ch111多元函数课件

1、ch111多元函数PPT课件11.1 11.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第第1111章章 多元函数微分学多元函数微分学邻邻域域. 1邻邻域域的的点点 ),(000yxP 20200)()(),(),(|yyxxyxPU)0( 0P去去心心邻邻域域的的点点 ),(000yxP)0( 20200)()(0),(),(|yyxxyxPU0P)(0PU)(0PU一一. . 平面点集的有关概念平面点集的有关概念ch111多元函数PPT课件区区域域.2是是平平面面上上的的一一个个点点是是平平面面中中的的一一个个点点集集，设设PE内内点点，使使若若存存在在EPUPU )()(的的内内点点是是则则

2、称称EPEP的内点属于的内点属于显然，显然，EE边界点边界点的任意邻域内既有的任意邻域内既有如果点如果点 P的的点点，的的点点又又有有不不属属于于属属于于EE的边界点的边界点为为则称则称EPPch111多元函数PPT课件边边界界的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE连连通通内内任任何何两两点点，都都可可用用折折如如果果对对于于 D，且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于 D是连通的是连通的则称则称 D区域区域开区域开区域连通的开集称为区域或连通的开集称为区域或记记为为E 开集开集的点都是内点，的点都是内点，如果如果 E为开集为开集则称则称 E线连接起来，线连接起来，闭区域闭区

3、域起，称为闭区域起，称为闭区域开区域连同它的边界一开区域连同它的边界一ch111多元函数PPT课件有有界界点点集集，如果存在正数，如果存在正数对于点集对于点集ME使使),(MOUE 为为有有界界点点集集；则则称称 E否则称为无界点集否则称为无界点集维维空空间间n.3),(21nxxxn元元实实数数组组对对于于自自然然数数，有有序序维维空空间间，称称为为 n记记为为nR中中的的一一个个点点称称为为nnRxxx),(21个个分分量量为为该该点点的的第第数数ixi的全体的全体ch111多元函数PPT课件与与中两点中两点),(21nnxxxPR2222211)()()(|nnxyxyxyPQ 的距离公

4、式：的距离公式：),(21nyyyQch111多元函数PPT课件，与与它它的的底底半半径径圆圆柱柱体体的的体体积积例例rV1hrV2 1定定义义是一个平面点集是一个平面点集设设 D，DyxP ),(按按照照一一定定变变量量 z，有有确确定定的的值值与与它它对对应应法法则则 f即即 zyxf),(的的二二元元函函数数，是是变变量量则则称称yxz,或或记记为为)(),(Pfzyxfz 二二. . 多元函数的概念多元函数的概念之间有关系之间有关系高高 hch111多元函数PPT课件三三元元函函数数),(zyxfu 记记为为 uzyxf),(元函数元函数n uxxxfn),(21记记为为),(21nx

5、xxfu 称为自变量；称为自变量；yx,称为因变量；称为因变量；z称为该函数的定义域；称为该函数的定义域；D),(),(|Dyxyxfzz 数数集集称称为为该该函函数数的的值值域域ch111多元函数PPT课件：多元函数定义域的约定多元函数定义域的约定，对对于于),(21nxxxfu 有有点点的的集集合合，使使这这个个算算式式有有意意义义的的所所称称之之为为自自然然定定义义域域ch111多元函数PPT课件；试试确确定定函函数数例例yxyxz 224)1(2的定义域的定义域解解)1(定义域为定义域为0422 yx，并并且且0 yx 且且即即04| ),(22 yxyxyxxy)2(定义域为定义域为

6、11222 zyx 1| ),(222 zyxzyx即即xyz)arcsin()2(222zyxu ch111多元函数PPT课件二二元元函函数数的的几几何何表表示示),(yxfz 0),( yxfz即即表示空间中的一张曲面表示空间中的一张曲面xyzMP等值线等值线的的曲曲线线，具具有有方方程程kyxf ),(的的等等值值线线称称为为函函数数f22yxz 9 k4 k1 k等值面等值面，对对于于),(zyxfu 表表示示的的曲曲面面kzyxf ),(的的等等值值面面称称为为函函数数fch111多元函数PPT课件2定定义义的某个去的某个去在在设设),(),(000yxPyxfz ，若若00 202

