高考数学三轮冲刺专题20坐标系与参数方程专项讲解与训练

1、1 专题 20. 坐标系与参数方程极坐标方程及其应用 核心提炼 1圆的极坐标方程若圆心为m( 0，0) ，半径为r，则圆的方程为：220cos( 0) 20r2 0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1) 当圆心位于极点，半径为r：r；(2) 当圆心位于m(a，0) ，半径为a：2acos ；(3) 当圆心位于m(a，2) ，半径为a： 2asin . 2直线的极坐标方程若直线过点m( 0，0) ，且极轴到此直线的角为， 则它的方程为：sin( ) 0sin( 0) 几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1) 直线过极点：0和 0；(2) 直线过点m(a，0) 且垂直于极轴：cos a；(3) 直

2、线过点m(b，2) 且平行于极轴：sin b. 3极坐标与直角坐标的互化方法点m 直角坐标 (x，y)极坐标 ( ，) 互化公式x cos ，y sin 2x2y2，tan yx（x0）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为cos 4. (1)m为曲线c1上的动点，点p在线段om上，且满足 |om| |op| 16，求点p的轨迹c2的直角坐标方程；(2) 设点a的极坐标为2，3，点b在曲线c2上，求oab面积的最大值【解析】(1) 设p的极坐标为 ( ，)( 0)，m的极坐标为 ( 1，)( 10)由题设知 |op| ，|om| 14cos

3、 . 由|om| |op| 16 得c2的极坐标方程为4cos ( 0)因此c2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)2 (1) 求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键(2) 解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标【对点训练】1在极坐标系中，已知圆o： cos sin 和直线l： sin422( 0， 00) ，a(2 ，0)(1) 把c1的参数方程化为极坐

4、标方程；(2) 设c3分别交c1，c2于点p，q，求apq的面积【解析】：(1)c1的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，所以c1的极坐标方程为24 cos 0，即 4cos . (2) 法一：依题意，设点p，q的极坐标分别为( 1，6) ，( 2，6) 将 6代入 4cos ，得 123，将 6代入 2sin ，得 21，所以 |pq| | 12| 231，依题意，点a(2 ，0)到曲线 6( 0) 的距离d|oa|sin 61. 所以sapq12|pq| d12(231)1312. 法二：依题意，设点p，q的极 坐标分别为 ( 1，6) ，( 2，6) 将 6代入 4cos ，得

5、 123，即 |op| 23，将 6代入 2sin ，得 21，即 |oq| 1，因为a(2 ，0) ，所以poa6，所以sapqsopasoqa12|oa|op|sin612|oa|oq|sin61222312122112312.参数方程及其应用 核心提炼 1直线的参数方程经过点p0(x0，y0) ，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin (t为参数 ) 4 设p是直线上的任意一点，则t表示有向线段p0p的长度(1) 写出直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；(2) 已知点p(1 ，0) 若点m的极坐标为 (1 ，2) ，直线l经过点m且与曲线c相交于a，b两点，设线

6、段ab的中点为q，求 |pq| 的值【解析】：(1) 因为直线l的参数方程为x1tcos ytsin (t为参数 ) ，所以直线l的普通方程为ytan (x1)由 cos24sin 0 得 2cos24sin 0，即x24y0. 所以曲线c的直角坐标方程为x2 4y. (2) 因为点m的极坐标为 (1 ，2) ，所以点m的直角坐标为 (0 ，1)所以 tan 1，直线l的倾斜角34. 所以直线l的参数方程为x122ty22t(t为参数 )代入x24y，得t262t 20. 设a，b两点对应的参数分别为t1，t2. 因为q为线段ab的中点，所以点q对应的参数值为t1t2262232. 又点p(1

7、 ，0) ，则 |pq| |t1t22| 32. 2 (2019 成都第二次诊断性检测) 在直角坐标系xoy中， 曲线c的参数方程为x2cos y22sin ( 为参数 ) ，直线l的参数方程为x332ty 312t(t为参数 ) 在以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点o的射线与曲线c相交于不同于极点的点a，且点a的极坐标为 (23，) ，其中 (2，) (1) 求 的值；(2) 若射线oa与直线l相交于点b，求 |ab| 的值5 【解析】：(1) 由题意知，曲线c的普通方程为x2(y2)24，因为xcos ，ysin ，所以曲线c的极坐标方程为( cos )2( sin

8、 2)24，即 4sin . 由 23，得 sin 32，因为 (2，) ，所以 23. (2) 由题易知，直线l的普通方程为x3y430，所以直线l的极坐标方程为 cos 3sin 43 0. 又射线oa的极坐标方程为23( 0)，联立23（0）cos 3sin 430，解得 43. 所以点b的极坐标为 (43，23) ，所以 |ab| | ba| 432323. 课时作业1(2019 郑州第一次质量预测) 在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为x2cos ysin ( 为参数 )，在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2是圆心为 (3 ，2) ，半径为1 的圆(1)

