初二因式分解难题

1、数学（因式分解难题）一填空题（共10 小题）1已知 x+y=10，xy=16，就 x2y+xy2 的值为2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1）（ x 9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（ x 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：3如多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，就m 的值是4分解因式： 4x24x3=5利用因式分解运算： 2022+202×196+982=6 abc三边 a，b，c 满意 a2+b2 +c2=ab+bc+ca，就 abc的外形是7运算： 12 22+32 42 +5262+1002+

2、1012=8定义运算 a b=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： 2（ 2）=3 a b=ba如 a+b=0，就（ aa）+（bb）=2ab如 ab=0，就 a=1 或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的全部结论的序号） 9假如 1+a+a2+a3 =0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10如多项式 x26xb 可化为（ x+a）2 1，就 b 的值是二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7） 2（ n 3） 2 的值肯定能被 20 整除12因式分解： 4x2y4xy+y13因式分解（ 1） a3ab2（ 2）（xy）2+4xy

3、14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：如 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0（ m+n） 2+（n3）2=0 m+n=0，n 3=0 m= 3， n=3问题：（ 1）如 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 abc的三边长 a，b，c 都是正整数，且满意a2+b26a6b+18+| 3 c| =0，请问 abc是怎样外形的三角形？ 15假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如 4=22 02，12=4222，20=62 42，因此 4，1

4、2，20 这三个数都是和谐数（ 1） 36 和 2021 这两个数是和谐数吗？为什么？（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（ 3）介于 1 到 200 之间的全部 “和谐数 ”之和为16如图 1，有如干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片（ 1）假如现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图 2 虚线框中画出图形） ，并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2 分解因式（ 2）已知小正方形与大正方形的面

5、积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（ 3）现有三种纸片各8 张，从其中取出如干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无间隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形17（1）有如干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示， 用如干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，运算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：（ 2）有如干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2 因式分解的结果，画出你的拼图 18已知 a+b=1， ab=

6、1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，sn=an+bn（ 1）运算 s2；（ 2）请阅读下面运算s3 的过程：由于 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3 =（a+b）（a2+b2） ab（ a+b）=1× s2（ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成 （ 2）中 s3 的运算结果， 再用你学到的方法运算s4（ 3）试写出 sn 2，sn 1， sn 三者之间的关系式；（ 4）依据（ 3）得出的结论，运算s6 19（ 1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04（ 2）分解因式： 4a（ a 1） 2（ 1 a）20阅读材料：如

7、 m22mn+2n2 8n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m2 2mn+n2）+（n28n+16）=0（ mn）2 +（ n 4） 2=0，（ m n） 2=0，（n4）2=0， n=4，m=4依据你的观看，探究下面的问题：（ 1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x y 的值（ 2）已知 abc的三边长 a、b、c 都是正整数，且满意a2+b26a 8b+25=0，求 abc的最大边 c 的值（ 3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，就 ab+c=21认真阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+

8、3），求另一个因式以及m 的值解：设另一个因式为 （x+n），得 x2 4x+m=（x+3）（x+n），就 x2 4x+m=x2+（n+3） x+3n n+3= 4m=3n解得： n=7，m=21另一个因式为（ x 7），m 的值为 21问题：（ 1）如二次三项式x25x+6 可分解为（ x2）（x+a），就 a=；（ 2）如二次三项式2x2+bx 5 可分解为（ 2x 1）（x+5），就 b=；（ 3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x k 有一个因式是 （2x 3），求另一个因式以及k 的值22分解因式：（ 1） 2x2 x；（ 2） 16x21；（ 3） 6xy29x2

9、y y3；（ 4） 4+12（ xy）+9（xy） 223已知 a，b， c 是三角形的三边，且满意（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的外形24分解因式（ 1） 2x4 4x2y2+2y4（ 2） 2a3 4a2b+2ab225图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的外形拼成一个正方形（ 1）图中的阴影部分的面积为；（ 2）观看图请你写出三个代数式（m+n） 2、（mn）2、mn 之间的等量关系是（ 3）如 x+y=7， xy=10，就（ x y）2=（ 4）实际上有很多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了（ 5

