高考数学-函数奇偶性与周期性学案

1、学案组编：校对: 审核：日期函数奇偶性与周期性一、考点梳理1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f( x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f( x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称2 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3 周期性(1)周期函

2、数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期难点正本疑点清源 1函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x) f(x) 0(奇函数 )或f(x)f(x)0(偶函数 )是否成立2函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在 x 0

3、 处有定义，则f(0)0. (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是d1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇(3) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反二、考点突破考点一判断函数的奇偶性例 1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)9x2x29；(2)f(x)(x1) 1x1x；(3)f(x)4x2|x3|3. 变式 1.下列函数：f(x)1x2x21； f(x)x3x； f(x)ln(xx21)；f(x)3x3x2； f(x)lg 1 x1 x. 其中奇函数的个数是() a2b

4、3c4d5 考点二函数的奇偶性与周期性例 2设 f(x)是定义在r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x 2) f(x)当 x 0,2时， f(x)2xx2. (1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2) f(2 013)变式 2.已知 f(x)是定义在r 上的偶函数，并且f (x2)1f x，当 2x3 时， f (x)x，则 f (105.5)_. 学案组编：校对: 审核：日期考点三函数性质的综合应用例3设f(x)是(， )上的奇函数，f(x2) f(x)，当0 x1 时， f(x)x. (1)求 f( )的值；(2

5、)当 4x4 时，求 f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (， )内函数 f(x)的单调区间变式 3. (1)已知定义在r 上的奇函数f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则() a f(25)f(11)f(80) bf(80)f(11)f(25) c f(11)f(80)f(25) df(25)f(80)f(11) (2)函数 y f(x)(x0)是奇函数，且当x(0， )时是增函数，若 f(1)0，求不等式fx(x12)0 的解集三、随堂练习3已知函数f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)() a.23b23c.43d434已知函数

6、f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是() af(x)是偶函数，递增区间是(0， ) bf(x)是偶函数，递减区间是(， 1) cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1) df(x)是奇函数，递增区间是(， 0) 5设( )f x是定义在r上的奇函数，且( )yf x的图象关于直线12x对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff6设( )f x是定义在r上且周期为2 的函数， 在区间 1,1，上，1, 10( )2,011axxfxbxxx其中,a br，若13()()22ff，则32ab_7定义在r上的奇函数40 2fxfxfxfx满足，且在， 上1,01294146sin,12xxx

7、ffxx，则_.8 定 义 在r上 的 偶 函 数)(xf， 且 对 任 意 实 数x都 有)()2(xfxf，当)1 ,0 x时，2)(xxf，若在区间3, 3内，函数kkxxfxg3)()(有 6个零点，则实数k的取值范围为 _9 设a为正实数，( )yf x是定义在r上的奇函数， 当0 x时，7)(xaxxf，若axf1)(对一切0 x成立，则a的取值范围为 _学案组编：校对: 审核：日期函数奇偶性和周期性（答案）二、考点突破考点一判断函数的奇偶性例 1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)9 x2x29；(2)f(x)(x1) 1x1x；(3)f(x)4x2|x3|3. 思维启迪： 确定

8、函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证 f( x) f(x)或其等价形式f(x) f(x)0 是否成立解(1)由9x2x290 ，得 x 3. f(x)的定义域为 3,3 又 f(3)f(3)0，f(3)f( 3) 0. 即 f(x) f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由1x1xx0，得 1x|x|0 知 f(x)ln(xx21)的定义域为r，又 f(x)ln( xx21) ln1xx21 ln(xx21) f(x)，则 f(x)为奇函数；f(x)3x3x2的定义域为r，又 f(x)3x3x23x3x2 f(x)，则 f(x)为奇函数；由1x1x0 得 1

9、x1，f(x)ln 1x1x的定义域为 (1,1)，又 f( x)ln 1x1xln1 x1 x1 ln1x1x f(x)，则 f(x)为奇函数， 奇函数的个数为5. 考点二函数的奇偶性与周期性例 2设 f(x)是定义在r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x 2) f(x)当 x 0,2时， f(x)2xx2. (1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2) f(2 013)思维启迪： (1)只需证明f(xt)f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由 f(x)在0,2 上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式， 进

10、而求 f(x)在2,4 上的解析式；(3)由周期性求和(1)证明f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x) f(x)是周期为4 的周期函数(2)解x2,4，x4， 2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2 x26x 8，又 f(4x)f(x) f(x)， f(x) x2 6x8，即 f(x) x2 6x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3) 1. 又 f(x)是周期为4 的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4) f(5)f(6)f(7) f(2 008) f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2

