高等数学(下册)试题(含解答与点评,2020考研数学参考)

1、1 高等数学（下册）试题（含详细解答与点评）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1在空间直角坐标系下，方程2x2+3y2=6 表示的图形为（）a椭圆b柱面c旋转抛物面d球面【答案】 b 【解析】 考查了常见二次曲面的方程。方程( , )0f x y在空间表示母线平行于z 轴的柱面。不难得到答案为b。注：一般来讲，关于x、y、z 的方程中不含哪一个字母，方程就表示母线平行于哪个轴的柱面。2极限021limyxarcsin(x+y2)=（）a6b3c2d【答案】 a 【解析】考查了二元函数极限的计算。由于函数2arcsin()xy在定义区域内是连续的，从而在点1,02处是

2、连续的，所以221201limarcsin()arcsin(0 )26xyxy。3设积分区域22:yxr2，0z1，则三重积分dxdydzyxf)(22（）a200102)(rdzrfdrdb200102)(rdzrfrdrdc2001022)(rrdzyxfdrdd00102)(rdzrfrdrd2 【答案】 b 【解析】本题考查了在柱面坐标下二重积分的计算。积分区域可表示为:01,( , )zx yd，其中 d 是上述区域在oxy 平面上的投影，且:0,02drr，所以212222000()()()rfxydxdydzf rrdrddzdrdrf rdz。4以 y=sin 3x 为特解的微

3、分方程为（）a0yyb0yyc09yyd09yy【答案】 c 【解析】考查了微分方程的解与特解的概念。由于sin 3yx，3cos3,9sin 3yx yx，经过验证便知，函数sin 3yx满足方程09yy。5设正项级数1nnu 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（）a1100nnub11)(nnnuuc1)3(nnud1) 1(nnu【答案】 d 【解析】考查了级数敛散性的判定。收敛的级数加上有限项仍然收敛，故a 中的级数收敛；级数1nnu 收敛等价于它的前n 项和的极限limnns存在，11)(nnnuu的前 n 项和的极限为111lim2limnnnnnsussu，也是存在的，故b 选项

4、中的级数是收敛的；d 选项中3 的级数的前n 项和的极限为limnnsn，它不存在，从而该级数发散；若1nnu 收敛则1(0)nncuc也是收敛的，故c中的级数是收敛的。二、填空题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）6向量 a=1,1,2 与 x 轴的夹角_. 【答案】3【解析】考查了向量与坐标轴的夹角。向量与x 轴的夹角，即为向量a=1,1,2 与向量i=1,0,0 之间的夹角。由2221 11 0201cos21121a iai得3。7设函数22),(yxxyyxf，则)1,(xyf_. 【答案】22xyxy【解析】考查了二元函数值的计算。22221(,1).1yyxyxfxy

5、xyx8设是上半球面z=221yx的上侧，则对坐标的曲面积分dxdyy3_. 【答案】 0 【解析】考查了对坐标的曲面积分的计算。设在 oxy 面上的投影为d，则4 2211333110 xxdy dxdyy dxdydxy dy。9微分方程xyysin3的阶数是 _. 【答案】 3 【解析】考查了微分方程的阶的概念。微分方程中所含导数的最高阶数称为微分方程的阶。不难得到答案为3。10设)(xf是周期为2的函数，)(xf在, 上的表达式为., 0,23sin.0,0)(xxxxf)(xs是)(xf的 傅 里 叶 级 数 的 和 函 数 ， 则 s（ 0）=_. 【答案】 o 【解析】考查了)(

6、xf的傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷收敛准则）：设)(xf是 以2为周 期 的 周 期 函 数 ， 如 满 足（ 1） 在 一 个 周 期 内 连 续 或 者 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ；（ 2）在 一 个 周 期 内 至 多 有 有 限 个 极 值 点 ，则)(xf的傅里叶级数在,收 敛 ，且 当 x 是)(xf的 连 续 点 时 ，傅 里 叶 级 数 收 敛 于)(xf，当x 是)( xf的 间 断 点 时 ，傅 里 叶 级 数 收 敛 于1(0 )(0 )2fxfx。本 题 中 ， 由 于0 x是( )f x的连续点，故此时傅里叶级数收敛于(0)f，即(0)(0)0sf