7、0)()(0yyxx时，时，成成立立，均均有有 |),(|Ayxf),(yxfA 为函数为函数则称则称的极限的极限在点在点),(000yxP记记为为Ayxfyxyx ),(lim),(),(00三三. . 二元函数的极限二元函数的极限内内有有定定义义心心邻邻域域)(0PU适适合合当当点点),(yxPch111多元函数PPT课件Ayxfyyxx ),(lim00或或，当，当或或),(),(),(00yxyxAyxf限称为限称为这样定义的二元函数极这样定义的二元函数极二二重重极极限限理理对对于于二二重重极极限限都都成成立立四四则则运运算算法法则则和和夹夹逼逼定定ch111多元函数PPT课件.)(l

8、im322)0,0(),(yxyxxyyx 计算计算例例解解，|222xyyx 则则22)(yxyxxy )(2)(2222yxyxyx yx 21|)|(|21yx 0|)|(|21lim)0,0(),(yxyx 而而0 由由夹夹逼逼定定理理，即即知知0)(lim22)0,0(),( yxyxxyyxch111多元函数PPT课件，求求设设例例),(lim)(),(40022yxfyxxxyyxfyx 解解，令令 cosrx sinry 则则有有),(lim00yxfyx2200)(limyxxxyyx 220)sin()cos(cos)cos(sinlim rrrrr rrr cos)cos

9、(sinlim20 cos)cos(sinlim0 rr0 .注注，设设 cosrx ， sinry )0,0(),(yx则则有有 0r，)0( r)0( rch111多元函数PPT课件.注注以以是是指指二二重重极极限限),(),(lim)1(00yxAyxfyyxx 时时，点点),(00yxAyxf),(沿某两条不同的曲线无沿某两条不同的曲线无若动点若动点),()2(yxP有有不不同同的的极极限限值值，),(yxfz ),(),(000yxPyxfz在在则则 不不存存在在极极限限任何方式趋于任何方式趋于时，时，限趋于限趋于),(000yxPch111多元函数PPT课件 , 0, 0, 0,2

10、),(5222222yxyxyxxyyxf讨讨论论函函数数例例解解无无限限趋趋沿沿直直线线当当)(),(RkkxyyxP ),(lim00yxfkxyx ),(lim0kxxfx 220)(2limkxxkxxx )1(2lim2220kxkxx 212kk 不同，不同，当当 k时时，即即沿沿不不同同直直线线趋趋于于)0,0(有不同的极限值有不同的极限值.)0 , 0(),(不不存存在在极极限限在在说说明明yxf在原点的极限在原点的极限时时，于于)0,0(ch111多元函数PPT课件3定定义义的的某某个个邻邻域域在在设设),(),(000yxPyxfz 如果如果，),(),(lim000yxf

11、yxfPP 处处连连续续在在点点则则称称二二元元函函数数),(),(000yxPyxf的的每每或或闭闭区区域域在在某某个个区区域域若若)(),(Dyxf上上的的是是则则称称Dyxf),(连续函数连续函数定定义义域域内内均均连连续续一一切切多多元元初初等等函函数数在在其其四四. . 二元函数的连续性二元函数的连续性内内有有定定义义)(0PU一点均连续，一点均连续，ch111多元函数PPT课件间间断断点点不不连连续续，在在若若),(),(00yxyxf称为间断点称为间断点则则),(00yx例例如如11),(22 yxyxf的的点点处处无无定定义义，在在122 yx上上任任一一点点即即单单位位圆圆周

12、周122 yx都都为为此此函函数数的的间间断断点点ch111多元函数PPT课件 , 0, 0, 0,2),(6222222yxyxyxxyyxf讨讨论论函函数数例例解解不存在极限，不存在极限，在在由例，由例，)0 , 0(),(yxf不不连连续续因因而而在在)0 , 0(处，处，在其它点在其它点)0 , 0(),( yx函数，函数，由于分子分母均为连续由于分子分母均为连续且分母不为零，且分母不为零，的点处均连续的点处均连续在在所以所以0),(22 yxyxf的连续性的连续性ch111多元函数PPT课件)( 1 最值定理最值定理定理定理上连续，上连续，在有界闭区域在有界闭区域若函数若函数Dyxf),(上上必必在在则则Dyxf),(取取到到最最大大值值和和最最小小值值，及及即即DyxPDyxP ),(),(222111，对任意对任意DyxP ),(有有),(),(),(2211yxfyxfyxf ch111多元函数PPT课件)(