初二三角形四边形动点问题知识点及题答案

1、学习必备欢迎下载三角形四边形动点问题适用学科中学适用年级初二 适用区域人教版课时时长（分钟） 60 分钟学问点几何综合动点教学目标1、能把握几何动点类问题的思想方法：数学思想：分类思想数形结合思想 转化思想2、培育同学的几何动点问题中动中求静的摸索才能教学重点培育同学的分析问题、解决问题的才能，内容包括空间观念、应用意识、推理才能问题 .教学难点培育同学主动探究学问，合作沟通的意识，体验数学中的美， 激发学习爱好，从而培育同学勤于动脑和动手的良好品质.教学过程一、复习预习1. 复习所学过的几何图形及其性质2. 列出全部几何图形的面积边长公式.二、学问讲解专题一： 一函数揭示了运动变化过程中量与

2、量之间的变化规律,是中学数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么 ,我们怎样建立这种函 数解析式呢 .下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式；学习必备欢迎下载二、应用比例式建立函数解析式；三、应用求图形面积的方法建立函数关系式；专题二：动态几何型压轴题动态几何特点 - 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中， 特殊要关注图形的特性（特殊角、 特殊图形的性质、 图形的特殊位置； ）动点问题始终是中考热点，近几年

3、考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、相 似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍，解题方法、关键给以点拨；一、 以动态几何为主线的压轴题；（一）点动问题；（二）线动问题；（三）面动问题；二、解决动态几何问题的常见方法有:1 、特殊探路，一般推证；2、动手实践，操作确认；3 、建立联系，运算说明；三、专题二总结，本大类习题的共性：1 代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类争论、方程、函数2 以形为载体，争论数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；争论特殊情形下的函数值；

4、专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为 主线，集多个学问点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，才能要求高，它能 全面的考查同学的实践操作才能，空间想象才能以及分析问题和解决问题的才能. 其中以灵学习必备欢迎下载活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试 题的热点， 现采撷几例加以分类浅析，供读者观赏 .1 以双动点为载体，探求函数图象问题；2 以双动点为载体，探求结论开放性问题；3 以双动点为载体，探求存在性问题；4 以双动点为载体，探求函数最值问题；双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同

5、学们猎取信息和处理信息的才能要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观看和争论问题,挖掘运动、变化的全过程,并特殊关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静 ,静中求动；专题四：函数中因动点产生的相像三角形问题专题五：以圆为载体的动点问题动点问题是中学数学的一个难点，中考常常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要奇妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法奇妙，耐人寻味；三、例题精析【例题 1 】如图，在直角梯形abcd 中， ad bc，b=90 °，ad=24cm，ab=8cm，bc=26cm，动点 p 从 a 开头沿 ad

6、 边向 d 以 1cm/s的速度运动； 动点 q 从点 c 开头沿 cb 边向 b学习必备欢迎下载以 3cm/s的速度运动 p、q 分别从点a 、c 同时动身，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts （1 ）当 t 为何值时，四边形pqcd 为平行四边形？（2 ）当 t 为何值时，四边形pqcd 为等腰梯形？（3 ）当 t 为何值时，四边形pqcd 为直角梯形？解析 ：（1 ）四边形pqcd为平行四边形时pd=cq （2 ）四边形pqcd为等腰梯形时qc-pd=2ce（3 ）四边形pqcd为直角梯形时qc-pd=ec全部的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三

7、个方程即可解答：解：（ 1 ）四边形 pqcd 平行为四边形pd=cq24-t=3t 解得： t=6学习必备欢迎下载即当 t=6时，四边形 pqcd 平行为四边形（2 ）过 d 作 de bc 于 e就四边形 abed 为矩形be=ad=24cmec=bc-be=2cm四边形 pqcd 为等腰梯形qc-pd=2ce即 3t- （ 24-t ） =4解得： t=7 （s）即当 t=7 （ s）时，四边形pqcd 为等腰梯形（3 ）由题意知： qc-pd=ec时，四边形 pqcd 为直角梯形即3t- （ 24-t ） =2解得： t=6.5 （s）即当 t=6.5 （ s）时，四边形pqcd 为直

