初中数学相关定理及证明

1、高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分1. 正弦定理证明内容：在abc 中，a, b ,c 分别为角a, b, c 的对边，就a sin ab sin bc.sin c证明： 1. 利用三角形的高证明正弦定理c（ 1）当abc是锐角三角形时，设边ab上的高是 cd，依据锐角三角函数的定义，有cdb sin acdasin b ；ba由此，得ab同理可得cb，sinasinb ，故有abcsin csin bab dsin asin bsin c .从而这个结论在锐角三角形中成立.c（ 2）当abc是钝角三角形时，过点c作 ab边上的高，交 ab的延长线于点 d，依据锐角三角函数的定义

2、，ba有cdasincbd a sinabc，cdb sin a；a bd由此，得ab同理可得cbsin asinabc ，sin csinabc故有abcsin asinabcsin c .（3）在 rtababc 中， sin ac ，a , sin bb ,ccsin asin bc90, sin c1. asin ab sin bc.sin c由12 （ 3）可知，在abc中，abc成立.2. 外接圆证明正弦定理sin asinb sin c在 abc中, 已知 bc=a,ac=b,ab=c,作 abc的外接圆 , o为圆心,连结 bo并延长交圆于 b, 设 bb =2r.就依据直径所

3、对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 bab=90°， c =b，1 sin c=sin b=sin csin bc.2 rc2r .sin c同理, 可得a sin a2 r,b sin b2r . a sin ab sin bc sin c2r.3. 向量法证明正弦定理uuuuruuuroc 'ac cosa90o b sin auuuuruuuroc 'bc sinba sin ba sin bb sin aabcbsin asinb同理sin csin b故有abcsin asin bsin c .2. 余弦定理证明内容：在abc 中，a, b,c

4、 分别为角a, b,c 的对边，就a 2b 2c2b 2a 2c2c2a 2b 22bc cosa 2accosb 2abcosc证明：如图在abc 中，22a 2abc acab acab2ac2 ac2. abab2ac2 ac2. ab cos aabb 2c 22bc cos aa2b 2c22bc cos aa 2同理可证：cab2ab cos cc2a2b23. 两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设p（cos,sin） ,q（cos,sin）就： op . oqop . oq coscos22b 2c2222bc cos a所以b2a 2c22ac cosb 2ab cosc

5、op . oqcoscossinsincoscoscossinsin在单位圆中设p（ cos,sin）,q（ cos,-sin）就： op. oqop . oqcoscosop . oqcoscossinsincoscoscossinsin（或） coscos4. 两角和（差）的正弦公式证明二、两角和（差）的正弦公式证明；内容：sinsincoscossin,sinsincoscossin证明：sinsincos 2sincos 2sincoscoscoscoscos2sincos2sincos 2cos 2 cos cossin2sin2 sin sin5两角和（差）的正切公式证明内容：ta

6、ntantan， tantantan1tantan1tantan证明：sincoscossinsinsincoscossincoscoscoscostantancoscoscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscostantansincoscossinsinsincoscossincoscoscoscostantancoscoscossinsincos coscos cossin cossin cos1tantan36半角公式证明内容：sin1cos,cos1cos, tan1cos2 sin1cos2证明：由二倍角公式2cos2221 2 sin 22 1

7、cos1cos2sincos22 cos21用代替 2，得cos12 sin 22，得 sin1cos, cos1 coscos2 cos2122222tansin2sin. 2 cos222 sin， tansin2sin. 2 sin221cos2cos 2cos2. 2 cos21cos2cos 2cos2. 2sin22 sin7. 诱导公式公式：如图：sin）tan）-sintancos）cosypx,y设的终边与单位圆（半径为单位长度1 的园）交于点 px ， y ，就角 -的终边与单位圆的交点必为 px ，-y 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin-=

8、-y,cos-=x,所以： sin-= -sin, cos-= cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式；公式：mop x，-yx4-5-2sin）-sincos）-costan）tan它刻画了角 180o+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或圆交于点 p x ，y ，就角终边的反向延长线，即px,ymy180omx p -，x-y44-5-1180o+角的终边与单位圆的交点必为p-x ，-y （如图 4-5-1 ）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x, sin180o+=-y,

9、 cos180o+=-x,所以 :sin180o+=-sin，cos180 o+=-cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式； 相应诱导公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （ 2k +） =sin k zcos（ 2k +） =cos kztan（ 2k +） =tan k z公式二： sin （ +） = sin cos（ +） = costan（ +） =tan 公式三： sin （ ） = sin 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与 的三角函数值之间的关系：sin （ ） =sin cos（ ） = cos tan（ ） = tan 公

10、式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin（ 2 ） = sin cos（ 2 ） =cos tan（ 2 ） = tan 公式六：/2 ±与的三角函数值之间的关系：sin（ /2+ ） =cos cos（ /2+ ） = sin tan（ /2+ ） = cot sin（ /2 ） =cos cos（ /2 ） =sin tan（ /2 ） =cot 二. 数列部分1等差数列前 n 项和公式证明内容：a是等差数列， 公差为 d ，首项为a ，s为其 n 前项和，就 snn1a ndn a1an n1nn122证明：由题意，s na1 a1d a12d .