11、)f(2 013)f(0)f(1) 1. 学案组编：校对: 审核：日期探究提高判断函数的周期只需证明f(xt)f(x) (t0)便可证明函数是周期函数，且周期为 t，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题变式 2.已知 f(x)是定义在r 上的偶函数，并且f (x 2)1f x，当 2x3 时， f (x)x，则 f (105.5)_. 答案2.5 解析由已知，可得f(x4)f(x2)2 1f x 211f xf(x)故函数的周期为4. f(105.5)f(427 2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5) 2.5. f(105.5)2.5. 考点三函数性质的

12、综合应用例3设f(x)是(， )上的奇函数，f(x2) f(x)，当0 x1 时， f(x)x. (1)求 f( )的值；(2)当 4x4 时，求 f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (， )内函数 f(x)的单调区间思维启迪： 可以先确定函数的周期性，求f( )；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解(1)由 f(x2) f(x)得，f(x4)f(x2)2 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，f( )f(14)f( 4) f(4) (4) 4. (2)由 f(x)是奇函数与f(x2) f(x)，得： f(x1)2 f(

13、x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1 对称又当 0 x1 时， f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示当 4x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为s，则 s4soab 412 21 4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为4k1,4k 1 (kz)，单调递减区间为4k1,4k3 (kz)探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想变式 3. (1)已知定义在r 上的奇函数f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2 上是

14、增函数，则() af(25)f(11)f(80) bf(80) f(11)f(25) cf(11)f(80)f(25) df(25)f(80)f(11) 答案d 解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2 上是增函数可以推知， f(x)在2,2上递增，又f(x4) f(x)? f(x8) f(x4) f(x)， 故函数 f(x)以 8 为周期， f(25)f( 1)，f(11) f(3) f(3 4)f(1)，f(80) f(0)，故 f( 25)f(80)f(11)(2)函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0， )时是增函数，若 f(1)0，求不等式fx(x12)0 的解集解yf(x

15、)为奇函数，且在(0， )上为增函数， yf(x)在( ，0)上也是增函数，且由 f(1)0 得 f(1)0. 若 fx(x12)0f(1)，则 x x12x x121即 0 x(x12)1，解得12x1174或1174x0. 若 fx(x12)0f(1)，则x x12x x121由 x(x12)1，解得 x?. 原不等式的解集是x|12x1174或1174x0三、考点巩固学案组编：校对: 审核：日期3(2014 长春调研 )已知函数f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)()答案： c a.23b23c.43d434已知函数f(x)x|x| 2x，则下列结论正确的是() af(

16、x)是偶函数，递增区间是(0， ) bf(x)是偶函数，递减区间是(， 1) cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1) df(x)是奇函数，递增区间是(， 0) 答案： c 5设( )f x是定义在r上的奇函数，且( )yf x的图象关于直线12x对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff【答案】0【解析】试题分析： ( )f x是定义在r上的奇函数， ( )()f xfx，又( )fx的图象关于直线12x对称，( )(1)()(2)( )(2)f xfxfxfxf xf x，在( )(1)f xfx中，令0 x，(0)(1)0ff， ( 0 )( 1 )( 5fff， ( 1 )( 2

17、 )( 3 )( 4 )fffff考点：奇函数的性质6设( )f x是定义在r上且周期为2 的函数， 在区间 1,1，上，1, 10( )2,011axxfxbxxx其中,a br，若13()()22ff，则32ab_【答案】2【解析】试题分析：( )f x是定义在上且周期为2 的函数，(1)( 1)ff，即212ba又311()()1222ffa，13( )( )22ff，14123ba联立，解得，2,4ab，32322( 4)2ab考点：分段函数，函数的周期性7定义在r上的奇函数40 2fxfxfxfx满足，且在， 上1,01294146sin,12xxxffxx，则_.【答案】516【解

18、析】试题分析： 定义在 r上的奇函数)(xf满足)()4(xfxf，所以)67()43()67()43()6742()4342()641()429(ffffffff16567sin4143考点：函数的周期性及单调性8 定 义 在r上 的 偶 函 数)(xf， 且 对 任 意 实 数x都 有)()2(xfxf，当)1 ,0 x时，2)(xxf，若在区间3, 3内，函数kkxxfxg3)()(有 6个零点，则实数k的取值范围为 _【答案】61, 0(【解析】由)()2(xfxf得函数的周期为2由03)()(kkxxfxg，得)3()(xkxf，分别作出函数)(xfy，)3(xky的图象，设)0 ,3(a, )1 , 3(b，要使函数有6 个零点，则直线)3(xky的斜率abkk0，因为61) 3(301abk，所以610k，即实数k的取值范围是61,0(【命题意图】本题考查函