2019南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题

1、2019 南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！说明： 1 、评阅试卷时，请依据本评分标准、填空题只设 7 分和 0 分两档。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次、2 、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分、一 . 填空题 此题总分值 70 分，每题 7 分1. 假设复数1i i 为虚数单位为纯虚数，那么实数m 的值为zm 1i1i2.3,那么 sin 2x 的值为sin(x)45解x) 1 2sin 2 (7sin 2 xcos(2

2、2x)cos 2(x)44253. 假设axx1，是 R 上的单调递增函数，那么实数a 的取值范围为fx4a x2 x 12解 因为 fx 是 R上的增函数，所以解得 4a 8.a1，a4 0,2a4 2 a.2是假设 mn,m,那么 n ；假设 n,m,相交不垂直，那么n 与 m不垂直；假设,m, n,mn ，那么 n； m 是平面的斜线， n是 m在平面内的射影，假设 ln ，那么 lm、5.方程9x13x5的实数解为、提示与答案： x 0 无解 ; 当 x0 时，原方程变形为2xxx33+3 6=0，解得 3 =2， x=log 2、6.在ABC中、 sin 2sin2 Bsin 2 C

3、sin B sin C . 那么 A 的取值范围是解析：由题意正弦定理a2b2c2bcb2c2a 2bc .b2c2a21cos A10Abc237. 设 F1, F2是双曲线 x2y21(a0， b0)的两个焦点， P 在双曲线上，假设a2b2 c 为半焦距，那么双曲线的离心率为PF1 PF20, | PF1|PF2 |1 52ac28. 数列 an 中， a11，且nn 2 (n2, n N * ) 、ann1an 12n 3那么数列 an 的通项公式为解：由题nan2n 3n 2知， anan 12 3n 2，an1nn1n1由累加法，当 n2 时，ana12232322 3n 2n1代

4、入，得 n2 时，n1a11an12(13)3n 1n13又 a11 ，故 ann 3n 1 (n N * )9. 将一个 4 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色 , 使得每行、每列都恰有两个黑色方格，那么有不同的染法 . 用数字作答解：第一行染 2 个黑格有 C 42 种染法 . 第一行染好后，有如下三种情况： 1第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法； 2第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C2 种染法，第四行的4染法随之确定； 3第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4 种，而在第【一】第二这两行染好后， 第三行染的黑格必然有1 个与上

5、面的黑格均不同列，这时第三行的染法有 2 种，第四行的染法随之确定 .因此，共有染法为6 1 64 290 种. 填 90.10. 已知数列 an满足： a11， a2x( x N* )， an 2an 1 an ，若前 2011项中恰好有 666项为 0，则 x的取值是 _因为 a11， a2x( xN * )， an 2 an 1an ，其规律为一旦出现1,1,0时，后面必为 1,1,0,1,1,0， ；因此每三个数中必有一个为0，则要含有 666个零，必出现36661998个，其余有如：；，1,8,7 1,6,5 1,4,3 1,2,1,1,0这样前面有 11个，后面可放 1,1，共有

6、2011 个，符合还有如：1,9,8；1,7,6 ；1,5, 4；1,3,2,1,1,0，后面 还可放 1；共有 2011个，也符合因此 x的取值是 8或 9.二. 解答题此题总分值80 分，每题20 分11.已知函数fx2sin 2 (4x)3cos2x， x， 4 2,若不等式 fxm 2在x， 时恒成立，试求实数 m的取值范围 .42【解析】 因为 f x1- cos(2 x)-3 cos2x21sin 2x -3 cos 2x12sin(2 x -) .5分3又因为 x4， ，所以2x -2，2633即212sin(2 x -)3.3所以fxmax3， fxmin2.10分因为 f (

7、 x) - m 2fx - 2 m f x2，x ， ，42所以 m fx- 2且 m fxmin2， .15分max所以1 m4，即 m的取值范围是1,4 .20分212. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率 e 2 ，一条准线的方程为x2 2.(1)求该椭圆的标准方程、(2) OM与 ON的斜率之积设动点 P 满足： OP OM2ON，其中 M， N是椭圆上的点，直线1F1， F2，使得 | PF1| | PF2| 为定值？假设存在，求F1，F2 的坐为 2，问：是否存在两个定点标；假设不存在，说明理由、c 2 a2解析 (1) 由 ea 2 ， c 22，解得 a 2， c2， b2 a2

8、 c2 2，x2y2故椭圆的标准方程为4215分(2) 设 P( x， y) ， M( x1， y1) ， N( x2， y2) ，那么由 OP OM 2ON得 ( x， y) ( x1， y1) 2( x2， y2) ( x1 2x2， y1 2y2 ) ，即 xx1 2x2， y y1 2y2.因为点，N在椭圆x2 224 上，My2222所以 x12y14， x2 2y2 4，故x222x2x2 41 2) 2(y22 (1 421 424 1 2)yx xyy y( x2222 4( x1x2 2y1y2)1 2y1) 4( x22y2) 204( x1x2 2y1y2) 、 10 分

9、设 kOM， kON分别为直线 OM， ON的斜率，由题设条件知k· ky1y21 x1x2 2，因此 x1x2 2y1y2 0，OMON所以 x22y2 20.15 分所以 P点是椭圆x2y2 1 上的点、252102设该椭圆的左、右焦点为F1、 F2，那么由椭圆的定义 |PF1 | | PF2| 为定值，又因为 c25210210，因此两焦点的坐标为 F1( 10， 0) ， F2(10， 0) 、 20 分13. 设数列 an 满足 : a11 ,1(14an1*.an11624an )(n N)1求 a2, a3；2令 bn124an，求数列 bn 的通项公式；3 f ( n

10、)6an 13an ，求证：f (1)f (2)f (n)1 、2解 1 a21(141124 1)5 , a31(1451245)155分1681688322由124an得b21, 代入1*bnannan 1(1 4an124an )(nN )2416得 bn11bn1故 4b2=( b2=b +3, 所以 2b-3 =b -3,+3) , 所以 2b22n+1nn+1nn+1n24(1424bn ),16故 数 列 bn-3是首项为2，公比为1的 等 比 数 列 , bn-3=2 × (1) n-1 , 即bn=3+2 ×( 1 ) n-210 分222(3) 由 2得

11、 an=3+2 × ()n-22=11-12 (1 )n( 1 ) n1242243423所以 f ( n)=112231114n2n4n2n4n因为115 分11(14n14n114n(14n 1f (n) (1 1 )(111111111111f (1) f (2)(1)4 .42.4n4n4424n1 1 11111 1244n120 分法二：同理由f (n)11(11)(11)4n2n2n11) 1111(1n )(12n2n22 n 121111111f (1)f (2)f (n)(12)(12)(14)(14)(12n 1 )(12n )(12n )1)1 11 (111(12n )22法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：f (1) f (2) f (n) (111) (11) 1 (11)(1424n442414. 如图，圆内接五边形ABCDE 中 , AD 是外接圆的直径 , BE平行于 CE 的直线 , 与直线 AC 、 DC 分别交于点F 、 G 、证明 : 四边形 BFCG 是矩形、证明： 由 HG CE，得 BHF= BEC，又同弧的圆周角 BAF= BEC， BAF= BHF， 5