初中数学竞赛精品标准教程及练习38：平行和垂直

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（38） 平行和垂直一、内容提要一. 证明两直线相互平行常用的定理 利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行； 利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行； 利用比例式abc中，假如 adaeadbecd那么 debce 其他三角形中位线平行于第三边bc梯形中位线平行于两底平行四边形对边平行二. 证明两直线相互垂直常用的定理1. 按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角；直角是 180 的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和；2. 在三

2、角形中证明直角 假如一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角； 如一边平方等于其他两边的平方和，就这边所对的角是直角； 如一边中线等于这边的一半，就这边所对的角是直角； 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高； 和直角三角形全等或相像的三角形也是直角三角形；3. 菱形对角线相互垂直二、例题例 1. 从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边；已知： abc中， bd， ce是角平分线， am bd，ance求证： mnbca证明：分别延长 am，an交 bc于 f，g就 amb bmfrt 1 2， bmbm amb fmbenmd2b1cgfa

3、m mf同理可证 anngmn是 afg的中位线，mn fg，即 mn bc例 2. 已知： ad是 rtabc斜边上的高，角平分线be交 ad于 f， eg bc交 bc于 ga求证： fgac，ag be证明的要点：ebe是角平分线，f点 e 到 abc的两边距离相等，即 eaegbdgc afe， aef分别是 ebc， abe的余角， afe aef得 afae eg，且 eg af， 故 afge是菱形例 3. 已知：如图 ad是等腰直角 abc斜边上高bm， bn三等分 abc， cm延长线交 ab于 e求证： enbma证明要点：fn根椐轴对称图形的性质e1mcm，cn也三等分

4、acbbdc点 n 是 ace的内心，en是 aec的平分线 1 abm 30例 4. 已知： a，b，c 三点在同始终线上， abd和 bce都是等边三角形，ae交 bd于 m，cd交 be于 ne d求证： mnacmn证明：在等边 abd和 bce中abcabbd， bcce， abd bce60bmce am ab， bnbd ， ambn mnacmebcnccemece例 5. 已知：正方形abcd中， p 是 ac上的任意点，过点p 作 peab作 pfbcd4求证： pdefh分析：要证明 pdef，可证 pmf90先证 1 2 90 2 390agcp1 2fm 3be而 1

5、 4只要证 3 4可用边角边证 bef gpd （证明略）例 6. 已知： o和 q相交于 a，b， q经过点 o，c是 o优弧 ab上的一点， cb延长线交 q于 d，求证： doacaf证明：连结 ab，作 o直径 ae，do延长线交coqac于 f c e， d eabeb cfd abert， doacd三、练习 381. 四边形 abcd中， a b，adbc，就 abcd2. 正方形 abcd中， e 在边 bc上， f 在边 ab的延长线上，且aebf就 ae cf3. 已知：平行四边形abcd的 ab2bc， e， f 分别在 bc和 cb的延长线上且 ce bfbc求证： a

6、e df4. 分别以 abc的边 ab和 bc为一边，向形外作两个正方形abef和 bcg，h 求证ahce，ah ce5. 已知： d，e，f 是 abc边 bc，ca，ab的中点， h，g在形外，且heac，he 1 ac，gdbc，2gd 1 bc2ad求证： fdg heffg fhef6. 已知：在平行四边形abcd中，ba 和 b 的平分线交于 e，cc和 d 的平分线相交于 f求证： efbc7. 三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点这点叫做三角形的垂心，如图abc中，两条a高 ad和 be交于 h，那么h是 abc的垂心d是的垂心hebce 是的垂心c 是的垂心d8. 已知： o为等腰直角三角形abc底边 bc的中点，在 bc的延长线上任取一点p，过 p 作 ab的垂线pd，d为垂足，过 p 作 ac的垂线 pe，e 为垂足；试问：不论 p 点在 bc延长线上的哪一个位置，doe都等于几度？并证明你的结论练习 38 参考答案：1. 多种证法； a