初中数学竞赛定理大全

1、优秀学习资料欢迎下载欧拉（ euler）线：同一三角形的垂心 、 重心 、 外心 三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线 ；且 外心 与 重心的距离等于垂心 与 重心 距离的一半；九点圆：任意三角形三边的 中点， 三高的垂足 及三顶点与 垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆 ；其圆心为三角形外心与垂心 所连线段的中点，其半径等于三角形外接 圆半径的一半 ；优秀学习资料欢迎下载费尔马点：已知 p 为锐角 abc内一点，当 apb bpc cpa 120°时，papb pc的值最小，这个点 p 称为 abc的费尔马点 ；海伦（ heron）公式：优秀学习资料欢迎下载塞

2、瓦（ ceva）定理：在 abc中，过 abc的顶点作相交于一点p 的直线，分别交边 bc、ca、ab 与点 d、e、f，就bd/dc· ce/ea·af/fb1；其逆亦真；密格尔（ miquel）点：如 ae、af、ed、fb 四条直线相交于 a、b、c、d、e、f 六点， 构成四个三角形，它们是abf、 aed、 bce、 dcf， 就这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点；优秀学习资料欢迎下载葛尔刚（ gergonne）点 : abc的内切圆分别切边ab、bc、ca 于点 d、e、f，就 ae、bf、cd 三线共点，这个点称为 葛尔刚点 ；西摩松（ simson

3、）线：已知 p 为 abc外接圆周上任意一点， pdbc， pe acpf ab， d、e、f 为垂足，就 d、e、f 三点共线 ，这条直线叫做 西摩松线 ；优秀学习资料欢迎下载黄金分割：把一条 线段ab分成两条线段 ，使其中较大的 线段ac是原线段 ab与较小线段 bc的比例中项 ，这样的分割称为 黄金分割；帕普斯（ pappus）定理：已知点 a1、a2、a3 在直线 l1 上，已知点 b1 、b2、b3 在直线 l2 上， 且 a1b2 与 a2b1 交于点 x， a1b3 与 a3b1 交于点 y，a2b3 于 a3b2 交于点 z，就 x、y、z 三点共线；优秀学习资料欢迎下载笛沙格

4、（ desargues）定理：已知在abc与 a'b'c'中， aa'、bb'、cc三'线相交于点 o，bc与 b'c'、ca与 c'a'、ab与 a'b'分别相交于点 x、y、z，就 x、y、z 三点共线 ；其逆亦真摩莱（ morley）三角形：在已知 abc三内角 的三等分线 中，分别与 bc、ca、ab相邻的每两线相交于点 d、e、f，就def是正三角形 ，这个正三角形称为 摩莱三角形；优秀学习资料欢迎下载帕斯卡（ paskal）定理：已知圆内接六边形abcdef的边 ab、de 延长线交于点

5、 g，边 bc、ef延长线 交于点 h，边 cd、fa延长线交于点k，就 h、g、k 三点共线 ；托勒密（ ptolemy）定理：在圆内接四边形中 ，ab·cd ad·bcac· bd（任意四边形都可！哇哈哈）优秀学习资料欢迎下载斯图尔特（ stewart）定理：设 p 为 abc 边 bc上一点 ， 且 bp： pc n： m， 就m· ab2 n· ac2 m· bp2 n· pc2（ m n） ap2梅内劳斯定理：在 abc中，如在 bc、ca、ab 或其延长线上被同一条直线截于点 x、y、z，就bx/xc·

6、 cy/ya·az/zb1优秀学习资料欢迎下载阿波罗尼斯（ apollonius）圆一动点 p 与两定点 a、b 的距离之比等于定比 m:n，就点 p 的轨迹，是以定比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为 阿波罗尼斯圆， 简称“阿氏圆”；布拉美古塔（ brahmagupta）定理：在圆内接四边形abcd中，ac bd，自对角线的交点p 向一边作垂线，其延长线必平分对边；优秀学习资料欢迎下载广勾股定理：在任一三角形中，(1) 锐角对边的平方，等于 两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍(2) 钝角对边的平方，等于 两夹边的平方和，加上

7、某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍加法原理 ：做一件事情，完成它有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在其次类方法中有m2种不同的方法，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+mn 种不同的方法；比如说：从 北京到上海有 3 种方法可以直接到达上海，1：火车 k 12：飞机 k 23：轮船 k 3，那么从北京- 上海的方法n = k 1+k 2+k 3乘法原理 ：做一件事，完成它需要分成n 个步骤 ，做第一步有 m1种不同的方法，做其次步有 m2不同的方法，做第n 步有 m· n 不同的方法 . 那么完成这件事共有 n=m1·

8、;m2·m3mn 种不同的方法 .优秀学习资料欢迎下载正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等；即 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（ 2r 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）这肯定理对于任意三角形abc，都有 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（ r 为三角形外接圆半径）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方 等于其他两边平方的和 减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，如三边为a, b, c三角为a,b,c ， 就满意性质：a2=b2 +c 2-2bc · cos a b2=a2 +c 2-2ac · cos

9、 b c2=a2 +b2-2ab · cos c cos c= a2 +b2-c 2/2ab cos b= a2 +c 2-b 2/2ac cos a= c2 +b2 -a 2 /2bc11解析几何中的基本公式1、 两点间距离：如a x1 , y1 , b x 2, y 2 ，就 ab x2x 2 y2y 22、 平行线间距离：如l 1 :daxbyc 10,c1c2l 2 :axbyc 20就：a 2b2留意点： x， y 对应项系数应相等；优秀学习资料欢迎下载3、 点到直线的距离：p x , y,l :axbyc0就 p 到 l 的距离为： daxbyc a 2b 24、 直线与

