初二因式分解详解

1、中学因式分解详解一、提公因式法.如多项式 ambmcmm abc,其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用a 2a 23a三、分组分解法.b 2a2abb23baba a b ab,b2 ,22abb （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 = am= a m= mann n abmbmb

2、bnn每组之间仍有公因式！摸索：此题仍可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提；例 2、分解因式：2 ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 = 2ax10ay5bybx 原式 = 2axbx10ay5by= 2a x5 yb x5 y= x2 ab5 y2 ab= x5 y 2ab= 2ab x5 y练习：分解因式1 、 a 2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：如将第一、三项分为一组，其次

3、、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = x 2= x= xy2 y xy xaxy yaya xy a例 4、分解因式：a 22abb 2c 22解：原式 = a= a2abb) 2b2 c2c2= abc abc留意这两个例题的区分！练习：分解因式3 、 x2x9 y 23 y4 、 x2y 2z 22 yz综合练习：（ 1） x3x2 yxy 2y 3（2） ax 2bx2bxaxab第 1 页 共 6 页1（ 3） x26 xy9 y 216 a 28a1（ 4） a 26 ab12b9b 24 a（ 5） a 42a 3a 29（ 6）

4、4a 2 x4a 2 yb2 xb 2 y（ 7）x22 xyxzyzy2（ 8） a 22ab 22b2 ab1（ 9）y y2 m1 m1（ 10） ac acb b2a （ 11） a 2 bc) b 2 acc 2 ab 2abc （ 12） a 3b 3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2 pq xpq xp xq 进行分解；特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和；例 5、分解因式：x 25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5；由 于6=2 × 3=-2

5、× -3=1 × 6=-1 × -6 ， 从 中 可 以 发 现 只 有2 × 3的 分 解 适 合 ， 即2+3=5 ；12解 ： x25x6 = x 2= x22 x3x233131× 2+1 × 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x 27x6解：原式 = x216 x161-1= x1 x61-6（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 1 x 214 x242 a 215a363 x 24 x5练习 6、分解因式 1x 2x2(2)

6、y22 y15(3) x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） aa1a2a1c1（ 2） c（ 3） bc1c2 a1 c2a 2c1a 2ba1c2c2a2 c1分解结果：ax2bxc = a1xc1 a 2 xc2 例 7、分解因式：3x211x10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解： 3 x211x10 = x2 3x5练习 7、分解因式： （ 1） 5x27 x6（ 2） 3x 27 x2（ 3） 10x 217 x3（ 4）6 y 211y10第 2 页 共 6 页2（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a

7、28ab128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；18b1-16b8b+-16b= -8b2解 ： a8ab22128b = a8b16b a8b16b= a8b a16b练习 8、分解因式 1 x 23xy2 y 2 2 m26mn8n 2 3 a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2 x27xy6 y2例 10 、x2 y 23 xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2-3y+-4y= -7y-1+-2= -3解：原式 = x2 y 2x3 y解：原式 = xy1 xy2练习 9、分解因式： （

8、 1） 15x 27 xy4 y 2（ 2） a 2 x26ax8综合练习10、（1） 8 x67 x31（2） 12x211xy15 y 2（ 3） xy 23 xy10（ 4） ab24 a4b3（ 5）x2 y 25 x 2 y6 x 2（ 6） m 24mn4 n 23m6n2（ 7） x24 xy4 y22x4 y3 （ 8） 5ab 223 a 2b 2 10 ab 2（ 9） 4x 24 xy6 x3 yy 210 （ 10） 12 xy 211x 2y2 2 xy 2摸索：分解因式：五、主元法 .abcx2a 2b 2c2 xabc例 11、分解因式：x23 xy10 y 2x

9、9 y25-2解法一：以x 为主元2-1解：原式 = x 2= x 2= xx3 yx3 y5 y11210 y 25 yx 2 y9 y22 2 y11-5+-4= -91-5y-212y-1= x5y2 x2 y1-5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元1-1解：原式 =210 y210 y210 yy3 x 3 x3 x99 y9 y2 xx2xxx1 x22212-1+2=12 x-1= 2 y= 2 y x1 5 yx1 5y xx225-x+25x-1-2 x +2=3 x-9练习 11、分解因式 1 x2y 24 x6 y5(2) x2xy2 y 2x7 y6第 3

