DA85隐函数求导课件

1、DA85隐函数求导PPT课件 第八章第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 DA85隐函数求导PPT课件本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程02Cyx当当 C 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时, 研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .机动 目录 上页 下页 返回

2、结束 DA85隐函数求导PPT课件一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下：定理定理1.1. 设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00yxFy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则方程则方程00),(xyxF在点单值连续函数单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)的的某邻域内某邻域内可

3、唯一确定一个可唯一确定一个满足条件满足条件导数导数DA85隐函数求导PPT课件0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxy

4、dd则还有则还有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件例例1. 验证方程验证方程01sinyxeyx在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则xyFy cos在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求并求DA85隐函

5、数求导PPT课件0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyxDA85隐函数求导PPT课件0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对两边对 x 求导求导1两边再对两边再对 x 求导求导yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此时注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利

6、用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件定理定理2 . 若函数若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程则方程0),(zyxF在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确机动

7、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在机动 目录 上页 下页 返回 结束 DA85隐函数求导PPT课件例例2. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

8、 结束结束 再对再对 x 求导求导DA85隐函数求导PPT课件解法解法2 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件zxFFxz xz例例3. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyy

9、zxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则则)()(2221zyzxFF 已知方程已知方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故故DA85隐函数求导PPT课件对方程两边求微分对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT

10、课件二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即即雅可比雅可比 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有

11、连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足: :0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；导数；, ),(000yxuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(000yxvv DA85隐函数求导PPT课件),(),(1vxGFJxu),()

12、,(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略定理证明略.仅推导偏导仅推导偏导数公式如下：数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxGFyyGFxxGFyyGFDA85隐函数求导PPT课件0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组设方

13、程组,0vuvuGGFFJ在点在点P 的某邻域内的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故得故得系数行列式系数行列式DA85隐函数求导PPT课件同样可得同样可得),(),(1vyGFJyu机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvDA85隐函数求导PPT课件例例4. 设设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求vxvxxuyxvyu

14、22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案:由题设由题设故有故有DA85隐函数求导PPT课件例例5.5.设函数设函数在点在点(u,v) 的某一的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG

15、对对 x , y 的偏导数的偏导数.在与点在与点 (u, v) 对应的点对应的点邻域内有连续的偏导数邻域内有连续的偏导数, ,且且 唯一确定一组单值、连续且具有唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数连续偏导数的反函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对式两边对 x 求导求导, 得得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由由定理定理 3 可知结论可知结论 1)

16、成立成立.2) 求反函数的偏导数求反函数的偏导数. DA85隐函数求导PPT课件, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组从方程组解得解得同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得,1vxJyuuxJyv1DA85隐函数求导PPT课件, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从方程组从方程组解得解得同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得,1vxJyuuxJyv1DA85隐函数求导PPT课件xuxv例例

17、5的应用的应用: 计算极坐标变换计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有同样有22yxyyr22yxxy所以所以由于由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DA85隐函数求导PPT课件内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变

18、性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式思考与练习思考与练习设设, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 DA85隐函数求导PPT课件zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 DA85隐函数求导PPT课件),(zyxzyxfz解法解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. .,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得DA85隐函数求导PPT课件)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数),(z