10、）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n226已知 a、b、c 满意 a b=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值27 已 知 ： 一 个 长 方 体的 长 、 宽 、高 分 别 为 正 整 数a 、 b 、 c ， 且 满 足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006， 求：这个长方体的体积28（ x24x）22（x2 4x） 1529阅读以下因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（ x+1）+x（x+1） 2=（1+x） 1+x+x（ x+1） =（1+x）2 （1+x）=（1+x）3（ 1）上述分解因式的方法是，共应用了次（

11、 2）如分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（ x+1）2004，就需应用上述方法次，结果是（ 3）分解因式： 1+x+x（ x+1） +x（x+1）2+x（x+1）n （n 为正整数）30对于多项式 x3 5x2 +x+10，假如我们把 x=2 代入此多项式，发觉多项式x35x2 +x+10=0，这时可以肯定多项式中有因式 （ x 2）（注：把 x=a代入多项式能使多项式的值为0，就多项式含有因式（ xa），于是我们可以把多项式写成：x3 5x2+x+10=（x2）（x2+mx+n），（ 1）求式子中 m、n 的值；（ 2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x

12、213x 10 的因式2021 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共10 小题）1（2021 秋.望谟县期末）已知x+y=10， xy=16，就 x2y+xy2 的值为160【分析】 第一提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】 解： x+y=10， xy=16， x2y+xy2=xy（ x+y） =10×16=160 故答案为： 160【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键2（2021 秋.新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1）（ x9）；另一位同学因看

13、错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（ x 3）2【分析】 依据多项式的乘法将2（x1）（x 9）绽开得到二次项、常数项；将2（ x 2）（x4）绽开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解： 2（x1）（x 9）=2x220x+18； 2（x2）（ x 4） =2x212x+16；原多项式为 2x212x+182x2 12x+18=2（ x26x+9）=2（ x3）2【点评】 依据错误会法得到原多项式是解答此题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，

14、但二次项、一次项正确3（ 2021 春.昌邑市期末）如多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，就m的值是±4【分析】 利用完全平方公式（ a+b） 2=（ab）2 +4ab、（ab）2=（ a+b）2 4ab运算即可【解答】 解： x2+mx+4=（x±2）2， 即 x2+mx+4=x2± 4x+4， m=± 4故答案为：± 4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键4（2021 秋.利川市期末）分解因式：4x24x3=（ 2x3）（2x+1）【分析】 ax2+bx+c（ a 0）型的式子的因式分解

15、，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数a1，a2 的积 a1.a2，把常数项 c 分解成两个因数c1，c2 的积c1.c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+c=（ a1x+c1）（ a2x+c2），进而得出答案【解答】 解： 4x2 4x 3=（2x3）（ 2x+1）故答案为：（ 2x3）（ 2x+1）【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键5（2021 春.东阳市期末）利用因式分解运算：2022+202×196+982=90000【分析】 通过观看，明显符合完全平方公式【解答】 解：原式 =

16、2022+2x202x98+982=（202+98） 2=3002=90000【点评】 运用公式法可以简便运算一些式子的值6（2021 秋.浮梁县校级期末） abc三边 a，b，c 满意 a2+b2+c2=ab+bc+ca，就 abc的外形是等边三角形【分析】 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ a b） 2+（a c）2+（bc） 2=0，得出： a=b=c，即选出答案【解答】 解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即 a22ab+b2+a22ac+c2+b2 2bc+c2=0， 即（ ab）2+

17、（a c）2+（b c）2=0， 解得： a=b=c，所以， abc是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解的应用； 利用等边三角形的判定， 化简式子得 a=b=c， 由三边相等判定 abc是等边三角形7（ 2021 秋.鄂托克旗校级期末）运算：12 22+32 42+5262+ 1002+1012=5151【分析】 通过观看，原式变为1+（32 22）+（5242）+（ 10121002），进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】 解： 12 22+32 42+5262+1002+1012=1+（ 3222）+（52 42 ）+（10121002）=1+（ 3+2）+（5+4

