D911二重积分概念课件

1、D911二重积分概念第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 D911二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 D911二重积分概念柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、引例一、引例D911二重积分概念步骤如下：步骤

2、如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积D911二重积分概念求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyoD911二重积分概念二、二重积分的定义

3、及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(D

4、yxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5、D911二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD

6、的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它

7、与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例2. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念xyo D8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1

8、(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),

9、()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例3. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,

10、其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标

11、计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 D911二重积分概念如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy D911二重积分概念为曲顶柱体的体积为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算应用计算“平行截面平行截面面积为已知的立体求面积为已知的立体求体积体积”的方法的方法, ,a0 xbzyx)(0

12、 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得D911二重积分概念.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DD911二重积分概念 X X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. . Y Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两

13、个交点线与区域边界相交不多于两个交点. .若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割. .D911二重积分概念oxy说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321

14、DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念xy211xy o221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将D看作X型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y

15、积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回

16、结束 D911二重积分概念例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然

17、,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)

18、(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念3. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念4. 证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 D911二重积分概念 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业D911二重积分概念5 . 0