初中数学竞赛精品标准教程及练习17：奇数、偶数

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（17） 奇数偶数一、内容提要1奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2 整除的整数是偶数，如2， 0 2，不能被2 整除的整数是奇数，如1，1，3；假如 n 是整数，那么2n 是偶数， 2n1 或 2n+1 是奇数；假如n 是正整数，那么2n 是正偶数， 2n-1 是正奇数；2奇数、偶数是整数的一种分类；可表示为：奇数整数或整数集合偶数奇数集偶数集这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，假如既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数；3奇数偶数的运算性质：奇数±奇数偶数，

2、奇数±偶数奇数，偶数±偶数偶数奇数×奇数奇数奇数×偶数偶数，偶数×偶数偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数；二、例题例1求证：任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数证明：设 k 为整数，那么2k1 是任意奇数，（2k1）214k2 4k 1 1 4kk 1kk 1 是两个連续整数的积，必是偶数 4kk 1 是 8 的倍数即任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数例2已知：有 n 个整数它们的积等于n，和等于0求证： n 是 4 的倍数x1x2 x3xnn证明：设 n 个整数为x1,x 2 ,x 3,x

3、n 依据题意得x1x2x3xn0假如 n 为正奇数，由方程（1）可知 x1,x 2,x 3,xn 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（ 2）右边的 0，所以 n 肯定是偶数；当 n 为正偶数时，方程（1）左边的 x1,x 2,x 3,xn 中，至少有一个是偶数，而要满意方程（2）右边的 0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2 个；所以 n 是 4 的倍数；例 3 己知： a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0 没有整数解证明：设方程的有整数解x，如它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c 都是奇数，而右边0 是偶数，故不能成立；如方程的整数解x 是偶数，那么ax2

4、,bx, 都是偶数， c 是奇数，所以左边仍旧是奇数，不行能等于 0；既然方程的解不行能是奇数，也不能是偶数，2方程 ax +bx+c=0 没有整数解 以上的证明方法是反证法22例 4 求方程 x y 60 的正整数解解： x+yx y=60 ，60 可分解为： 1× 60，2×30，3× 20，4×15，5×12， 6× 10左边两个因式 x+y ，x y 至少有一个是偶数因此 x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0, 适合条件的只有两组xy30xy2xy1 0xy6x 16x8解得y 14y2方程 x2y2 60

5、的正整数解是x 16x8y 14y2三、练习 17 1挑选题设 n 是正整数，那么n2+n-1 的值是（）（a）偶数（ b）奇数（ c）可能是奇数也可能是偶数求方程 85x324y=101 的整数解，以下哪一个解是错误的？（）x（a）y5 （b）x1y32986（c） xy653171（d） ） x y9782562填空：能被 3， 5， 7 都整除的最小正偶数是能被 9 和 15 整除的最小正奇数是最大的三位数是1 2 3 20012002 的和是奇数或偶数？答正整数 123420012002 是奇位数或偶位数？答100n位01能被 11 整除，那么n 是正奇数或正偶数？答3任意三个整数中，

6、必有两个的和是偶数，这是为什么？4试说明方程2x+10y=77 没有整数解的理由5求证：两个連续奇数的平方差能被8 整除6试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7求方程（ 2xy2）2（ x+y+2） 2=5 的整数解8方程 19x+78y=8637 的解是 ax y78 b91x 84y 92cx 88y 93dx 81y 919.十进制中，六位数19ab87 能被 33 整除，求 a,b 的值练习 17 参考答案：1. b， d2. 210， 45，945 奇数 有奇数个奇数 ，奇数位，正偶数3. 整数按奇数，偶数分为两类，3 个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数4. 左边 2，10、都是偶数， x.y不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立5.2n+1 2-2n-12=8n6. 任意两个奇数可设为2m-1,2n-17. 两个整数的平方和5 为，只有 ±1 2+ ±2 2=5 或 ±2 2 + &#