18、）+（7+6）+（101+100）=（1+101）× 101÷2=5151故答案为： 5151【点评】 此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题8（ 2021 秋.乐至县期末）定义运算ab=（ 1 a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： 2（ 2）=3 a b=ba如 a+b=0，就（ aa）+（bb）=2ab如 ab=0，就 a=1 或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的全部结论的序号） 【分析】 依据题中的新定义运算得到结果，即可作出判定【解答】 解： 2（ 2）=（12）×（ 2）=2，本选项错误； a b=（1a）b，ba

19、=（ 1 b） a，故 ab 不肯定等于 ba，本选项错误；如 a+b=0，就（ a a） +（ b b） =（ 1 a） a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本选项正确；如 ab=0，即（ 1a）b=0，就 a=1 或 b=0，本选项正确， 其中正确的有故答案为【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算， 弄清题中的新定义是解此题的关键9（2021 春.张掖校级期末）假如1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0【分析】 4 项为一组，分成2 组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】 解： 1+a+a2+a3=0， a

20、+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8，=a（1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3），=0+0，=0故答案是： 0【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值，留意合理分组解决问题10（ 2021 春.昆山市期末）如多项式x26xb 可化为（ x+a） 21，就 b 的值是8【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可【解答】 解： x2 6xb=（x3）2 9 b=（x+a）21， a=3， 9 b=1， 解得： a= 3， b=8 故答案为： 8【点评】 此题主要考查了配方法的应用，依据题意正确配方是解题关键二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7）

21、 2（ n 3） 2 的值肯定能被 20 整除【分析】 用平方差公式绽开（ n+7） 2（ n 3） 2，看因式中有没有20 即可【解答】 解：（n+7）2（ n3）2=（ n+7+n3）（n+7n+3）=20（ n+2），（ n+7）2（ n3）2 的值肯定能被 20 整除【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2 b2=（a+b）（ab）12（ 2021 秋.农安县校级期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】 先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式连续分解【解答】 解： 4x2 y 4xy+y=y（4x24x+1）=y（2x1）2【点评】此题考查了用提公因式法和公式法

22、进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要完全， 直到不能分解为止13（ 2021 秋.成都校级期末）因式分解（ 1） a3ab2（ 2）（xy）2+4xy【分析】（1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（ 2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解：（1）原式=a（a2b2）=a（a+b）（ab）；（ 2）原式 =x2 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，娴熟把握因式分解的方法是解此题的关键14（ 2021 春.甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：如 m

23、2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值 解： m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0（ m+n） 2+（n3）2=0 m+n=0，n 3=0 m= 3， n=3问题：（ 1）如 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 abc的三边长 a，b，c 都是正整数，且满意a2+b26a6b+18+| 3 c| =0，请问 abc是怎样外形的三角形？【分析】（1）第一把x2 +2y2 2xy+4y+4=0，配方得到（ x y） 2+（ y+2）2=0，再依据非负数的性质得到x=y= 2，代入求得数值即可；（ 2）先把 a2+b26a6

24、b+18+| 3 c| =0，配方得到（a3）2+（b3）2+| 3c| =0，依据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的外形即可【解答】 解：（1） x2+2y2 2xy+4y+4=0 x2+y2 2xy+y2+4y+4=0，（ x y） 2+（y+2）2=0 x=y=2；（ 2） a2+b26a 6b+18+| 3c| =0， a26a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0，（ a3） 2+（b3）2+| 3c| =0 a=b=c=3三角形 abc是等边三角形【点评】此题考查了配方法的应用： 通过配方， 把已知条件变形为几个非负数的和的形式， 然后利用非负数的性质得到几个等量关系，

25、 建立方程求得数值解决问题15（ 2021 秋.太和县期末）假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “和谐数 ”如 4=22 02，12=4222，20=62 42，因此 4，12， 20 这三个数都是和谐数（ 1） 36 和 2021 这两个数是和谐数吗？为什么？（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（ 3）介于 1 到 200 之间的全部 “和谐数 ”之和为2500【分析】（1）利用 36=10282；2021=50525032 说明 36 是“和谐数 ”，2021 不是 “和谐数

