指数与指数函数知识点及题型归纳总结

1、指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当 a0，b0 时，有(1)aman=am+n(m,nr)；(2)mm nnaaa( m,n r)(3)(am)n=amn(m,n r)；(4)(ab)m=ambm(m r)；(5)ppaa1(p q) (6)mmnnaa(m,nn+) 二、指数函数(1)一般地，形如y=ax(a0 且 a 1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a0 且 a 1)的图像和性质如表2-6 所示 . y=axa1 0a1 图象(1) 定义域：r(1) 定义域：r值域(2)值域： (0,+) (2)值域： (0,+) (3)过定点 (0,1) (

2、3)过定点 (0,1) (4)在 r 上是增函数 . (4)在 r 上是减函数 . (5)0 y0 y=1x=0 y1x0 (5)0 y1x1x0 题型归纳及思路提示题型 1 指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如( )fxab，( )fxab，( )fxab的形式常用 “ 化同底 ” 转化，再利用指数函数单调性解决；或用“ 取对数 ” 的方法求解 .形如 a2x+bax+c=0 或 a2x+bax+c 0( 0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例 2.48 化简并求值 . (1)若 a=2，b=4，()()aa bbababb2

3、23333311的值；(2)若xx11223，xxxx33222232的值；(3)设nna11201420142(n n+)，求()naa21的值 . 分析：利用指数运算性质解题. 解析：()()()()aa bbababa bababbbabbab2222333333332333111()()()()()abaabbababbabbab2233333333323331()()()()abababbbabbabb2233333332223333311. 当 a=2，b=4，原式33332212162 2. (2)先对所给条件作等价变形：()xxxx11122222327，()()xxxxxx3

4、3111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47. 故xxxx3322223183124723. (3)因为nna11201420142，所以()nna11222014201412，所以nnnnnaa111112220142014201420141201422. 所以()naa2112014. 变式 1 设 2a=5b=m，且ab112，则 m=( ). a. 10b. 10 c. 20 d. 100 二、指数方程例 2.49 解下列方程(1)9x-4 3x+3=0；(2)( )( )xx29643827；分析： 对于 (1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3

5、x)2；对于( )( )xx2938，对其底进行化简运算. 解析： (1)9x-4 3x+3=0(3x)2-4 3x+3=0，令 t=3x(t0) ，则原方程变形为t2-4t+3=0，得 t1=1，t2=3，即x131或x233，故 x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1. (2)由( )( )xx29643827，可得()x33294383即()( )x33443，所以()( )x33344，得 x=-3. 故原方程的解为x=-3. 变式 1 方程 9x-6 3x-7=0 的解是 _. 变式 2 关于 x 的方程( )xaa32325有负实数根，则a 的取值范围是_. 三、指数

6、不等式例 2.50 若对 x1,2 ，不等式x m22恒成立，求实数m 的取值范围 . 分析： 利用指数函数的单调性转化不等式. 解析：因为函数 y=2x是 r 上的增函数， 又因为 x1,2， 不等式x m22恒成立，即对x1,2， 不等式 x+m1恒成立函数 y=x+m在1,2 上的最小值大于1， 而 y=x+m 在1,2上是增函数，其最小值是1+m， 所以 1+m1，即 m0. 所以实数 m 的取值范围是 m|m0. 变式 1 已知对任意xr，不等式( )xmx mxx22241122恒成立，求m 的取值范围 . 变式 2 函数( )xf xx21的定义域为集合a，关于x 的不等式axa

7、x222(x r)的解集为b，求使 a b=a的实数 a 的取值范围 . 题型 2 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例 2.51 函数( )x bfxa的图象如图2-14 所示，其中a，b 为常数，则下列结论中正确的是( ). a. a1，b1，b0 c. 0a1，0b1 d. 0a1， b0 分析： 考查指数函数的图象及其变换. 解析： 由图 2-14 可知 0a0，得 b0，故选 d. 评注： 若本题中的函数变为( )xf xab，则答案又应是

8、什么？由图2-14可知(x)单调递减，即0a1，函数 y=ax的图像向下平移得到xyab的图像，故0b0 且 a 1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). a. 0 a0 b. a1 且 b0 c. 0a1 且 b1 且 b0，a 1)的图象可能是 ( ). 变式 3 已知实数a， b 满足 ( )( )ab1123， 下列 5 个关系式： 0ba，ab0， 0ab， ba0 且 a 1)的图像过定点 _. 分析： 指数函数的图像恒过定点(0,1)，即 a0=1. 解析： 因为函数(x)=ax(a0 且a 1)的图像过定点(0,1) ，又函数(x)=xa1(a0 且a 1)的图像是由函

