G21导数的概念课件

1、G21导数的概念PPT课件1第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 导数导数描述函数变化快慢描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 NewtonG21导数的概念PPT课件2一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 G21导数的概念PPT课件31. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tss

2、 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tsts0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tsts0tt 221tgs sot自由落体运动 0ts ts一、一、 引例引例G21导数的概念PPT课件4设有一非均匀的细杆，x与质量之间的关系是)(xm 。求细杆0 x处杆的密度。解：解：设杆长x在0 x处获一增量x，那么这一小段长为x，杆的质量应是)()(00 xxxm其均匀密度是 xxxxxmxxx)()(limlim)(00000 xxxxxm)()(00则当0 x时，其极限值就是杆在0 x处的密度)(0 x即2、非均匀细杆的密度、非均匀细杆的密度 上任意一点杆长杆的一端

3、在数轴的原点0，00)()(lim0 xxxxxxmG21导数的概念PPT课件5 xyo)(xfy C3. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx G21导数的概念PPT课件62.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件72.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件82.2.切

4、线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件92.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件102.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件112.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件122.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件132.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件142.2.切线问题切线问题

5、割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件152.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置G21导数的概念PPT课件16三个问题的共性共性: lim0ttv)()(0tsts0tt 切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题线密度瞬时速度 0limxx)()(0 xx0 xxG21导数的概念PPT课件17二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(

6、xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. G21导数的概念PPT课件18曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0 xf 说明说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和非均匀杆的密度)()()(lim0000 xx

7、xxxxx运动质点的位置函数)(tss 在 时刻的瞬时速度0t)(0ts lim0ttv)()(0tsts0tt 边际税率等从数学角度看就是导数.G21导数的概念PPT课件190limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .（简称导数） y0limxxyx0limxxfxxf)()(xxfxxfx)()(lim0

8、00G21导数的概念PPT课件20)(. 10 xf 0)(xxxfxxfd)(d02、 导数为常数，导函数为函数。4、 求导数即为求导函数在某一点处的函数值。注意注意: xfxffx0lim00特别函数在 x0 处的导数可写成3,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limhG21导数的概念PPT课件21主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第十讲G21导数的概念PPT课件22求导三步法： xfy 设1、 求函数的增量 xfxxfy2、 算比值xy xxfxxf3、 求极限0lim xxy xxfxxfx0lim三、求导举例三、求导举例G21导数的概念PPT课件23 处的导数。在23x

9、xxf33xxxy解法一：解法一：32233xxxxxxy2233xxxx xf0limxxy0limx3322xxxx23x 2f 2xxf223xx12例例1 求解法二：解法二：3322xy32612xxx 2f0limxxy2x12G21导数的概念PPT课件24例例2. 求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例3. 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limxG21导数的概念PPT课件25说明：说明

10、：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）4343xxG21导数的概念PPT课件26hxhxhsin)sin(lim0例例4. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(coshG21导数的概念PPT课件27xexf)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limh0limhheexhx0l

11、imhheehx1xe例例6 求函数xaxf)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limh0limhhaaxhx0limhxahah1aaxln例例5 求函数0limhheh1xeG21导数的概念PPT课件28例例7. 求函数xxfln)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(lnx1xhhh1lim00)1(lnhxhxhG21导数的概念PPT课件29则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:)(0 xf 存在, 求极限.2)

12、()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf 例例9. 设hhxf )(0)(0 xf0lim21hhhxf )(0)(0 xf)(0hxf不能确定是否存在。G21导数的概念PPT课件30四、四、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(0

13、0yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xfG21导数的概念PPT课件31.,)2 ,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义, 得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx. 4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy. 044 yx即. 01582 yx即例例1010G21导数的概念PPT课件321111例例11. 问曲线3xy 哪一点有垂直切

14、线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线G21导数的概念PPT课件33例例8. 证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:(0)f 0limxxx0 x ,10 x ,1)0(f 不存在 , .0不可导在即xxxyoxy 0( )(0)limxf xfx0)0(fG21导数的概念PPT课件34处可导在点xxf)(五

15、、五、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即G21导数的概念PPT课件350001sin)(xxxxxf处的连续性和可导性。在0 x解：解：)0(f)(lim0 xfx处连续。在0)(xxf而xfxfx)0()(lim0不存在处不可导。在0)(xxf例例1

16、2 讨论01sinlim0 xxxxxxx1sinlim0 xx1sinlim0G21导数的概念PPT课件36在点0 x的某个左左 邻域内六、六、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的左左 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(右)(右右)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0( f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,G21导数的概念PPT课件37定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与x

17、fxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处左左 导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf(右右)(xf在点0 x必 左左 连续.(右右)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 ,则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且G21导数的概念PPT课件38例例13. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(fxxx0sinlim01)0(fxxax0lim0a故1a时,1)0

18、( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .xfxsinlim)0(0axfx0lim)0(00)0(fG21导数的概念PPT课件39 00011xxexxfx求 0 .f 解解：xe1中当0 x01xe 0 xxe1所以，尽管在 x = 0 的左右两侧 f (x)的表达式一样， 0 f仍需要用充要条件去判别。xexxx01lim10 xxe1011lim1 0 fxexxx01lim10 xxe1011lim0 0f 不存在例例14 已知0)0(fG21导数的概念PPT课件40例例1515 解解: 因为 设)(xf 存在, 且, 12

19、)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx) 1 ()1 (lim21001(1 ()(1)lim2xfxfx 1) 1 (21fG21导数的概念PPT课件41)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在，证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.例例16. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故G21导数的概念PPT课件42内容小结内容小结1. 导数的实质:3

20、. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 : )(C )(x )(sin x )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率; )(xe )(xaxeaaxlnG21导数的概念PPT课件43不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.6. 判断可导性G21导数的概念PPT课件44思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数G21导数的概念PPT课件452. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则.