26、”；（ 2）设两个连续偶数为2n，2n+2（ n 为自然数），就“和谐数”（=2n+2）2（2n） 2，利用平方差公式绽开得到（2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明 “和谐数 ”肯定是 4 的倍数；（ 3）介于 1 到 200 之间的全部 “和谐数 ”中，最小的为： 2202=4，最大的为： 502 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和【解答】 解：（1）36 是“和谐数 ”，2021 不是“和谐数 ”理由如下：36=10282； 2021=50525032；（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（ n 为自然数），（ 2k+2） 2（ 2k）2

27、 =（2k+2+2k）（2k+22k）=（4k+2）× 2=4（2k+1）， 4（ 2k+1）能被 4 整除， “和谐数 ”肯定是 4 的倍数；（ 3） 介 于 1 到 200 之 间 的 所 有 “和 谐 数 ”之 和 ， s=（2202） +（ 42 22） +（6242）+（502482）=502=2500故答案是： 2500【点评】 此题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使运算简化16（2021 春.兴化市校级期末）如图1，有如干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边长为b 的大正方形的纸片（ 1）假如现有小正方形 1 张，

28、大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图 2 虚线框中画出图形） ，并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2 分解因式（ 2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（ 3）现有三种纸片各8 张，从其中取出如干张纸片，每种纸片至少取一张，把 取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无间隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形【分析】（1）依据小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（ 2）由长方形的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方

29、形的面积之和为a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得ab 的值，从而可求得长方形的面积；（ 3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m为正整数）由完全平方公式可知：（ na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2由于现有三种纸片各8 张， n2 8， m2 8， 2mn8（n、m 为正整数）从而可知n 2， m2，从而可得出答案【解答】 解：（1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形 a2+3ab+2b2=（ a+2b）（a+b）；（ 2）长方形的周长为34， a+b=17小正方形与大正方形的面积之和为169， a2+b2=169将 a+b=17

30、 两边同时平方得：（a+b） 2=172，整理得： a2+2ab+b2=289， 2ab=289 169， ab=60长方形的面积为60（ 3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）正方形的面积 =（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2现有三种纸片各8 张， n28，m28，2mn 8（n、m 为正整数） n 2， m2共有以下四种情形； n=1，m=1，正方形的边长为a+b； n=1，m=2，正方形的边长为a+2b； n=2，m=1，正方形的边长为2a+b； n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b【点评】此题考查因式分解的运用，要留意结合图形解决问题，解题的

31、关键是敏捷运用完全平方公式17（ 2021 秋.莱城区校级期中）（ 1）有如干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用如干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，运算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（ 2）有如干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2 因式分解的结果，画出你的拼图【分析】（1）要能依据所给拼图运用不同的运算面积的方法，来推导公式；（ 2）要能依据等式画出合适的拼图【解答】 解：（1）长方形的面积 =a2 +2a+1；长方形的面

32、积 =（a+1）2； a2+2a+1=（a+1）2；（ 2）如图，可推导出（ a+b） 2=a2+2ab+b2； 2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）【点评】此题考查运用正方形或长方形的面积运算推导相关的一些等式；运用图形的面积运算的不同方法得到多项式的因式分解18（ 2021 秋.海淀区校级期末）已知a+b=1， ab=1，设 s1=a+b，s2=a2+b2， s3=a3+b3，sn=an+bn（ 1）运算 s2；（ 2）请阅读下面运算s3 的过程：由于 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3 =（a+b）（a2+b2） ab（ a+b）=1× s2（ 1）=s2

33、+1=4你读懂了吗？请你先填空完成 （ 2）中 s3 的运算结果， 再用你学到的方法运算s4（ 3）试写出 sn 2，sn 1， sn 三者之间的关系式；（ 4）依据（ 3）得出的结论，运算s6【分析】（1）（ 2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（ 3）依据（ 1）所推出的结论，即可推出sn 2+sn 1=sn；（ 4）依据（ 3）的结论，即可推出a6+b6=s6=s4+s5=2s4+s3【解答】 解：（1）s2=a2+b2=（a+b）22ab=3；（ 2）（ a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b）， 3×

34、 1=a3+b31， a3+b3=4，即 s3=4； s4=（ a2+b2） 2 2（ ab）2=7， s4=7；（ 3） s2=3， s3=4，s4=7， s2+s3=s4， sn2+sn 1=sn；（ 3） sn 2+sn1=sn ，s2=3， s3 =4，s4=7， s5=4+7=11， s6=7+11=18【点评】此题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用， 关键在于依据题意推出 s2=3，s3=4，s4=7，分析归纳出规律： sn 2+sn 1=sn19（ 2021 春.重庆校级期末）（1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04（ 2）分解因式： 4a（

