初二函数知识点及经典例题22

1、（一）函数1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量；第十八章函数 一次函数1解析式 ： y=kx （k 是常数， k 0）2必过点 ：（ 0， 0）、（1， k ）(3) 走向： k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时， .图像经过二、四象限(4) 增减性 ： k>0， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小(5) 倾斜度 ： |k| 越大，越接近 y 轴； |k| 越小，越接近 x 轴2、函数： 一般的，在一个变化过程中，假如有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯独确定

2、的值与其对应，那么我们就把 x 称为 自变量 ，把 y 称为 因变量 ，y 是 x 的函数 ；*判定 y 是否为 x 的函数，只要看x 取值确定的时候， y 是否有唯独确定的值与之对应3、定义域： 一般的，一个函数的自变量答应取值的范畴，叫做这个函数的定义域；4、确定函数定义域的方法：（ 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；3、一次函数及性质一般地，形如 y=kx bk,b 是常数， k0，那么 y 叫做 x 的一次函数 .当 b=0 时， y=kx b 即 y=kx ，所以说正比例函数是一种特别的一次函数 .注：一次函数一般形式y=kx+b k 不为零 k 不 为零 x 指数为 1 b

3、 取任意实数b一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b）和（ -，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx 平移k（ 2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（ 5）实际问题中，函数定义域仍要和实际情形相符合，使之有意义；5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像|b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移；当b<0 时，向下平移）（1）解析式 ： y=kx+bk 、b 是常数

4、， k0（2）必过点 ：（ 0，b）和（ -（3）走向： k>0 ，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过其次、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限b， 0）k一般来说， 对于一个函数， 假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；其次步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：k0直线经过第一、二、三象限b0k0直线经过第一、二、

5、四象限b0k0直线经过第一、三、四象限b0k0直线经过其次、三、四象限b0连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）；8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律；解析式法：简洁明白，能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用 解析式表示；（4）增减性 ： k>0 ，y 随 x 的增大而增大； k<0， y 随 x 增大而减小 .（5）倾斜度 ： |k| 越大，图象越接近于y 轴； |k| 越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移 ： 当 b>

6、;0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移b 个单位；当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移b 个单位 .一次图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；（二）一次函数1、一次函数的定义函数k ， b符号0b0b0b0b0yyyybkkxb k0k0k0一般地， 形如又叫做正比例函数；ykxb（ k， b 是常数， 且 k0 ）的函数， 叫做一次函数， 其中 x 是自变量； 当 b0 时，一次函数ykx ，b0yy一次函数的解析式的形式是ykxb ，要判定一个函数是否是一次函数，就是判定是否能化成以上形式当 b0 ， k0 时， ykx 仍是一次函数图象当 b0

7、， k0 时，它不是一次函数oxoxoxoxoxox正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如 y=kxk 是常数， k0的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 .注：正比例函数一般形式y=kx k 不为零 k 不 为零 x 指数为 1 b 取零当 k>0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大 y 也增大；当 k<0 时， .直线 y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大 y 反而减小性质y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小4、一次函数 y=kx b 的图象的画法 .依据几何学问：经过两

8、点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情形下：是先选取它与两坐标轴的交点：（ 0， b），.即横坐标或纵坐标为0 的点 .b>0b<0b=0图像的平移b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移b 个单位 .经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过其次、三、四象限经过其次、四象限6、直线 yk1 xb1 （ k10 ）与 yk 2 xb2 （

9、 k20 ）的位置关系k<0（1）两直线平行k1k2 且 b1b2（2）两直线相交k1k2（3）两直线重合k1k2 且 b1b2（4）两直线垂直k1k215、正比例函数与一次函数之间的关系图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；一次函数 y=kx b 的图象是一条直线， 它可以看作是由直线y=kx 平移 |b|个单位长度而得到 （当 b>0 时， 向上平移； 当 b<0 时，向下平移） 6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数（2）将 x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代

10、入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.反比例函数概念一般地， 形如 y=kxk 是常数， k0的 函一般地，形如 y=kx bk,b 是常数， k0，那么 y 叫做一、基础学问数叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数x 的一次函数 .当 b=0 时，是 y=kx ，所以说正比例函数是一种特别的一次函数.1. 定义：一般地，形如yk （ k 为常数， kxo ）的函数称为反比例函数；yk 仍可以写成y xkx1自变量范围x 为全体实数2. 反比例函数解析式的特点：等号左边是函数y ，等号右

11、边是一个分式；分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为图象一条直线必过点（0， 0）、（1， k）（0， b）和（ -b，0）k1.比例系数 k0走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k0，b 0, 直线经过第一、二、三象限k0，b 0 直线经过第一、三、四象限k0，b 0 直线经过第一、二、四象限k0，b 0 直线经过其次、三、四象限自变量 x 的取值为一切非零实数；函数 y 的取值是一切非零实数；3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法列表（应以 o为中心，沿 o的两边分别取三对或以上互为相反的数）增减性k>

