a ,b4. 点 p（ a， b）关于y轴对称点的坐标a, b原点a,b5.两点之间的距离1p1 x1， 0，p2 x2， 0，2 p1 0，y1 ，p2 0，y2 ，p1p2 x1x2 p1p2 y1y26.线段 ab 的中点 c，如二、函数的概念a x1 , y1 , b x2 , y2 ,c x0 , y0 就x1x0x2 , y02y1y221.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值， y

8、 都有唯独的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数 .2.自变量的取值范畴：（ 1）使解析式有意义（ 2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法；（ 1）解析法（ 2）列表法（3）图象法【思想方法】数形结合3一次函数图象和性质【学问梳理】1正比例函数的一般形式是y=kxk 0， 一次函数的一般形式是y=kx+bk 0.b2. 一次函数ykxb 的图象是经过（3. 一次函数ykxb 的图象与性质， 0）和（ 0， b）两点的一条直线.kk、b 的符号k0，b 0k 0， b0k 0， b0k 0，b 0图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y 随 x 的增大性质而y 随

9、x 的增大而而y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而【思想方法】数形结合反比例函数图象和性质【学问梳理】1反比例函数：一般地，假如两个变量x、y 之间的关系可以表示成y 或（ k 为常数， k0）的形式，那么称y 是 x 的反比例函数2. 反比例函数的图象和性质k 的符号k 0k 0yy图像的大致位置oxox经过象限第象限第象限性质在每一象限内,y 随 x 的增大而在每一象限内,y 随 x 的增大而k3 k 的几何含义： 反比例函数yxkk 0中 比例系数k的几何意义， 即过双曲线y xk 0上 任意一点p 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为a 、b，就所得矩形oapb的面积为.【思想方法】

10、数形4结合二次函数图象和性质【学问梳理】1. 二次函数ya xh2k 的图像和性质a 0a 0y图象xo开口对 称 轴顶点坐标最值当 x时， y 有最值在对称轴左当x 时 ， y有 最值增侧减在对称轴右性侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而锐角三角函数【思想方法】1. 常用解题方法 设 k 法2. 常用基本图形 双直角【例题精讲】例题 1.在abc 中， c=90°14（1）如 cosa=2，就 tanb= ; （.2） .如 cosa=52，就 tanb= 例题 2.（ 1）已知： cos=3，就锐角的取值范畴是（）5a 0°

11、 < <30 °b 45° < <60 °c 30° < <45 °d 60° < <90 °（ 2）当 45° < <9时0 °，以下各式中正确选项（）a tan >cos >sin b sin >cos >tan c tan >sin >cos d sin ta>n > cos 一、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看，22ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表

12、达形式，后者通过配方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，其中 hb ，k 2a24acb4a二、二次函数yaxbxc 图象的画法2五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .三、二次函数yax2bxc 的性质1.

13、 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶点坐标为2ab4acb2，2a4 a当 xb 2a时， y 随 x 的增大而减小； 当 x4acb2b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb 2a2a时， y 有最小值4abb4acb22. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a，当2a4 axb时， y 随 x 的增大而增大；当x 2a4acb2b 时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时， y2a有最大值4a四、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：ya xhk （ a ， h ， k

14、 为常数， a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交6点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.五、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数a二次函数yaxbxc 中， a 作为二次项系数，明显a 0 当 a大； 当 a大0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越

15、大，开口越总结起来，a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2

16、a总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ，在 y 轴的右侧就ab0 ， 当 c 当 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次

17、函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情7况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式三角函数特殊角函数值0304560901201351501802703600 /6 /4 /3 /22 /33 /45 /63 /2201/22/23/21 3/2 2/21/20-101 3/22/21/20-1/2-2/2- 3/2-1010

18、3/31 3- 3-1- 3/300角度函数角 a 的弧度sin cos tan只想上传这一个表下面的都是无用的话不用看了；1、图示法： 借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可依据图形重新推出：sin301=°cos60 =°2sin452=°cos45 °=23tan30 °=cot60 =°32tan 45=°cot452=°1123130.345.160.12、列表法：值角函 数0°30°45°60°90°sin0123422222cos432102222

19、2tan03927不存在3338cot不存在27930333说明：正弦值随角度变化，即0.30. 45 . 60 . 90 .变化；值从 01231变化，其余类似记忆2223、规律记忆法： 观看表中的数值特点，可总结为以下记忆规律： 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°90°时， 就 0 sin 1； 0 cos1； tan 0； cot 0； 增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小） ，即当 0 a b90°时，就 sin asin b； tan a tan b；cosacos b；cot acot b；特殊地：如

20、0°45°，就 sin a cosa； tan acot a如 45° a90°，就 sin acosa； tan acot a4、口决记忆法： 观看表中的数值特点正弦、余弦值可表示为m 形式，正切、余切值可表示为2m 形式，3有关 m的值可归纳成顺口溜：一、二、 三；三、二、一；三九二十七二次函数定义一般地， 我们把形如y=ax2+bx+c （其中 a，b，c 是常数， a0）的函数叫做二次函数，其中 a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项； x 为自变量， y 为因变量；等号右边9自变量的最高次数是2；从函数的定义也可看出二者的差别. 犹

