D74一阶线性课件

1、D74一阶线性一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 第七章 D74一阶线性一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,

2、)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)

3、1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程

4、的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性例例3. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D7

5、4一阶线性内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性思考与练习思考与练习(1)判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2

6、xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性思考与练习思考与练习(2)变量代换的应用变量代换的应用21(4)sin (1) ;(5).yxyyxy.dd的通解求方程yxexy(3) 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx)sin()sin()2(yxyxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 21cos(6);(7).sin ()cossin2sinyyyyxxyxyyxy22(8)22;xyyxyxeD74一阶线性P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ;

7、6 ; 7 (3) , (5) 作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性备用题备用题1. 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性2. 设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: 1) 先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性2) 再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为) 1(2xeCyx利用衔接条件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原问题的解为y10),1 (2xex1,) 1(2xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74一阶线性( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年