12、0， y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升）k<0， y 随 x 的增大而减小； （从左向右下降） 倾斜度|k| 越大，越接近y 轴； |k| 越小，越接近 x 轴描点（有小到大的次序）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，yk （ k 为常数， k x0 ）中自变量x0 ，函数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点，解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y1的图像x断开的两个分支，延长部分逐步靠近坐标轴，但是永久不与坐标轴相交；反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx 或 yx ） ；kk描出三个点，满意x1解法三：用特别值法x20x3 观看图像直接得到y3y1y2

13、选 a反比例函数y（ k0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线yx（ k0 ）上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得xx1x20x3 ,令x12, x21, x31y11, y21, y31,y3y1y2矩形面积为k ；4反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性【例 3】假如一次函数y一个交点为（）【解析】mxn m0 与反比例函数2y3n xm的图像相交于点（1 ，2 ），那么该直线与双曲线的另2ko一、三象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而增大3nm11 mn2m25. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需

14、一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）直线ymxn与双曲线 yx相交于x，2 ，22解得3nm1n16“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不肯定是反比例函数, 但是反比例函数y系；7.反比例函数的应用k中的两个变量必成反比例关x直线为 y2x1,双曲线为 y1 解方程组xy2 x1y1x二、例题【例 1】假如函数 ykx2k 2 k2的图像是双曲线，且在其次，四象限内，那么的值是多少？1k得x11y111x2【解析】有函数图像为双曲线就此函数为反比例函数可以求出的值y，（ kx0 ）即 ykx（ k0 ）又在其次，四象限内，就k02y22【答案】由反比例函数的定义，得：另一个

15、点为1， 12k 2k21解得k1或k12【例 4】 如图，在 rtaob 中，点 a 是直线 yxm 与双曲线 ym在第一象限的交点， 且 s aobx2 ，就 m 的值是 .k0k0k12k 2 k 21k1时函数 ykx为 yx1【例 2】在反比例函数y的是（）的图像上有三点xx1 ， y1 ，x2 ， y2， x3 ， y3；如 x1x20x3 就以下各式正确图ma y3y1y2b y3y2y1c y1y2y3d y1y3y2解: 由于直线 yxm 与双曲线y过点 a , 设 a 点的坐标为 xx a , y a.【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，仍可取特别值法；就有 y

16、 ax am, y am. 所以 mx a y a .解法一：由题意得y11， y2x111， y3x2x3x a又点 a 在第一象限 , 所以 obxax a , abyaya .x1x20x3 ，y3y1y2 所以选 a所以 saob1 obab21xa y a21 m . 而已知2s aob2 .所以 m三、练习题1. 反比例函数4 .ay2 的图像位于（）oxca第一、二象限b 第一、三象限c 其次、三象限d 其次、四象限2. 如 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，就y 是 z 的（）a、正比例函数b 、反比例函数c、一次函数d、不能确定3. 假如矩形的面积为6cm2，那么

17、它的长y cm 与宽 x cm之间的函数图象大致为（）b38 某蓄水池的排水管每小时排水8m， 6 小时可将满池水全部排空（1）蓄水池的容积是多少？（2）假如增加排水管，使每小时的排水量达到q（m3 ），那么将满池水排空所需的时间t （ h）将如何变化？（3）写出 t 与 q的关系式yyo xoxyyo xox（4）假如预备在5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？3（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60 元，在营销中发觉，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当abcd

18、4. 某气球内布满了肯定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压p kpa 是气体体积 v m 3 售价定为 100 元/ 件时，每日可售出30 件.（1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2）该商场方案经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，就其售价应为多少元？的反比例函数，其图象如下列图当气球内气压大于120 kpa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（）10如图，在直角坐标系xoy 中，一次函数ykx b 的图象与反比例函数y1 求上述反比例函数和一次函数的表达式；2 求 aob的面积；m的图象交于 a-2 ， 1 、b1 ， n 两点；x35a、不小于m453b、小于m4

19、43c 、不小于m543d 、 小于m5四、课后作业1对与反比例函数y2 ，以下说法不正确选项（）5如图 ，a、c是函数1y的图象上的任意两点，过a 作 x 轴的垂线，垂足为b，过 c作 y 轴的垂线，xya点（x2, 1 ）在它的图像上b 它的图像在第一、三象限垂足为 d，记 rt aob的面积为 s1 ，rt cod的面积为 s2 就 （）as1 s2b s 1 <s2c s 1=s2d s 1 与 s2 的大小关系不能确定aco bxc 当 x0 时 ，y随x的增大而增大d 当 x0 时 ，6关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数y=n1的图象都经过点a（ -2 ， 1）.xdy随x的增大而减小k求：（1）一次函数和