D13连续性间断点课件

1、D13连续性间断点 二、函数的间断点二、函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第三节 函数的连续性 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质D13连续性间断点1:增量增量:自变量的增量自变量的增量,0 xxx 函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx2:一点连续的定义一点连续的定义:0 x)(xf0lim0yx一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义若若在在则称函数在该点连续。则称函数在该点连续。的某一邻域内有定义，

2、的某一邻域内有定义，设设D13连续性间断点注注 1、函数、函数)(xf在点在点0 x (1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: :存在存在 ;有定义有定义 , ,存在存在 ; ; 2、由函数在一点有极限的充要条件有、由函数在一点有极限的充要条件有: 一点连续的充要条件一点连续的充要条件:)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxxD13连续性间断点在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数

3、函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;D13连续性间断点间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(lim0 xfxx及及)(lim0 xfxx 均存在均存在 , )(lim)(lim00 xfxf

4、xxxx若若 0 x, )(lim)(lim00 xfxfxxxx若若0 x第二类间断点第二类间断点:)(lim0 xfxx 及及)(lim0 xfxx 中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,则则 为可去间断点为可去间断点 .则则 为跳跃间断点为跳跃间断点 .为无穷间断点为无穷间断点 . .为振荡间断点为振荡间断点 .D13连续性间断点xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 . .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点 .11)3(2xxyxoy

5、1例如例如: :xytan2xyoxyxy1sin0D13连续性间断点1) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .D13连续性间断点、连续函数的运算法则、连续函数的运算法则 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性、初等函数的连续性、初等函数的连续性 D13连续性间断点定理定理3： 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数、连续函数的运算法则、连续函数的运算法则定理

6、定理2：在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 差差 、积、积 、商商(分母不为分母不为 0) 运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .(递减递减).).递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调定理定理4： 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.定理定理1：基本初等函数在其定义区间上连续。基本初等函数在其定义区间上连续。D13连续性间断点例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat则则, )1

7、(logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当当, ea时时, 有有0 x)1ln(x1xexxD13连续性间断点、初等函数的连续性、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续D13连续性间断点四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质1、最值定理最值定理 2、零点定理（根的存在定理）零点定理（根的存在定理） D13连续性间断点推论推论:2、零点定理、零点定理定理定理2( 零点定理

8、零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点至少有一点, ),( ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 1、最值定理、最值定理定理定理1:在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大值和最小值值和最小值.D13连续性间断点例例1. 证明方程证明方程01423 xx一个根一个根 . .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 , 0 (使使, 0)(f即即0142

9、3在区间在区间) 1 , 0(内至少有内至少有D13连续性间断点内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式D13连续性间断点基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区

10、间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定初等函数在定义区间内连续义区间内连续 说明说明: : 分段函数在界点处是否连续需讨论分段函数在界点处是否连续需讨论 其左、右连续性其左、右连续性. .、初等函数的连续性、初等函数的连续性D13连续性间断点思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设时时为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,D13连续性间断点,4,0)(上连