10、圆锥曲线相交的弦长公式：ykxbfx , y0消 y： ax 2bxc0 ，务必留意0.如 l 与曲线交于 a x1 , y1 , b x2 , y2 就： ab1k 2 xx 2215、 如 a x1 , y1 , b x2 , y2 ， p（ x， y）；p 在直线 ab 上，且 p 分有向线段 ab 所成的比为，x就yx1x21y1y21x，特殊地： =1时，p为 ab中点且yx1x22y1y22变形后：xx1 或x2xyy1y2y6、 如直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，就 l1 到 l2 的角为,0,适用范畴： k1，k2都存在且 k1k21 ，t a nk2k

11、11k1 k2如 l1与 l2的夹角为，就 tank1k 2，1k1k20,2留意：（1）l1 到 l2 的角，指从 l1 按逆时针方向旋转到l2 所成的角，范畴l1 到 l2 的夹角：指l1、l2 相交所成的锐角或直角；（2）l1l2 时，夹角、到角 =；2（3）当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角；0,优秀学习资料欢迎下载7、 （1）倾斜角，0, ；（ 2） a, b 夹角 ， 0， ；（ 3）直线 l 与平面的夹角，0， ； 2（ 4） l1 与 l2 的夹角为，0，2 ，其中 l 1/l 2 时夹角=0；（ 5）二面角, 0, ；（6） ） l1 到 l2 的角

12、 ，0，8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a) 每一条直线都有倾斜角，但不肯定有斜率；b) 如直线存在斜率 k，而倾斜角为，就 k=tan；9、 直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直优秀学习资料欢迎下载（1）如 l1，l2 均存在斜率且不重合：l1/l 2k1=k2l1l2k1k2=1（2）如 l 1 :a1 xb1 yc10,l 2 :a2 xb 2 yc 20如 a1 、a2、b1、b2 都不为零 l1/l 2a1b1a2b2c1 ；c 2 l1l2a1a2+b1b2=0； l1 与 l2 相交a1b1a2b2 l1 与 l2 重合a1b1a2b2c1 ；c 2留意：如 a2 或 b

13、2 中含有字母，应留意争论字母=0 与0 的情形；10、直线方程的五种形式名称方程留意点斜截式：y=kx+b应分斜率不存在斜率存在点斜式：yyk xx （1）斜率不存在： xx（ 2 ） 斜 率 存 在 时 为yyk xx 两点式：截距式：yy1y2y1xy1abxx1x2x1其中 l 交 x 轴于 a,0，交 y轴于 0, b 当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应分：（1）截距 =0设 y=kx（ 2 ） 截 距 = a0设xy1aa即 x+y=a一般式：axbyc0（其中 a、b 不同时为零）11、直线 axbyc20 与圆 xa2 yb2r的位置关系有三种优秀学习资料欢迎下载aabbc如

14、 d， dr相离0a2b2dr相切0dr相交013、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义：如 f1，f2 是两定点， p 为动点，且常数）就 p 点的轨迹是椭圆；pf1pf22af1 f2（ a 为定义：如 f1 为定点， l 为定直线，动点 p 到 f1 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e（0<e<1），就 p 点的轨迹是椭圆；x2y 2标 准 方 程 ：1a 2b 2 ab0定 义 域 ： xaxa 值域： xbyb2准线方程： xa ca 2长=2b焦距： 2ca 2长轴长 = 2a ，短轴焦 半 径 ：pf1e x， pf2eccx，pf12apf2，acpf1

15、ac 等（留意涉及焦半径用点p 坐标表示，第肯定义；）留意：（1）图中线段的几何特点：a1 f1a2 f2ac ，a1 f2a2 f1acb fb fb fb fa， a ba ba 2b2等等；顶111222212212点与准线距离、焦点与准线距离分别与a, b, c 有关；优秀学习资料欢迎下载（2）pf1 f2 中常常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段pf1 、pf2、2c，有关角f1 pf2 结合起来，建立pf1+ pf2、pf1pf2等关系（3）椭圆上的点有常常用到三角换元：x a cos；y b sin（4）留意题目中椭圆的焦点在x 轴上仍是在 y 轴上，请补充当焦点在y 轴上

16、时，其相应的性质；二、双曲线（一）定义：如f1，f2 是两定点，pf1pf22af1f2（ a 为常数），就动点 p 的轨迹是双曲线；如动点 p 到定点 f 与定直线 l 的距离之比是常数e（ e>1），就动点 p 的轨迹是双曲线；（二）图形：（三）性质2方程： xa 22y1a b 20, b0y 2x2a 2b21a0, b0定义域： x xa或xa ；值域为 r；实轴长=2a ，虚轴长 =2b焦距： 2ca 2准线方程： xc优秀学习资料欢迎下载焦半径 ：2pf1e xa ， cpf22e ax ， cpf1pf22a ；留意：（1）图中线段的几何特点：af1bf2ca ，af2b

17、f1ac2顶 点 到 准 线 的 距 离 ： aa或a ca； 焦 点 到 准 线 的 距 离 ：2c2ca或c ca;两准线间的距离 =2c2 a 2c22（ 2）如双曲线方程为xy1a 2b2渐近线方程： xy0yb x22a 2b 2ax2y2a 2b 2如 渐 近 线 方 程 为 yb xaxy0ab双 曲 线 可 设 为2如双曲线与 xa 2222y1 有公共渐近线，可设为xy b 2a 2b 2（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上）（ 3）特殊地当 ab时离心率 e2两渐近线相互垂直，分别为y=x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x 2y2；（4）留意pf1 f2 中结合定义pf1pf22a 与余弦定理cosf1 pf2 ，将有关线段二、抛物线pf1、 pf2、 f1f2和角结合起来；（一）定义：到定点f 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；