10、 页 共 6 页3(3) x 2xy6 y 2x13 y6(4) a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘法；定义：双十字相乘法用于对ax 2bxycy 2dxeyf 型多项式的分解因式；条件：（ 1）（ 2）即：aa1 c2a1 a 2 ， c a2 c1a1c1c2 ， f b ， c1 f 2c1f1 f2c2 f1e ， a1 f 2f 1a 2 f1da 2c2f 2a1c2a2 c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a 2 f1d就 ax 2bxycy 2dxeyf a1 xc1 yf1 a2 xc2f 2 例 12、分解因式（1） x2（ 2） x23xy

11、xy10 y 26 y 2x9 y2x13y6解 ：（ 1） x23 xy10 y2x9 y2应用双十字相乘法：x5 y22 xyx5 xy2 y3 xy ， 5 y4 y9 y ，1x2xx原式 = x2（ 2） x5 y2 x2xy6 y2 y1x13y6应用双十字相乘法：x2 y33xy2 xyxxy ， 4 y3y9y13 y ，22x3xx原式 = x2 y3 x3y2练习 12、分解因式（1） x 2（ 2） 6 x2xy7 xy2 y 23 y 2x7 y xz67 yz2 z 2七、换元法；例 13、分解因式（1） 2005 x22005 21x2005（ 2） x1 x2 x

12、3 x6x 2解：（ 1）设 2005= a ，就原式 = ax 2= ax a 21 x1xa a= 2005 x1 x2005（ 2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 = x 27 x6 x 25x6x2设 x25 x6a ，就 x 27 x6a2 x原式 = a2 x a222x= a2 axx= a22x= x26 x6练习 13、分解因式（1） x2xyy2 24 xy x2y2 （ 2） x 23x2 4x 28 x390（ 3） a 21 2a 25 24a 23 2第 4 页 共 6 页4例 14、分解因式（1） 2 x 4x36 x 2x2观

13、看： 此多项式的特点是关于x 的降幂排列， 每一项的次数依次少1，并且系数成 “轴对称”；这种多项式属于 “等距离多项式” ；方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 = x 22 x 2x61x1 = x 2x 22x 211x 2 xx 6设 x1 xt ，就 x21x2t 22原式 = x 22= x（2 t 222t5t2t6 =2 = x2x2 2t 22 x2 x1t105x12x22= x·2 x5 ·x·xx2= 2 xx5x2x2 x1= x1 2 2 x1 x2（ 2） x4224 x 3x 2414 x12211解：

14、原式 = xx4 x1x2= xx22xx4 x1x12设 xy ， 就 x1y 22x原式 = x 2 y 24 y21x3 = x 2y1y3122= xx1xx3 = xxx1 x3x1练习 14、（ 1） 6 x47 x336 x27 x6 （ 2） x 42 x 322x12 xx八、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（1） x33x24解法 1拆项；解法 2添项；原式 = x313 x23原式 = x33 x24 x4 x4= x= x1 x21 x 2x1x13x3 x1 x13= x x2= xx3x41 x44 x44 x1= x= x1 x 21 x4 x422= x=

15、 x1 x21 x4 x42 2（ 2） x9x6x 33解：原式 = x 91 x 61 x 313= x3= x61 x61 x3x13x133x1 x3x1131x1= x21 x6x1 x342 x3练习 15、分解因式（1） x39x8（ 2） x14x 21 2 x14（ 3） x47 x21（4） xx22ax1a 2第 5 页 共 6 页5（ 5） x4y 4xy4（ 6） 2a 2 b22a 2c 22b 2 c2a 4b 4c 4九、待定系数法；例 16、分解因式x2xy6 y 2x13 y6分析：原式的前3 项 x 2xy6 y 2 可以分为 x3 y x2 y，就原多项

16、式必定可分为x3 ym x2 yn解：设 x2xy6 y 2x13 y6 = x3 ym x2 yn x3 ym x2 yn = x2xy6 y2mn x3n2m ymn x 2xy6 y2x13 y6 = x2mxy6 y 2n1mnxm3n22m ymn对比左右两边相同项的系数可得3n2mmn613 ，解得n3原式 = x3y2 x2 y3例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式；（ 2）假如 x3ax 2bx8 有两个因式为x1和 x2 ， 求 ab 的值；（ 1）分析：前两项可以分解为xy xy ，故此多项式分解的形式必为xya xyb解：设x2y 2mx5y6 = xya xyb就 x2y 2mx5y6 = x 2y2ab xba) yab比较对应的系数可得：a bmb a5，解得：a 2a2b 3或b3ab6m1m1当 m1 时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = xy2 xy3 ；当 m1时，原式 = xy2 xy3（ 2）分析：x3次二项式；ax 2bx8 是一个三次式，所以它应当分成三个一次式相乘，因此第三个因式