8、角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中学习必备欢迎下载【例题 2 】如图，在矩形abcd中， bc=20cm，p，q ，m ，n 分别从 a ，b，c，d 动身沿 ad ， bc， cb，da 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止 已知在相同时间内，如 bq=xcm （ x 0 ），就 ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm（1 ）当 x 为何值时，以pq ， mn为两边，以矩形的边（ad 或 bc）的一部分为第三边构成一个三角形；（2 ）当 x 为何值时，以p， q ，m ，n 为顶点的四边形是平行四边形

9、；（3 ）以 p， q， m ， n 为顶点的四边形能否为等腰梯形？假如能，求x 的值；假如不能，请说明理由解析 ：以 pq ，mn为两边，以矩形的边（ad 或 bc）的一部分为第三边构成一个三角形的必需条件是点 p、n 重合且点q 、m 不重合，此时ap+nd=ad即 2x+x2=20cm，bq+mcbc即 x+3x 20cm ；或者点 q 、m 重合且点 p、n 不重合， 此时 ap+ndad 即 2x+x2 20cm ，bq+mc=bc即 x+3x=20cm所以可以依据这两种情形来求解x 的值以 p， q， m ，n 为顶点的四边形是平行四边形的话，由于由第一问可知点q 只能在点m 的左

10、侧 当点 p 在点 n 的左侧时， ap=mc，bq=nd；当点 p 在点 n 的右侧时， an=mc， bq=pd 所以可以依据这些条件列出方程关系式学习必备欢迎下载假如以 p，q ，m ，n 为顶点的四边形为等腰梯形，就必需使得ap+ndad 即 2x+x2 20cm ， bq+mcbc 即 x+3x 20cm ，ap=nd即 2x=x2 ，bq=mc即 x=3x ，x 0 这些条件不能 同时满意，所以不能成为等腰梯形解答：解：（1 ）当点 p 与点 n 重合或点q 与点 m 重合时， 以 pq ，mn为两边， 以矩形的边 （ ad或 bc）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 p 与点

11、 n 重合时，由x2+2x=20，得 x1=-1 ， x2=-1 （舍去）由于 bq+cm=x+3x=4（-1 ） 20 ，此时点 q 与点 m 不重合所以 x=-1 符合题意当点 q 与点 m 重合时，由x+3x=20，得 x=5 此时 dn=x2=25 20 ，不符合题意故点 q 与点 m 不能重合 所以所求 x 的值为-1 （2 ）由（ 1）知，点q 只能在点m 的左侧，当点 p 在点 n 的左侧时，由 20- （x+3x ） =20- （ 2x+x2 ），解得 x1=0 （舍去）， x2=2 当 x=2时四边形pqmn是平行四边形当点 p 在点 n 的右侧时，由 20- （x+3x ）

12、 = （ 2x+x2 ）-20 ， 解得 x1=-10（舍去）， x2=4 当 x=4时四边形nqmp是平行四边形学习必备欢迎下载所以当 x=2或 x=4时，以 p， q ，m ，n 为顶点的四边形是平行四边形（3 ）过点 q ，m 分别作 ad 的垂线，垂足分别为点e， f由于 2x x ，所以点 e 肯定在点p 的左侧如以 p，q ， m ， n 为顶点的四边形是等腰梯形， 就点 f 肯定在点n 的右侧，且pe=nf ，即 2x-x=x2-3x解得 x1=0 （舍去）， x2=4 由于当 x=4时，以 p， q ， m ， n 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 p， q ， m ， n