21、如函数不等于函数关系；二次函数的几种表达式一般式y=ax2+bx+ca 0,a 、 b、c 为常数 ， 顶点坐标为-b/2a,4ac-b2/4a把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值；顶点式y=ax-h2+ka0,a 、 h、k 为常数 , 顶点坐标为（ h,k ），对称轴为x=h，顶点的位置 特点和图像的开口方向与函数y=ax2 的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式重要概念： a，b， c 为常数， a0，且a 打算函数的开口方向；a>0 时，开口方向向上；a<0 时，开口方向向下；a 的肯定值可以打算开口大小；a 的肯定值越大

22、开口就越小，a 的肯定值越小开口就越大；二次函数图像与x 轴交点的情形当=b2-4ac>0 时，函数图像与x 轴有两个交点；当=b2-4ac=0 时，函数图像与x 轴只有一个交点；当=b2-4ac<0 时，函数图像与x 轴没有交点；二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c 的图像， 可以看出， 二次函数的图像是一条永无止境的抛物线；假如所画图形精确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的；留意：草图要有:1.本身图像，旁边注明函数；2.画出对称轴，并注明直线x=什么（ x= -b/2a）3. 与 x 轴交点坐标（ x1,y1;x2, y2，与 y 轴交点坐

23、标 0,c，顶点坐标 -b/2a, 4ac-b2/4a.轴对称二次函数图像是轴对称图形；对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯独的交点为二次函数图像的顶点p；特殊地，当b=0 时，二次函数图像的对称轴是y 轴（即直线x=0）； a,b 同号，对称轴在y 轴左侧b=0, 对称轴是y 轴a,b 异号，对称轴在y 轴右侧顶点二次函数图像有一个顶点p，坐标为p h,k 当 h=0 时， p 在 y 轴上；当k=0 时， p 在 x 轴上；即可表示为顶点式y=ax-h2+k；h=-b/2a ， k=4ac-b2/4a；开口二次项系数a 打算二次函数图像的开口方向和大小；10当 a>0 时

24、，二次函数图像向上开口；当a<0 时，抛物线向下开口；|a| 越大，就二次函数图像的开口越小；打算对称轴位置的因素一次项系数b 和二次项系数a 共同打算对称轴的位置；当 a>0, 与 b 同号时（即 ab>0），对称轴在 y 轴左； 由于对称轴在左边就对称轴小于0， 也就是 - b/2a<0,所以 b/2a要大于 0，所以 a、b 要同号当 a>0, 与 b 异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右；由于对称轴在右边就对称轴要大于0，也就是 - b/2a>0,所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要异号可简洁记忆为同左异右，即当a 与 b 同号时（即

25、ab>0），对称轴在y 轴左；当a 与 b异号时（即ab<0 ），对称轴在y 轴右；常数项 c 打算二次函数图像与y 轴交点；二次函数图像与y 轴交于（ 0,c ）留意：顶点坐标为（h,k ， 与 y 轴交于（ 0,c ；与 x 轴交点个数a<0;k>0 或 a>0;k<0 时，二次函数图像与x 轴有 2 个交点；k=0 时，二次函数图像与x 轴只有 1 个交点； a<0;k<0 或 a>0,k>0 时，二次函数图像与x 轴无交点；当 a>0 时，函数在x=h 处取得最小值ymin=k ，在 xh 范畴内是增函数（即y 随 x

26、的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当 a<0 时，函数在 x=h 处取得最大值 ymax=k，在 xh 范畴内是减函数（即 y 随 x 的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是 y0，就抛物线开口朝上； a<0，就抛物线开口朝下；极值点：（ -b/2a ， 4ac-b2;/4a）； =b2-4ac, >0，图象与x 轴交于两点：（ -b- /2a ， 0）和（ - b+ /2a ，0）； =0，图象与x 轴交于一点：（ -b/2a ， 0）； <0，图象与x 轴无交点；y=ax-h2+k顶点式 此时，对应极值点为（h， k），其

27、中h=-b/2a ， k=4ac-b2/4a增减性当 a>0 且 y 在对称轴右侧时，y 随 x 增大而增大，y 在对称轴左侧就相反当 a<0 且 y 在对称轴右侧时，y 随 x 增大而减小，y 在对称轴左侧就相反函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根；111二次函数y=ax2 ， y=ax-h2，y=ax-h2+k， y=ax2+bx+c 各式中， a0 的图象外形相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对 称 轴y=ax20 ， 0 x=0 y=ax2+k 0 ， k x=0 y=ax-h2h，0 x=h y=ax-h2+k h， k x=hy=ax2+bx+c -b/2a， 4ac-b2;/4ax=-b/2a当 h>0 时， y=ax-h2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位得到，当 h<0 时，就向左平行移动|h| 个单位得到；当 h&g