ch246导数计算课件

1、ch246导数计算六、隐函数的导数及对数求导法六、隐函数的导数及对数求导法定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.如如05123327xxyy0yxexy1 1、隐函数的导数、隐函数的导数ch246导数计算例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确

2、定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解 xyyx,求导方程两边对0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 ch246导数计算例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线

3、方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.ch246导数计算例如：例如：.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求然后利用隐函数的求导方法求出导数导方法求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu2 2、对数求导法、对数求导法)1,0,0( babaaxxbbaybaxch246导数计算例例3 3)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxax

4、bbaxlnlnlnxbalnlnaxbch246导数计算例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设ch246导数计算例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 另解

5、：另解：xxeylnsin )sinln(coslnsinxxxxeyxx )sinln(cossinxxxxxx ch246导数计算）点点处处的的切切线线方方程程。，在在（求求曲曲线线例例2316 xyyx原原方方程程变变形形为为解：解：1lnln yxxyee方方程程两两边边求求导导数数：)ln(lnxyxyexy )(lnlnyyxyeyx 0 得：得：代入代入2, 3 yx3ln9122ln86 y所所求求切切线线方方程程为为：)3(3ln9122ln862 xych246导数计算七、由参数方程所确定的函数的求导法则七、由参数方程所确定的函数的求导法则.,)()(定定的的函函数数称称此

6、此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?tch246导数计算),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方

7、程在方程 tytx ch246导数计算例例7 设函数设函数 xyy 由参数方程由参数方程teytexttsincos所确定所确定 , 求求dxdy解：解：tetetetedxdyttttsincoscossinttttsincoscossinch246导数计算例例8 8解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即ch246导数计算例例9 9

8、 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: : 方程组两边对方程组两边对 t t 求导求导 , ,得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxddch246导数计算八、极坐标系下曲线的切线问题八、极坐标系下曲线的切线问题 , 极极坐坐标标系系下下的的曲曲线线参参数数方方程程：为为参参数数的的写写成成直直角角坐坐标标系系下下以以将将极极坐坐标标系系下下的的方方程程改改 sincosyx 可可求求出出切切线线的的斜斜率率的的求求导导法法

9、则则，函函数数利利用用参参数数方方程程所所确确定定的的xyy 斜斜率率，为为求求切切线线，先先求求切切线线的的点点处处的的切切线线，可可导导时时，就就可可以以求求在在当当 ch246导数计算 sincoscossin ddxddydxdy于是可以写出切线方程于是可以写出切线方程.例例10 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 0 aa 对应于点对应于点2处的切线方程和法线方程的直角坐标形式处的切线方程和法线方程的直角坐标形式.解解阿基米德螺线阿基米德螺线a在直角坐标系下以在直角坐标系下以为参数的参数方程为为参数的参数方程为 sincosayaxch246导数计算 sincoscossinaaaaddx

10、ddydxdy 2sincoscossin22 aaaadxdyk切切法线斜率为法线斜率为2 法法k的的导导数数为为：确确定定的的于于是是，由由此此参参数数方方程程所所)(xyy 处处的的切切线线斜斜率率为为曲曲线线上上对对应应于于点点2 ch246导数计算直角坐标系中对应于点直角坐标系中对应于点2 的坐标为的坐标为 2, 0 a所求切线的直角坐标方程为所求切线的直角坐标方程为xay 22 即即22 axy 所求法线的直角坐标方程为所求法线的直角坐标方程为xay22 即即22 axy ch246导数计算内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.

11、对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导转化转化ch246导数计算1. 设设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx思考题思考题ch246导数计算求其反函数的导数求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法

12、2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y1yxddxeyxddyxddxe112. 设设ch246导数计算, 求求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy3. 设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导, 得得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0tch246导数计算注注方方程程常常见见的的几几种种曲曲线线极极坐坐标标 cos)1(ar 圆圆-0.4 -0.20.2 0.40.20.40.60.81 sin)2(ar 圆圆0.20.40.60.81-0.4-0.20.20.40.511.52-1-0.50