13、为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：此题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点【例题 3 】如图，在直角梯形abcd 中， ad bc，c=90 °， bc=16 ，dc=12 ， ad=21，动点 p 从点 d 动身，沿射线da 的方向以每秒2 个单位长的速度运动，动点q 从点 c 动身，在线段cb 上以每秒1 个单位长的速度向点b 运动， p、q 分别从点d 、c 同时动身，当点q 运动到点 b 时，点 p 随之停止运动，设运动时间为t （ s ）（1 ）设bpq 的面积为s，求 s 与 t 之间的函数关系；（2 ）当 t 为何值时，以b、p、q 三点为顶点的三角形是等

14、腰三角形？学习必备欢迎下载解析 ：（1 ）如过点 p 作 pm bc 于 m ，就四边形pdcm 为矩形，得出 pm=dc=12，由 qb=16-t，可知： s=pm ×qb=96-6t；（2 ）此题应分三种情形进行争论，如pq=bq ，在 rt pqm中，由 pq2=pm2+mq2，pq=qb ，将各数据代入，可将时间t 求出；如 bp=bq ，在 rt pmb 中，由 pb2=bm2+pm2， bp=bq ，将数据代入，可将时间t求出；如 pb=pq ，pb2=pm2+bm2， pb=pq ，将数据代入，可将时间t 求出解答：解：（ 1 ）过点 p 作 pm bc 于 m ，就四

15、边形pdcm为矩形pm=dc=12，qb=16-t，s=.qb .pm=（ 16-t ）×12=96-6t（0 t）学习必备欢迎下载（2 ）由图可知， cm=pd=2t， cq=t ，如以 b、p、q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情形四、课堂运用【基础】1. 如图，已知在矩形abcd 中， ad =8 ， cd=4 ，点 e 从点 d 动身，沿线段da 以每秒 1个单位长的速度向点a 方向移动，同时点f 从点 c 动身，沿射线cd 方向以每秒2 个单位长的速度移动，当b， e， f 三点共线时，两点同时停止运动设点e 移动的时间为t （秒）（1 ）设四边形bcfe 的面积为

16、s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范畴；（2 ）求当 t 为何值时，以e，f，c 三点为顶点的三角形是等腰三角形；解析（1 ）ed=t ，cf=2t ， s= sbce+ sbcf=12 ×8×4+12 ×2 t×t =16+t 2即 s=16+t 2 （ 0t4 ）；（2 ）如 ef=ec 时，就点f 只能在 cd 的延长线上，22ef2 =2t4 2t 25t 216t16 ，22ec2= 4tt16 ， 5t16t16 =t 216 t =4 或 t= 0 （舍去）；2t43如 ec=fc 时，ec2 =4 2t 2t 216

17、， fc2=4 t 2， t16 =4 t 23；如 ef=fc 时，ef2=2 t42t 25t216t16 ， fc2=4 t 2 ，5t 216t16 =4 t 2 t 1= 1683 （舍去）， t 2= 1683 43当 t 的值为 4 ，3， 1683 时，以 e， f， c 三点为顶点的三角形是等腰三角形学习必备欢迎下载【巩固】2. 如图 1 ，在矩形abcd 中， ab=12cm， bc=6cm，点 p 从 a 点动身，沿a b cd 路线运动，到d 点停止；点q 从 d 点动身，沿d c b a 运动，到a 点停止如点p、点 q 同时动身，点p 的速度为每秒1cm ，点 q

18、的速度为每秒2cm ， a 秒时点 p、点 q 同时转变速度，点p 的速度变为每秒b（ cm ），点 q 的速度变为每秒c（ cm ）如图 2 是点 p动身 x 秒后apd 的面积 s1（ cm 2）与 x（秒）的函数关系图象；图3 是点 q 动身 x 秒后aqd 的面积 s2（ cm 2）与 x （秒）的函数关系图象依据图象：（1 ）求 a、b 、c 的值；（2 ）设点 p 离开点 a 的路程为 y 1（ cm ），点 q 到点 a 仍需要走的路程为 y 2（ cm ），请分别写出转变速度后 y 1 、y 2 与动身后的运动时间 x （秒）的函数关系式，并求出 p 与 q 相遇时 x 的值【

