角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用

1、1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b 两种情形：a、 如图甲：一直线与角的一边平行b、 如图乙：一直线与角的平分线平行2等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3等腰三角形与平行线往往出现角平分线a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二， 寻找发现其三， 这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点， 使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。

2、角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：例 1、如图 1：已知在 abc 中abc 、acb 的平分线交于点i，过点 i 作 de/bc ，分别交 ab 、ac 于点 d、e。求证： de=bd+ce 。证明：例 2、如图 2：已知 i 是 abc 的内心， di/ab 交 bc 于点 d，ei/ac 交 bc 于 e。求证：die 的周长等于bc。证明：312123/oacddcdodoc等腰三角形ode等腰三角形214231/ ocdeoeod432131dccooacd /324343aoboeodaobaob211213deoc /311323/dccodcoa212142

3、31/43ocdeoeod1232/ bcde31eicedibd同理：cebdiedide2131/ abdibddi23图甲1 3 a b c d e i 图（ 2）2 3 2 1 i e d a b c 4 3 2 o d e c b a 1 图乙同理： ei = ce。 die 的周长 =di + ie + ed = bc 例 3、如图 3：已知在 abc 中，abc 的平分线与acb 的外角平分线交于点d，de/bc ，交 ab 于点 e，交 ac 于点 f，求证： ef = becf。证明：同理： cf = fd ef = ed fd = be cf 例1、例 2、例 3 都是由角

4、平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。例 4、平行四边形abcd 中， ab=3 ，bc=4 ，abc的平分线交ad 于点 e，bcd的平分线交ad 于点 f， be、cf 交于点 g，fg=1。求：a的度数。解：1252/bcadbcadabcd平行四边形15同理可证： df = cd = ab = 3 af = 1ef = ad（ af + de ）= 4 2 = 2 评注：此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即abe 和 dcf。利用平行四边形的对边相等，分别得到af=de=1 。212/bdebcdebde1edbe1443

5、3aeaddeadbcbcadaeababaebcdabcbcdabccdababcd213212180/0平行四边形effgfgegfbgc21, 19090903200003050120a03014 3 2 1 f e d m c b a 用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到rtbgc ，rt bgf 。如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。用三角形内角和定理得0120a。例 5、在矩形 abcd 中，ac 与 bd 交于点 o；de 平分adc ， 交 bc 于点 e，bde=150，求coe 的度数。解：045cedcecd等边 ocd 000306090oce000752

6、30180coe评注：矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。有一个角为60 度的等腰三角形为等边三角形。等腰三角形的一个底角=顶角018021。此题关键是ceoccecdoccd。此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形cde” 。例6、在 abc中，090cab，a db c 于点d ，点 e 在 b c 的延长线上，且bcae，ad=3 ，de=4 。求： cd：ce 的值。解：00090bcd45edcadcde90adcabcd平分矩形ocodac21ocbd21odacbdabcd601545150000矩形odcbde060ocdoccdcedcoeo

7、cce5434322aedeadadertbcad2121904190490231/000bbbcadbbacffeacadf的延长线于点，交作e o d a b c 评注：关键由2, 1bb发现 ac 平分dae。作角平分线的平行线构造出等腰adf 。由勾股定理求出ae=5 ，从而求出cd：ce 的值。例7、如图：, 1,900acabbacbd 是角平分线de/bc ，交 ab 于点 e。求de 之长。解：adaeacabacadabaebcde /。 。设 ae=ad=x ；则 de=2x 1232/ bcdedebe31xbe212xxab12121112xx22de评注：发现 aed

8、 仍为等腰直角三角形。由角平分线、平行线发现等腰bed 。设未知数，列方程求出de 之长。 （方程思想）例8、如图：已知 rt abc中，以 ab 为直径的 o 交斜边bc 于点 d，oe/bc 交 ac 于点 e。求证： de 是 o 的切线。333afadadaff53/cecdaeafacdf3 c b a e d 1 2 证明：bodobbbdde3231/公有oeodoa2190oaeodeoaeodeed 是圆 o 的切线。评注：只能利用定义证明直线与圆相切。由等腰三角形和平行线，发现角平分线得1=2。利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。例 9、ab 是 o 的直径， bc 是

9、o 外一点。 pbab ，ac/op 交 o 于 c 点。求证：pc 是 o 的切线。证明：连结，则4231/21opacoaocopbopcobocopop43009090pcopboabpbpbopco的切线是圆 opcpcdc。【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。】评注：由等腰aoc 的构造出现，进而可发现3 = 4。利用直角b证明了 p c o 为直角。具体判定直线与圆相切的两个判别方法：作垂足，垂足在圆上。连半径，证明半径的外端就是垂足。例 10、已知： ab是 o 的直径， bc是 o 的切线。切点为点b，dc是 o 的切线。求证： oc/ad。证明 : 连结

10、 od,则321/1aadcdaoaodobcodcobodoc公有32的切线。是圆odcobcodc090c p b a o 1 2 3 4 6 d c b a o 1 2 3 4 5 评注：欲证相切，找垂直。利用直角证直角。例 11、如图： 已知在梯形abcd 中，点 o 在 ab 上，半圆 o 与 ad 、cd、bc 相切，且 ad = 5 ， bc = 3。求 ab 的长。解： （方法一）连结oc、od 则有3231/21cdab3bcob同理： oa = ad = 5ab = oa + ob = 5 + 3 = 8 （方法二）延长da 至 e，延长 cb 至 f，使 ae=ad 、b

11、f=bc ；连结 ef，则 ef/cd，且 ef 与 o 相切。则（圆外切四边形的对边之和相等）。例 12、已知 p 为 o 外一点，通过作o 的两条割线，分别交o 于 a、b 和 c、d点，且 ab 是 o 的直径。已知pa=oa=4 ， ac=cd 。求 cd 长。求 cosb 的值。解：连结 bc 、oc、 ad 。25, 1454cdac313221ocobobpocdpcbdoc设 pc= y , cd= x .po = 8 , ob = 4 xyxy248y(y + x) = 4 12 124)2(2xxx4862x22x2422222ycdac且ab 是圆 o 的直径 .2220

12、,90acabbcbacbc=1425622822pcbpadpp相似于528)610(21)22(21)(21)(21bcadcfdecdefabc d b a o 31 2 d c p a b o 1 2 3 4 5 244142adpcapbcad72ad bda = 90o 672822bdcosb=4386abbd评注：平行线截得成比例线段。割线定理可变成为成比例线段。代数法解几何题（方程思想）。引申说明：bc 是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形acd; bc 是 abd的平分线，而 ab又是 o 的直径。因此， 连结 oc 得等腰三角形boc,进而观察联想到oc/bd.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、 平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。例 13、如图： ab 是 o 的直径， c 是 o 上一点，直线de 切 o 于点 c, ab 的延长线交 ed 于点 e，cg ab于点 g，adcd于点 d, ad 交 o 于点 f. 求证： ag bg = addf. 证明： （方法一）连结oc,则adocedaddeoc/cgcdabcgcdadocoa213132延长 cg 交 o 于点 h. gbagghcgghcgchaboab的直径是圆gbagcg2c