11、a1n1d 反过来可写为： s na na nd an2d .ann1 d +得： 2 s na1na1n.a1nn个所以， s nna12a n ，把 a na1 n1d代入中，得 sna1nnn1d2n a12a n 2等比数列前 n 项和公式证明5na1 ,q1内容： a n是等比数列，公比为 q ，首项为a1 ，s n 为其 n 前项和，就 sn =a1a n qa1 1q n , q1111q1q证明： sna1a1 qa q 2.a q n 1 1qsna1qa q 2a q 3.a q n 111得： 1qsna1aq n ，n当 q1 时， sna1a1 qa1 1q n 1q

12、1q1把 a na q n1 代入中，得 sa1a n q1qn当 q1 时；很明显 snna1na1 , q1所以，nsn =a1a n qa1 1q, q11q1q三. 立体几何部分1. 三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；证明：已知：如图（ 9），直线 l 与平面相交与点 a， l 在上的射影 oa垂直于 a, a求证： l a证明：过 p 作 po垂直于popo a又 a oa ，po oa=o a 平面 poa a l2. 求证：假如一条直线与一个平面平行, 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交

13、线与该直线平行 .6如下列图:已知 a p,a在平面，=b,求证： a pb.证明q a p,a 和没有公共点,又 q b在内 ,a 和 b 也没有公共点,而 a 和b 都在内，a 和 b 也没有公共点,a p b .3. 求证：假如两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行 .如下列图:已知p,a,b.求证： a pb.证明：q a和b分别在平面、 内且p ，a和b不相交，又q a和b都在平面内，a pb.4. 求证：假如两个平面相互垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如下列图 :已知,=mn,ab在 内， abmn 于b点；求证： ab.证明：在平面内

14、做直线 bcmn ，就abc 是二面角-mn-的平面角，q，abc =90 o，abbc又abmn ， ab5. 求证：假如两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行 .如下列图:已知a,b,垂足分别为 a 、b.求证： a pb.证明：假设 a和b不平行， 过b点作 a的平行线 b'由异面直线垂直定义，b'与平面内过点a 的任意直线都垂直，也即有b'，b ib' ib,故直线 b'与b与确定一个平面，记，=l, 在平面内，过b 点有且仅有一条直线垂直于所以ab.l，故直线b'与b重合，7四、解析几何部分1.点到直线距离公式证明内 容 ： 已

15、 知 直 线l : axbyc0, 直 线 外 一 点m x0 , y0 .就 其 到 直 线 l的 距 离 为ax0by0cd；a2b 2向量法 证明 1：设直线 l : axbyc0, 直线外一点m x0 , y0 . 直线上一点p x,y. 可得直线的一个方向向量为 vb, a, 设其法向量为 n s, t就 v . nbsat0 ，可得直线一法向量为n a, b,n 的单位向量为 n0na, na2b2ba2b 2由题意，点 m 到直线的距离为 pm 在 n0 上的射影，所以， dpm . n0ax0xb y0y a2b 2ax0by0a2 ax b2by 由于点p x, y 在直线上

16、，所以 c axby 所以，把代入中，得dax0by0cna2b 2证明 2：设直线 l: axbyc0 a0, b0 的一个法向量 r1, b aruuur| xxb yy | n pq |dr1010a| a x1x0 b y1y0 |， q直线上任意一点，| n |b 21a2a2b2q p点在直线 l 上,axbyc0,从而 d| ax1by1ax0by0 | ax0by0c |11a2b 2a2b2证明 3：依据定义，点 p 到直线 l 的距离是点 p 到直线 l 的垂线段的长，如图1，'设点 p 到直线 l 的垂线为l ，垂足为 q，由 l 'l 可知l '

17、 的斜率为ba'l 的方程： yyb xx 与联立方程组00lab2 xabyaca2 yabxbc解得交点 q00,00a2b2a2b2822| pq |2 b x0aby 0acx 2 a y0abx 0bcy 2a2b 20a 2b 20a2 xabyacb 2 yabxbcpq | ax0by0c |00 200 2a2b2a20a2 ax a2b2by0b 2 2c 20b 2 ax a2a2by0b2 2b2c 2 ax0by0a2b 2c 2五、平面对量部分1. 平行向量定理内容：如两个向量（与坐标轴不平行）平行，就它们相应的坐标成比例；如两个向量相对应的坐标成比例，就两

18、向量平行；证明：设a, b 是非零向量，且 a x1 , y1 ,b x2 , y2 如 a / b ，就存在实数使ab ，且由平面对量基本定理可知x1 iy1 j x2 iy2 j x2 iy2 j.x1x2 ，y1y2 y2x2 得：x1 y2x2 y10如 y10, y20 （即向量a, b 不与坐标轴平行）就x1x2y1y22. 平面对量基本定理内容：假如e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a ，存在唯独一对实数1 ,2 ，使得 a1 e12 e2 .证明：如图过平面内一点o，作 oae1, obe2 ,oca ，过点 c分别作直线 oa和直线 ob的平行线，交oa于点 m，交 ob于点 n，有且只得om1 oa, on