19、答案】 1 a=8；b=2 ； c=12 y1 =2x 8 （ x 8 ） ;y2 =22 x （ x8 ）; 动身 10 秒时， p 与 q 相遇学习必备欢迎下载【解析】（1 ）观看图象得，sapq =pa.ad=×（1 ×a）×6=24 ，解得 a=8 （秒）b=2 （厘米 / 秒）（22 8 ） c= （ 12 ×2+6 ） 2 ×8解得 c=1 （厘米 / 秒）（2 ）依题意得： y 1=1 ×8+2 （ x 8），即： y1 =2x 8 （ x 8），y 2= （30 2 ×8 ） 1 ×（x 8）=22

20、 x （x 8 ）又据题意，当y 1 =y 2 时， p 与 q 相遇，即2x 8=22 x， 解得 x=10 （秒）动身 10 秒时， p 与 q 相遇【拔高】3. 如 图 1，在矩形 abcd中，点 p 从 b 点出 发沿着四 边按 b c da 方向 运动 ，开头以每秒m个单 位 匀速运动 ，a 秒后 变为 每秒 2 个单 位匀速运动 ， b 秒后又恢 复为 每秒 m个单 位匀速运动 在 运动过 程中， abp的面 积 s与运动时间t 的函 数关 系如 图 2 所示（1）求矩形abcd的长和宽；（2）求 m、a、b 的值【答案】 1长方形的 长为 8，宽为 4 2 m=1;a=4； b=

21、11学习必备欢迎下载【解析】（1） 从图 象可知， 当 6 t 8 时， abp面积不变即 6 t 8 时，点 p 从点 c 运动到点d ，且这时速度为每秒2 个单位cd=2 （ 8 6 ） =4ab=cd=4当 t=6时（点 p 运动到点c）， sabp =16 ab .bc=16 ×4×bc=16bc=8长方形的长为8 ，宽为 4 （2 ）当 t=a时， sabp=8=×16即点 p 此时在 bc 的中点处pc=bc=×8=42 （ 6 a） =4a=4bp=pc=4m=bp ÷a=4 ÷4=1 ，当 t=b时， sabp=ab

22、.ap=4 ×4×ap=4 ， ap=2b=13 2=11 ；课程小结本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题，着重讲解几何中解决动点问题的思路，讲解过程中需让同学学会如何运用数形结合思想解决问题，学会动中求静；学习必备欢迎下载课后作业【基础】1. 如图，在梯形 abcd 中， ad bc，b=90 °，ab=14cm ，ad=15cm ， bc=21cm ，点m 从点 a 开头，沿边 ad 向点 d 运动，速度为 1cm/s ；点 n 从点 c 开头，沿边 cb 向点 b 运动，速度为 2cm/s 、点 m 、n 分别从点 a 、c 动身，当其中一点到达端点时

23、，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（1 ）当 t 为何值时，四边形 mncd 是平行四边形？（2 ）当 t 为何值时，四边形 mncd 是等腰梯形？【答案】 1 t=5 时，四边形 mncd 是平行四边形2 t=9时，四边形mncd是等腰梯形【解析】（1 ）md nc ，当 md=nc ，即 15-t=2t ， t=5 时，四边形 mncd 是平行四边形；（2 ）作 debc ，垂足为 e，就 ce=21-15=6 ，当 cn-md=12 时，即 2t- （ 15-t ） =12 ，t=9 时，四边形 mncd 是等腰梯形【巩固】2. 正方形 abcd 边长为 4 ， m 、 n 分别是 bc 、 cd 上的两个动点， 当 m 点在 bc 上运动时， 保持 am 和 mn 垂直， 设 bm x ，梯形 abcn 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当