D22函数的极限课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件( )000 xxxx 对于函数对于函数 当考察它的变化总趋当考察它的变化总趋势时势时, , 因自变量的连续变化过程有许多情况因自变量的连续变化过程有许多情况, , 如如: :1yx如图如图: :o oxylimlim( )nnnxf nA变化过程：特殊变化过程：特殊-一般一般( ),yf x000,xxxxxxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件 第二章第二章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第二节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(

2、自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时

3、时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势

4、势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件( )( );f xAf xA 表表示示任任意意小小xXx. 表示的过程. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :问题问题: : 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. .目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件XXAAOxy)(xfy A定义定义1 . 设函数xxf当)

5、(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或2、几何解释、几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数1 1、定义、定义目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件例例1. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyOxyxy1目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .

6、3、两种特殊情况、两种特殊情况(单侧极限单侧极限)Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件:lim( )xf xA 定定理理1 1lim( )lim( ).xxf xAf xA 且且Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(例如，都有水平渐近线;0y目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件0,0,xxee 证:要使不等式 0(1),ln0,XxX 不妨设取正数则当时, lnx 只要 即可.lim0.xxe 故由函数极限的定义知 0

7、xe 有 恒成立.2. lim0.xxe 例目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件0,arctan,2x 证*(4) 要使不等式arctan2只需-xtan(), ( tan)2xx - cot即 x0),cot0,XxX (不妨设 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O逆命题不成立逆命题不成立目录 上

8、页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件定理定理 6 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理5,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(x

9、f的情形)思考: 若定理6 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件子列收敛性子列收敛性( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) ) 00012(,)(),.() ,(),(),(),( ).设设在在过过程程可可以以是是或或中中有有数数列列使使得得时时则则称称数数列列即即为为函函数数当当时时的的子子列列nnnnxa axxxxanxaf xf xf xf xf xxa 定义定义3定理定理7. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义有

10、定义,),(0nxxnAxfnn)(lim有有)(nxf目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件定理定理7.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,Nn 时, 有,00 xxn于是当Nn 时.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明. (略).)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N“ ”“ ”0 xO目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件定理定理7.Axfxx)(lim0

11、:nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明: 1、此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件例例8. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理6 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nnx

12、y1sin 目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件例如例如, ,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn2、此定理也可用于求数列极限.目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件内容小结内容小结1 1、函数极限的、函数极限的或或X定义及应用定义及应用2 2、函数极限的性质、函数极限的性质: :3 3、极限的重要性、极限的重要性（1 1） 极限是一种思想方法，揭示了极限是一种思想方法，揭示了常量与变量，常量与变量，有限与无限有限与无限的对立统一关系的对立统一关系 从认识有限到把握

13、无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 从认识静态从认识静态( (不变的常量）来把握动态（变量）不变的常量）来把握动态（变量）目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件（2 2）极限是一种概念）极限是一种概念（3 3） 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量、经济问题需要用极限来求物理、几何量、经济问题需要用极限来求目录 上页 下页 返回 结束 D22函数的极限PPT课件思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3是否一定有1, 121,2xxxxa？目录 上页 下页 返