7、。三、计算题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）11设平面过点 p1（1，2， 1）和点 p2（ 5，2，7） ，且平行于y 轴，求平面的方程 . 【解析】考查了平面方程的建立。方法一：设平面为0cdzbyax，平行于 y 轴，5 00, 1 ,0,cba，得0b。点(1,2,-1)p1和(-5,2,7)p2在平面上，0750dcadca得dcda34所以所求平面0134:zx。方法二：由已知所求平面平行于y 轴，故可设其方程为c0axzd，因为点(1,2,-1)p1和(-5,2,7)p2在平面上，所以0570acdacd，得dcda34，所以所求平面0134:zx。12设函数2

8、2lnyxz，求yxz2. 【解析】考查了二元函数的二阶混合偏导数。)ln(2122yxz22.yxxxz2222)(2yxxyyxz13设函数232yxez，求全微分dz. 【解析】考查了二元函数的全微分。6 22323362yxyxyeyxexzdyyzdxxxdz)62(232ydydxeyx14设函数)2,(22xyyxfz，其中 f (u, v)具有一阶连续偏导数，求xz和yz. 【解析】考查了二元复合函数的偏导数的求法。设xyyxu222，则fyufxxuzxuuzxz22，fxufyyzyuuzyz2215求曲面x2+y2+2z2=23 在点（ 1，2，3）处的切平面方程. 【解

9、析】考查了曲面上某点处切平面方程的求法。设)3 ,2, 1(232),(0222pzyxzyxf，42)3, 2, 1 (22)3 ,2, 1 (00pypxyfxf，124)3 ,2 ,1 (0pzzf，所求平面方程为0)3(12)2(4)1(2zyx，即2362zyx。16计算二重积分ddxdyyx)sin(22，其中积分区域d：x2+y2a2. 【解析】考查了极坐标下二重积分的计算。7 rdrrddxdyyxad202022sin)(sin2012cos2ar)cos1(2r。17计算三重积分zdxdydz，其中是由曲面z=x2+y2，z=0 及 x2+y2=1 所围区域 . 【解析】考

10、查了柱面坐标下三重积分的计算。zdxdydz210200rdrdrzdz2201202rrzdr1510r dr6 10166r18计算对弧长的曲线积分cdsx2，其中 c 是圆周 x2+y2=4 的上半圆 . 【解析】考查了对弧长的曲线积分。:2cos2sin(0)cxtytt2cx ds24cos20tdt4(1 cos2 )0t dt8 014sin2 42tt。19计算对坐标的曲线积分cdyyxdxy)21()31(，其中 c 为区域 d：| x | 1，| y |1 的正向边界曲线. 【解析】考查了对坐标的曲线积分。由格林公式cdyyxdxy)21(31）（ddxdy)3()2(4d

11、dxdy。20求微分方程02dyedxeyxyx的通解 . 【解析】考查了一阶微分方程的通解的求法，重点掌握可分离变量的方程和一阶线性方程的解法。本题所给的方程就是可以分离变量的方程。原方程可化为dxedyexy2，两边积分dxedyexy2，所以通解为ceexy221。21判断无穷级数1212) 1(1nnn的敛散性 . 【解析】考查了正项级数与交错级数敛散性的判定。方法一：20211) 12(12)1(1nnnnn，而且2212111(21),lim14nnnnn收敛，9 由正项级数比较判别法得20) 12(1nn收敛，从而2112) 1(1nnn收敛 。方法二：112221111( 1)

12、1( 1)222nnnnnnnn，由于221111122nnnn是收敛的， 由交错级数的莱布尼兹判别法可知，121( 1)2nnn也是收敛的，故原级数收敛。22将函数51)(xxf展开为 x+1 的幂级数 . 【解析】考查了函数的幂级数展开式。411141)(xxf0111() ,| 1444nnxx10( 1)(1) , |1|44nnnnxx四、综合题（本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分）23设函数)(xyz，其中)(u 为可微函数 . 证明：0yzyxzx【解析】考查了二元函数偏导数的计算。)(1)(2xyxyzxyxyxz，左边0)(1)()(2xyxyxyxyxyzyxxx右边。10 24设曲线y=y (x)在其上点（ x, y）处的切线斜率为xyx24，且曲线过点（1，1） ，求该曲线的方程 . 【解析】考查了一阶微分方程的