9、求曲线c1的普通方程，c2的直角坐标方程；(2) 设m为曲线c1上的点，n为曲线c2上的点，求 |mn| 的取值范围【解析】：(1) 消去参数 可得c1的普通方程为x24y21. 曲线c2的圆心的直角坐标为(0 ，3) ，所以c2的直角坐标方程为x2(y3)21. (2) 设m(2cos ，sin ) ，曲线c2的圆心为c2(0， 3) ，则|mc2| （2cos ）2（ sin 3）24cos2 sin26sin 9 3sin26sin 133（sin 1）216. 因为 1 sin 1，所以 |mc2|min2，|mc2|max 4. 根据题意可得|mn|min 211，|mn|max4

10、15，6 即|mn| 的取值范围是 1 ，5 2(2019 合肥模拟 ) 已知曲线c的极坐标方程是4cos . 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x1tcos ytsin (t是参数 ) (1) 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若直线l与曲线c相交于a、b两点，且 |ab| 14，求直线l的倾斜角 的值【解析】：(1) 由 4cos ，得 (x 2)2y24. (2) 将x1tcos ytsin 代入圆的方程得(tcos 1)2 (tsin )24，化简得t2 2tcos 30. 设a、b两点对应的参数分别为t1、t2，则t1

11、t22cos t1t2 3，所以 |ab| |t1t2| （t1t2）24t1t24cos21214，所以 4cos2 2，故 cos 22，即 4或34. 3(2019 广东五校协作体第一次诊断考试) 在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为x2cos ysin ( 为参数 ) ， 以原点o为极点，x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线c2的极坐标方程为 sin442. (1) 求曲线c1的普通方程与曲线c2的直角坐标方程；(2) 设p为曲线c1上的动点，求点p到曲线c2上点的距离的最小值4(2019. 贵阳模拟 ) 在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为x43cos ty53sin

12、 t( 其中t为参数 ) ，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为 2sin . (1) 求曲线c1的普通方程和c2的直角坐标方程；7 (2) 若a，b分别为曲线c1，c2上的动点，求当ab取最小值时aob的面积解： (1) 由x43cos ty53sin t得c1的普通方程为(x4)2(y5)29. 由 2sin 得 22sin ，将x2y22，ysin 代入得c2的直角坐标方程为x2(y1)21. (2) 如图，当a，b，c1，c2四点共线，且a，b在线段c1c2上时， |ab| 取得最小值，由(1) 得c1(4，5) ，c2(0，1) ，所以kc1c

13、251401，则直线c1c2的方程为xy 10，所以点o到直线c1c2的距离d1222，又|ab| |c1c2| 13（ 40）2（ 51）24424，所以saob12d|ab| 1222(424) 22.5(2019 南昌一模 ) 在平面直角坐标系xoy中，曲线c1过点p(a，1) ，其参数方程为xa2ty12t(t为参数，ar)以o为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为cos24cos 0. (1) 求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程；(2) 已知曲线c1与曲线c2交于a，b两点，且 |pa| 2|pb| ，求实数a的值【解析】：(1) 因为曲线c1的参

14、数方程为xa2ty12t，所以其普通方程为xya10. 因为曲线c2的极坐标方程为cos24cos 0，所以 2cos24cos 20，所以x24xx2y20，即曲线c2的直角坐标方程为y24x. (2) 设a，b两点所对应的参数分别为t1，t2，8 由y24xxa2t，y12t得 2t222t14a0. (22)242(1 4a)0，即a0，由根与系数的关系得t1t22t1t214a2. 根据参数方程的几何意义可知|pa| 2|t1| ，|pb| 2|t2| ，又|pa| 2|pb| 可得 2|t1| 22|t2| ，即t12t2或t1 2t2. 所以当t12t2时，有t1t23t22t1t

15、22t2214a2，解得a1360，符合题意当t1 2t2时，有t1t2t22t1t2 2t2214a2，解得a940，符合题意综上所述，实数a的值为136或94. 6(2019 福州综合质量检测) 已知直线l的参数方程为xm22ty22t(t为参数 ) ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆c的极坐标方程为2cos232sin2 12， 其左焦点f在直线l上(1) 若直线l与椭圆c交于a，b两点，求 |fa| |fb| 的值；(2) 求椭圆c的内接矩形周长的最大值【解析】：(1) 将曲线c的极坐标方程2cos232sin212 化为直角坐标方程，得x212y241，则其左焦点f( 22， 0) ，则m 22. 将直线l