35、 a 1） 2（ 1 a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解运算即可；（ 2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】 解：（1）原式=9.82+2×0.2× 9.8+0.22=（9.8+0.2） 2=100；（ 2） 4a（a1）2（ 1a）=（a1）（ 4a24a+1）=（a1）（ 2a1）2 【点评】此题考查因式分解的实际运用，把握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键20（ 2021 春.惠山区校级期末）阅读材料：如m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m2 2mn+n2）+（n28n+

36、16）=0（ mn）2 +（ n 4） 2=0，（ m n） 2=0，（n4）2=0， n=4，m=4依据你的观看，探究下面的问题：（ 1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x y 的值（ 2）已知 abc的三边长 a、b、c 都是正整数，且满意a2+b26a 8b+25=0，求 abc的最大边 c 的值（ 3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，就 ab+c=7【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，依据两个非负数之和为 0，两非负数分别为0 求出 x 与 y 的值，即可求出x y 的值；（ 2）将已知等式25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平

37、方公式化简，依据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 a 与 b 的值，依据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（ 3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，依据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出ab+c 的值【解答】 解：（1） x2+2xy+2y2+2y+1=0（ x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（ x+y）2+（y+1） 2=0 x+y=0y+1=0解得 x=1，y=1 xy=2；（ 2） a2+b26a 8b+25=0（ a26a+9）+（b2 8b+16）=

38、0（ a3） 2+（b4）2=0 a 3=0，b4=0解得 a=3， b=4三角形两边之和第三边 ca+b， c 3+4 c7，又 c 是正整数， c 最大为 6；（ 3） a b=4，即 a=b+4，代入得：（b+4） b+c26c+13=0， 整理得：（b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（ c 3） 2=0， b+2=0，且 c 3=0，即 b=2，c=3，a=2，就 ab+c=2（ 2）+3=7 故答案为： 7【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质， 娴熟把握完全平方公式是解此题的关键21（ 2021 秋.温岭市校级期末）认真阅读下面例题，解答问题：例题：已知

39、二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值解：设另一个因式为 （x+n），得 x2 4x+m=（x+3）（x+n），就 x2 4x+m=x2+（n+3） x+3n n+3= 4m=3n解得： n=7，m=21另一个因式为（ x 7），m 的值为 21问题：（ 1）如二次三项式x25x+6 可分解为（ x2）（x+a），就 a=3；（ 2）如二次三项式2x2+bx 5 可分解为（ 2x 1）（x+5），就 b=9；（ 3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x k 有一个因式是 （2x 3），求另一个因式以及k 的值【分析】（1）将（x2）（ x+a

40、）绽开，依据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（ 2）（2x 1）（x+5）绽开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（ 3）设另一个因式为（x+n），得 2x2+5xk=（ 2x3）（ x+n）=2x2+（2n 3）x 3n，可知 2n3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式【解答】 解：（1）（ x2）（x+a）=x2+（ a 2） x 2a=x2 5x+6， a 2=5， 解得： a= 3；（ 2）（ 2x 1）（x+5） =2x2+9x5=2x2+bx5， b=9；（ 3）设另一个因式为（x+n），得 2x2+5xk=（ 2x3）（ x+n）=2x2+（2n 3

41、）x 3n，就 2n 3=5，k=3n， 解得： n=4， k=12，故另一个因式为（ x+4）， k 的值为 12故答案为：（1）3；（ 2 分）（2）9；（2 分）（3）另一个因式是 x+4，k=12（6 分）【点评】此题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的懂得，同时要把握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算， 二者是一个式子的不同表现形式22（ 2021 春.郯城县期末）分解因式：（ 1） 2x2 x；（ 2） 16x21；（ 3） 6xy29x2y y3；（ 4） 4+12（ xy）+9（xy） 2【分析】（1）直接提取公因式x 即可；（ 2）利用平方差公式进行

