初中数学竞赛精品标准教程及练习32：中位线

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（32） 中位线一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半；2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，运算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系；3. 运用中位线性质的关键是从显现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出帮助线；4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用；它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在始终线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的

2、直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5. 有关线段中点的其他定理仍有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线相互重合对角线相互平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必需全面考虑；二、例题例1.已知： abc中，分别以 ab、ac为斜边作等腰直角三角形abm和 can，p 是 bc的中点；求证： pmpn证明：作 me ab，nfac，垂足 e，fma abm、 can是等腰直角三角形nefae ebme，af fcnf，p依据三角形中位线性质bcpe1 acnf，pf21 ab me2pe

3、 ac，pfab peb bac pfc即 pem pfn pem pfnpm pn例 2. 已知 abc中， ab10， ac7，ad是角平分线， cmad于 m，且 n是 bc的中点；求 mn的长；分析： n是 bc的中点，如 m是另一边中点， 就可运用中位线的性质求mn的长，a1 2107m依据轴称性质作出 amc的全等三角形即可； bcnd帮助线是：延长cm交 ab于 e（证明略）例 3. 求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半；已知：梯形 abcd中， ab cd，m、n分别是 ac、bd的中点求证： mnab cd，mn 1 （ abcd）2c1d2dced3cmn

4、mneabamnbaeb分析一： m是 ac中点，构造一个三角形，使n为另一边中点，以便运用中位线的性质；连结 cn并延长交 ab于 e（如图 1）证 bne dnc可得 n是 ce的中点；（证明略）分析二：图 2 与图 1 思路一样；分析三：直接挑选 abc，取 bc中点 p 连结 mp和 np，证明 m，n，p 三点在同始终线上，方法也是运用中位线的性质；例4.如图已知： abc中， ad是角平分线， becf，m、n分别是 bc和 ef的中点求证： mnad证明一：连结 ec，取 ec的中点 p，连结 pm、pnmpab， mp1 ab，npac， np 1 ac22abecf， mpn

5、p1 2enf 3= 4=180- mpn 23p4bd mcmpn bac 180 （两边分平行的两个角相等或互补） 1= 2=180- mpn 2， 2=3npac mnad证明二：连结并延长em到 g，使 mgme连结 cg，fg就 mnfg， mcg mbeacg becfb bcgenfabcg， bac fcg1801jccad2（ 180 fcg）bd mcfg 1 （ 180 fcg）=cadg2mnad例5.已知： abc中，abac，ad是高， ce是角平分线， efbc于 f，gece交 cb的延长线于 g求证： fd1 cgah4证明要点是：延长ge交 ac于 h，可证

6、 e 是 gh的中点过点 e 作 em gc交 hc于 m，emo12g bfdc就 m是 hc的中点， emgc，em由矩形 efdo可得 fdeo 1 em21 gc21 gc4dgch三、练习 32f1. 已知 e、f、g、h 是四边形 abcd各边的中点aeb就四边形 efgh是形当 acbd时，四边形 efgh是形当 acbd时，四边形 efgh是形当 ac和 bd时，四边形efgh是正方形形；2. 求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半；3. 已知 ad是锐角三角形 abc的高， e， f， g分别是边 bc，ca， ab的中点，证明顺次连结e， f， g，h所成的四边形是等腰梯形

7、；，4. 已知：经过 abc顶点 a 任作始终线 a, 过 b，c 两点作直线 a 的垂线段bb 和 cc，设 m是bc的中点，a，dm求证： mb mcenbc5. 如图已知 abc中， adbe，dmen bc求证 bcdmen6. 如图已知：从平行四边形abcd的各顶点向形外任始终线a 作垂线段 ae，bf，cg， dh；求证 aecg bfdh7. 如图已知 d 是 ab的中点， f 是 de的中点，求证 bc2cedcoabdadfgba7fch1ee8. 平行四边形 abcd中， m，n分别是 bc、cd的中点，求证 ac平分 mn9. 已知 abc中， d 是边 bc上的任一点，

8、 m，n，p，q分别是 bc，ad，ac，mn的中点，求证直线pq平分 bd；10. 等腰梯形 abcd中， abcd，adbc，点 o是 ac和 bd的交点， aob60 ，p，q，r 分别是 ao，bc，do的中点，求证 pqr是等边三角形；dcardnc9oo8pmnabr60qpbsm dcab11. 已知： abc中， ad是高， ae是中线，且 ad，ae三等分 bac，求证： abc是 rt；12. 已知：在锐角三角形abc中，高 ad和中线 be相交于 o，bod60 ，求证 adbedfc13. 如图已知：四边形 abcd中， ad bc，m点 e、f 分别是 ab、cd的中点， mn efnaeb求证： dmn cnm练习 32 参考答案：1. 平行四边形菱形矩形相等且相互垂直2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边3. dgef1 ab2， ，4. 过点 m作 a 的垂线 , 必平分 b c，5. abc的中位线也是梯形bcdd中位线6. 同上，有公共中位线7. 取 bc中点 g，连结 dg8. 连结 bd交 ac于 o，易证四边形 mcno