chapt32边缘分布课件

1、一、边缘分布函数一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布二、二维离散型随机变量的边缘分布三、二维连续型随机变量的边缘分布三、二维连续型随机变量的边缘分布第二节第二节 边缘分布边缘分布 设设随机变量随机变量, ,则随机变量则随机变量X和和Y的分布函数分别称为的分布函数分别称为X和和Y的的边缘分布函数，记为边缘分布函数，记为 FX(x) ，FY(y).设设的分布函数为的分布函数为, ),(yxF则则)(xXPxFX , YxXP),(limyxFy )(yYPyFY ,yYXP ),(limyxFx 例例l.已知二维随机变量已知二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为的联合分布函数为)3ar

2、ctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF 分别求分别求（X，Y）X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数解解：),(lim)(yxFxFyX )2arctan2(1x ),(lim)(yxFyFxY )3arctan2(1y 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为ijjipyYxXP , 2 , 1, jiixXP 1jijp. ip ), 2 , 1(ijyYP 1iijp), 2 , 1(jY的边缘分布律的边缘分布律分别为分别为jp. ixXP 1jijp. ip , 2 , 1 i,1jijyYxXP ),(1jijyYxXP 简证：简证：同理同理jyYP 1

3、iijpjp. , 2 , 1 jpijpi2pi1xip2jp22p21x2p1jp12p11x1yjy2y1pi.p1.p2.pi.p.jp.1p.j1 p.2YXX的边缘分布律为的边缘分布律为Y的边缘分布律为的边缘分布律为 pi.p2.p1.pi. xi x2x1X p.jp.2.p.1p.j yjy2 y1Y例例2 2将一枚硬币连掷三次，以将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正表示在三次中出现正面的次数，以面的次数，以Y表示在三次中出现正面的次数与出现表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求二维随机变量反面的次数之差的绝对值，试求二维随机变量(X,Y)的的联合分

4、布律及其关于联合分布律及其关于X和关于和关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。解解：Y| )3(|XX |32| X(X,Y)的可能取值为：的可能取值为：(0,3), 且且, )21, 3( BX即即33)21(kCkXP 3 , 2 , 1 , 0 k(1,1)， (2,1), (3,3)于是得于是得：3, 0 YXP303)21(C 81 1, 1 YXP313)21(C 83 1, 2 YXP323)21(C 83 3, 3 YXP333)21(C 81 1/80303/8203/811/80031pi.p.j3/41/41/83/83/81/81(X,Y)的联合分布律：的联合分布律：关于关

5、于X的边缘分布律：的边缘分布律：关于关于Y的边缘分布律：的边缘分布律：XY1/83/83/81/8pi.3210X1/43/4p.j31Y例例 在箱子里装有在箱子里装有1212只开关，其中只开关，其中2 2只是次品，在其中随只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只机地取两次，每次取一只, ,考虑两种随机试验考虑两种随机试验( (A) )放回放回抽样，抽样，( (B) )不放回抽样，设随机变量不放回抽样，设随机变量X、Y如下：如下：,X 第第一一次次取取得得次次品品第第一一次次取取得得正正品品01 第第二二次次取取得得次次品品第第二二次次取取得得正正品品01Y求求: : X和和Y的边缘分布律的边

6、缘分布律(X,Y)的可能取值为：的可能取值为：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)(A)放回抽样放回抽样0, 0 YXP122122 361 1, 0 YXP1210122 365 0, 1 YXP1221210 365 1, 1 YXP12101210 3625 X Y0101/365/3615/3625/36(X,Y)的联合分布律：的联合分布律：1/6pi.5/6p.j1/65/6 X01pi.1/65/6Y01p.j1/65/6关于关于X的边缘分布律：的边缘分布律：关于关于Y的边缘分布律：的边缘分布律：1(B)(B)不不放回抽样放回抽样由上节例由上节例3 3知知(X,Y)

7、的联合分布律为：的联合分布律为：X Y0101/665/3315/3315/22pi.1/65/6p.j1/65/6 X01pi.1/65/6 Y01p.j1/65/61关于关于X的边缘分布律：的边缘分布律：关于关于Y的边缘分布律：的边缘分布律： 此例中，（此例中，（A）和（）和（B）两）两种情况下，种情况下，X和和Y的联合分布的联合分布律虽不同，其边缘分布律却相律虽不同，其边缘分布律却相同，可见，一般情况下，边缘同，可见，一般情况下，边缘分布律不能确定联合分布律分布律不能确定联合分布律. .例例 已知关于已知关于X和关于和关于Y的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为： X101pi.1/41

8、/21/4 Y01p.j1/21/2且且10 XYP，求，求的分布律的分布律解：解： 0XYP)0()0( YXP0 XP0 YP0, 0 YXP0, 021211 YXP从而得从而得00, 0 YXP000XY-1010 1p.jpi.的的分布律为：分布律为：X Y0111/40001/211/40设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),三、二维连续型随机变量的边缘分布三、二维连续型随机变量的边缘分布 P73P73)(yfY dxyxf),()(xfX dyyxf),(则则(X,Y)Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为)(xFX),( x

9、Fdudyyufx),( )(xfX dyyxf),()x(FX 故故简证简证:例例3.3.设设(X, Y)的概率密度为的概率密度为 其它其它031,10),(yxkxyyxf求求 (1)(1)常数常数k (2) (2) (X,Y)X和和的边缘概率密度的边缘概率密度 dxdyyxf),(1解解： 1031kxydydx 104kxdx21 kk2 于是于是xyo131)(xfX dyyxf),(时时10 xorx时时10 x)(xfX0 )(xfX 3121xydyx2 其它其它0102xx)x(fX311yxo所以所以 dy0 xxx)(yfY dxyxf),(其它0312110yxydxy

10、xo311yyy其它0314yy熟悉之后直接写：熟悉之后直接写：例例4.4. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为的概率密度为6(1-)01( , )0yxyf x y 其其它它试求试求(X,Y)X和和的边缘概率密度的边缘概率密度oxy11xy 学生练习学生练习xyo11xy x2363010 xxx 其其它它16(1)010 xy dyx 其其它它解解：)(xfX dyyxf),(xx(X,Y)X和和的边缘概率密度的边缘概率密度oxy11xy ( )( , ) Yfyf x y dx266010yyy 其其它它yyy(X,Y)的边缘概率密度的边缘概率密度06(1)010yy dxy 其其它它例例5 5（P73P73例例3 3），），有以下结论：有以下结论：若二维随机变量若二维随机变量(X,Y) 服从二维正态分布，即服从二维正态分布，即),(),(222121 NYX