D128一般周期的课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期为 2l 的函数 f (x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有

2、限个第一类间断点2) 在一个周期内只有有限个极值点naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶级数展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)其中定理定理.目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件证明证明: 令lxz, 则,llx,z令)(zF, )(z lf则)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:10sincos2)(nnnznb

3、znaazF( 在 F(z) 的连续点处 )(xf变成是以2 为周期的周期函数, 目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlxnxflldcos)(证毕 目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x)

4、 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数都收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件)(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE

5、,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t0 t2E的周期是22目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件000d2sintt21Ea tE2cos212时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1()

6、1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在)(EtftEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. )(tftO22目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件Oyx2例例2. 把展开成)20()(xxxf(1

7、) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件O 2yx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xancosd2n xx22022sincos22nxnxxnn224( 1)1nn xxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21) k),2

8、, 1(k则有22181(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 kn目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件O 2yx说明说明: 此式对0 x也成立,2211(21)8kk由此还可导出121nn2812141nn22116nn12)2(1kk22181(21)( )1cos(21)2kkxf xxk )20( x12) 12(1kk据此有目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数

9、)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其展开方法为:xab2ba目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 xab目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件例例3. 将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由

10、于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnsind5n zznn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定110( 1)( )sin5nnn zF zn)55(z110( 1)10sin5nnn xxn)155( x)(zFz55O目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则01( )cossin2nnnan xn xf xabll1cos2n xliieen xn xllisin2n xliieen xn xll1022)(nnaaxfii

11、een xn xll2inbiieen xn xll102i2nnnbaa2innba ien xlien xl0cncnc目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件llxfl)(21llxxfld)(21200ac 11( )cosd2lln xf xxll2innnbaci( )sindlln xf xxll1( )cosi sind2lln xn xf xxlllllxfl)(21),2, 1(dnxien xl注意到2innnbacxd同理),2, 1(nien xl目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件傅里叶级数的复数形式:xxflcTxnllnd

12、e)(212iTxnnncxf2ie)(),2, 1,0(n因此得目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件式的傅里里叶级数 . 例例4. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形解解: 在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22,th2222,0TTtt22Tyx22ThO目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件ttuTTtnTTde)(12i2 2nc2 22ide1thTTtnTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnnTnn2iesin10n)

13、, 1,0,2(kTkt i2nTThi21nhTtn2ie22TnTniiee目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件为正弦 级数. 内容小结内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3. 傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子 nk作业作业: P319 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; *3 从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 D128一般周期的PPT课件备用题备用题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn(1991 考研) 解解:y1Ox12)(xf为偶函数,0nb10