9、数(x)=ax(a0 且 a 1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数(x)=xa1(a0 且 a 1)的图像过定点(-1,1). 变式 1 函数(x)=ax+1(a0 且 a 1)的图像过定点_. 变式 2 函数(x)=ax+x-2 的图像过定点_. 变式 3 (x)=xa1(a0 且 a 1)的图像恒过定点a，若点 a 在直线 mx+ny-1=0(m,n0)上，则mn11的最小值为_. 二、指数函数的性质(单调性、最值(值域 ) 例 2.53 函数(x)=ax(a0 且 a 1)在 1,2上的最大值比最小值大a2，则 a 的值是 _. 分析： 本题考查指数函数的单调性. 解析： 当 0a1

10、 时，函数(x)=ax在1,2上单调递减，故在1,2上最大值为a，最小值为a2，则aaa22，得aa22，又 0a1 时， 函数(x)=ax在1,2上单调递增， 故在 1,2上最大值为a2， 最小值为 a， 那么aaa22， 得aa232，又 a1，所以 a32. 综上所述， a 的值是12或32. 评注： 函数(x)=ax(a0 且 a 1)，不论 0a1 都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以 |aaa22，解得 a12或 a32. 变式 1 函数(x)=ax(a0 且 a 1)在区间 a,a+2上的最大值是最小值的3 倍，则 a=_. 变式 2 定义区间 x1,x2(x1x2)

11、的长度为x2-x1，已知函数y=2|x|的定义域为 a,b，值域为 1,2，则区间 a,b的长度的最大值与最小值的差为_. 变式 3 若 y=3|x|(x(a,b)的值域为 1,9，则 a2+b2-2a 的取值范围是( ). a. 2.4 b. 4,16 c. 2,23 d. 4,12 例 2.54 函数xxya248145(0a1)的单调增区间是_. 分析： 复合函数xxya248145 内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解. 解析： 因为 u=-4x2-8x+1=-4(x+1)2+5 在-1,+)上单调递减，在(-,-1上单调递增，且y=ax(0a1)是减函数，所

12、以xxya248145(0a0 恒成立 .分离自变量x 与参变量 a，转化为求解函数的最值. 解析： 因为当x(-,1 时，(x)的图像在x 轴上方，所以对于任意x 1，xxa124 0 恒成立，即xxa214(x 1)恒成立 . 令( )()()xxxxu x2111424(x 1)，au(x)max，x (-,1. 因为()xy12，()xy14均是减函数，所以 u(x)在(-,1上单调递增，故当x=1 时，max( )( )u xu314，故 a34. 故实数 a 的取值范围为 (34,+). 变式 1 已知函数( )()xxaf xaaa21(a0 且 a 1). (1)判断函数(x)

13、的奇偶性；(2)讨论函数(x)的单调性；(3)当 x-1,1时，(x) b 恒成立，求实数b 的取值范围 . 变式 2 定义域为r 的函数12( )2xxbf xa是奇函数 . （1）求 a,b 的值 . （2）若对任意的tr，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k 的取值范围 . 变式 3 已知函数1( )22xxf x，若2(2 )( )0tftmf t对于1,2t恒成立，求实数m 的取值范围 . 最有效训练题1.函数2(33)xyaaa是指数函数，则有（）a a=1 或 a=2 b a=1 c a=2 d 0a且1a2.设0.90.481.512314,8,()2yyy，则

14、（）a 312yyyb 213yyyc 123yyyd 132yyy3.设函数( )f x定义在实数集上，其图像关于直线x=1 对称，且当1x时，( )31xf x，则有（）a 132( )( )( )323fffb 231( )( )( )323fffc 213()( )( )332fffd 321( )( )( )233fff4. 函数( )22xxf x是（）a 奇函数，在区间(0,)上单调递增b 奇函数，在区间(0,)上单调递减c 偶函数，在区间(,0)上单调递增d 偶函数，在区间(,0)上单调递减 . 5.若关于 x 的方程9(4)340 xxa ?有解，则实数a 的取值范围是（）a

15、 (, 8)0,)ub (, 4)c 8,4)d (, 86.函数221(0)(1)(0)( )axaxxaexf x在 r 上单调，则a 的取值范围是（）a (,2(1,2ub 2,1)2,)uc （1，2）d 2,)7.不等式2223330 xxaa?，当01x时，恒成立，则实数a 的取值范围为. 8. 函数2231()2xxy的单调递增区间是.9.已知关于 x 的方程92 3310 xxk有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为. 10. 偶函数( )f x满足(1)(1)f xfx， 且在0,1x时，( )fxx， 则关于 x 的方程1( )()10 xf x，在0,2014x上的解的个数是. 11.已知函数( )xf xb a（其中 a,b 为常