42、因式分解；（ 3）先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式连续分解；（ 4）把（ xy）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可【解答】 解：（1）2x2 x=x（2x1）；（ 2） 16x21=（4x+1）（4x1）；（ 3） 6xy29x2y y3，=y（9x26xy+y2），=y（3x y） 2；（ 4） 4+12（ xy）+9（xy） 2，= 2+3（x y） 2，=（3x 3y+2） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法， 难点在（ 3），提取公因式 y 后，需要连续利用完全平方公式进行二次因式分解23（2021 春.碑林区校级期末）已知a，b

43、，c 是三角形的三边，且满意（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的外形【分析】 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题【解答】 解：（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2）， a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2， a2+b22ab+b2+c22bc+a2+c2 2ac=0， 即（ ab）2+（bc）2+（ ca）2=0， a b=0，bc=0，ca=0， a=b=c，故 abc为等边三角形【点评】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判定关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题24（ 2021 秋.北辰区校级

44、期末）分解因式（ 1） 2x4 4x2y2+2y4（ 2） 2a3 4a2b+2ab2【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（ 2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】 解：（1）2x4 4x2y2+2y4=2（x4 2x2 y2+y4）=2（x2 y2） 2=2（x+y）2（x y） 2；（ 2） 2a3 4a2b+2ab2=2a（ a22ab+b2）=2a（ ab） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，留意分解要完全25（ 2021 秋.苏州期末）图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四

45、块小长方形，然后按图的外形拼成一个正方形（ 1）图中的阴影部分的面积为（mn）2；（ 2）观看图请你写出三个代数式（m+n） 2、（mn）2、mn 之间的等量关系是（m+n）2（ mn）2 =4mn（ 3）如 x+y=7， xy=10，就（ x y）2=9（ 4）实际上有很多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图，它表示了（m+n）（ 2m+n）=2m2+3mn+n2（ 5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到（ 2）把握完全平方公式，并把握和与差的区分（ 3）此题可参照第（ 2）题（ 4）可利用各部分面积和

46、 =长方形面积列出恒等式（ 5）可参照第（ 4）题画图【解答】 解：（1）阴影部分的边长为（ mn），阴影部分的面积为（ m n） 2；（ 2）（m+n）2（ mn）2=4mn；（ 3）（xy）2=（x+y） 24xy=7240=9；（ 4）（m+n）（ 2m+n）=2m2+3mn+n2；（ 5）答案不唯独：例如：【点评】此题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观看题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，娴熟把握完全平方公式，并能进行变形26（ 2021 秋.海淀区期末）已知a、b、c 满意 ab=8， ab+c2+16=0，求 2a+b+c的值【分析】此题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分

47、解； 但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到此题的突破口由ab=8 可得 a=b+8；将其代入ab+c2+16=0 得： b2+8b+c2+16=0；此时可发觉 b2 +8b+16 正好符合完全平方公式， 因此可用非负数的性质求出b、c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可【解答】 解：由于 ab=8， 所以 a=b+8（1 分）又 ab+c2+16=0，所以（ b+8） b+c2+16=0（2 分）即（ b+4）2+c2=0又（ b+4）20，c20， 就 b= 4， c=0（4 分）所以 a=4，（5 分）所以 2a+b+c=4（6 分）【点评】此题既考查了对因式分解方法的把

48、握，又考查了非负数的性质以及代数 式求值的方法27（2021 春.北京期末）已知： 一个长方体的长、 宽、高分别为正整数a、b、c，且满意 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积【分析】 我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc 分解因式可变为（ a+1）（ b+1）（ c+1） 1，就得（ 1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（ a+1）、（ b+1）、（c+1）也为正整数， 而 2007 只可分解为 3× 3× 223，可得（a+1）、（b+1）、（ c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、2、222就可求出长方体体积 abc 了【解答】 解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+11=2006， a（1+b） +c（1+b）+ac（ 1+b）+（1+b） 1=2006，（ 1+b）（ a+c+ac） +（ 1+b）=2007，（ 1+b）（ c+1+a+ac）=2007，（ 1+b）（ c+1）（a+1） =2007， 2007 只能分解为 3×3×223（ a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为 3、3、223 a、b、c