高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.12交点零点有没有极最符号异与否

1、1 高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.12 交点零点有没有极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(xfy的图象与函数)(xgy的图象的交点问题，有以下几个步骤：构造函数)()()(xgxfxh；求导)( xh；研究函数)(xh的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；画出函数)(xh的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；解不等式得解. 探讨函数)(xfy的零点个数， 往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解. 【典例指引】例 1已知函数1lnfxaxx，ar（i ）若曲线yfx在点（ 1，1f）处的切线与直线20 x

2、y垂直，求a的值；（ii ） 当1a时，试问曲线yfx与直线23yx是否有公共点？如果有，求出所有公共点； 若没有，请说明理由【思路引导】（1）根据导数的几何意义得到 112fa，即1a； （ 2）构造函数1ln23g xxxx，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到g x在（ 0，1）（1,）恒负，10g，故只有一个公共点2 当1x时，0gx，g x在（1,）单调递减；当01x时，0gx，g x在（ 0，1）单调递增又10g，所以g x在（ 0，1）（1,）恒负因此，曲线yfx与直线23yx仅有一个公共点，公共点为（1，-1 ） 例 2已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实

3、数 ) （1）函数 f(x)的图象与h(x) 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得对任意的1,2x都有函数myfxx的图象在函数xeg xx图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（ln21.992e）【思路引导】（）函数fx与h x无公共点转化为方程lnxax在0,无解，令lnxt xx，得出xe是唯一的极大值点，进而得到maxt，即可求解实数a取值范围；（）由不等式lnxmexxx对1,2x恒成立，即lnxmexx对1,2x恒成立，令lnxr xex x，则ln1xrxex，再令ln1xxex，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得

4、出结论. 3 当且仅当1ae故实数a的取值范围为1,e存在01x,12，使得0 x0，即0 x01e0 x，则00 xlnx，9 分当01x,x2时，x单调递减；4 当0 xx ,时，x单调递增，则x取到最小值0 x00001 xelnx1x1x0012 x110 x，r x0，即r x在区间1,2内单调递增11221111mrelneln21.995252222，存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1. 例 3已知二次函数f(x) 的最小值为 4，且关于x的不等式f(x) 0的解集为 x| 1x3，xr(1) 求函数f(x) 的解析式；(2) 求函数4lnfxg xxx的零点个数【思路引导

5、】（1）根据fx是二次函数，且关于x的不等式0fx的解集为| 13,xxxr，设出函数解析式，利用函数fx的最小值为4，可求函数fx的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当03x时，140g xg，55553202212290g eee，结合单调性由此可得结论(2) 22334ln4ln20 xxg xxxxxxx，2213341xxgxxxx，令0gx，得11x，23x5 当x变化时，gx，g x的取值变化情况如下：x0,11 1,33 3,gx0 0 g x递增极大值递减极小值递增当03x时，140g xg，55553202212290g eee，又因为g x在3,上单调递增， 因

6、而g x在3,上只有 1 个零点，故g x在3,上仅有 1 个零点点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数例 4已知函数lnfxxx，ln1g xxt x（）求证：当0 x时，0fx；（）若函数g x在（ 1，+）上有唯一零点，求实数t的取值范围【思路引导】（ ） 求 导112022xfxxxx， 得4x， 分 析 单 调 性 得 当0 x时 ，4ln442 ln210fxf即得证； （）1gxtx对 t 进行

7、讨论0t，g x在1 ，+) 上是增函数， 所以当1x时，10g xg， 所以g x在(1 ， +) 上没有零点， 若1t，g x在1 ， +) 上是减函数， 所以当1x时，10g xg， 所以g x在(1 ，+) 上没有零点， 若 0t1时 分 析 单 调 性 借 助 于 第 一 问 ， 找 到2211142txt， 则 当1xx时20txxt， 即1xt x成立；取211max,xxt，则当2xx时，ln1xxt x，即0g x，说明存在01xt，使得00g x，即存在唯一零点6 （）1gxtx若0t，则当1x时，10gxtx，所以g x在1 ， + ) 上是增函数，所以当1x时，10g

8、xg，所以g x在(1 ，+) 上没有零点，所以0t不满足条件若1t，则当1x时，10gxtx，所以g x在 1 ， + ) 上是减函数，所以当1x时，10g xg，所以g x在(1 ，+) 上没有零点，所以1t不满足条件7 点睛： 本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0t1 时，注意前后问间的联系，找到01xt，使得00g x，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；【同步训练】1已知函数22ln ,fxxaxarx（）若fx在2x处取极值，求fx在点1,1f处的切线方程；（）当0a时，若fx有唯一的零点0 x，求证：01.x【思路引导】本题考查导数的几何意

9、义及导数在研究函数单调性、极值中的应用（）根据函数在2x处取极值可得7a，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可（）由（）知3222xaxfxx0 x，令322g xxax，可得g x在0,6a上单调递减， 在,6a上单调递增 结合函数的单调性和8 函数值可得g x在1,上有唯一零点，设为1x，证明10 xx即可得结论（）由（）知3222xaxfxx0 x，令322g xxax，则26gxxa由0,0agx，可得6axg x在0,6a上单调递减，在,6a上单调递增又020g，故当0,6ax时，0g x；又10ga，故g x在1,上有唯一零点，设为1x，从而可知fx在10,x上单调递减，在1,x

10、上单调递增，因为fx有唯一零点0 x，故10 xx且01x9 2已知函数lnbfxaxx0a（1）当2b时，若函数fx恰有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当0ab，0b时，对任意121,eexx，有12e2fxfx成立，求实数b的取值范围【思路引导】（1）讨论0a、0a两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数fx恰有一个零点时实数a的取值范围； （2） 对任意121,eex x， 有12e2fxfx成立， 等价于maxmin2fxfxe，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果当0a时，令0fx，解得2ax当02ax时，

11、0fx，所以fx在0,2a上单调递减；当2ax时，0fx，所以fx在,2a上单调递增要使函数fx有一个零点，则ln0222aaafa即2ae10 综上所述，若函数fx恰有一个零点，则2ae或a0（2）因为对任意121,eexx，有12e2fxfx成立，所以g b在0,上单调递增，故00g bg，所以1eeff从而maxfxeebfb所以e1e2bb即ee10bb，设=ee 1bbb0b，则=e1bb当0b时，0b，所以b在0,上单调递增又10，所以ee 10bb，即为1b，解得1b因为0b，所以b的取值范围为0,13已知函数0 .xfxeaxa ara且11 (i) 若函数0fxx在处取得极值

12、，求实数a的值；并求此时21fx 在，上的最大值；( ) 若函数fx不存在零点，求实数a的取值范围；【思路引导】（1）根据函数的极值的概念得到000fea，1a， 根据函数的单调性得到函数的最值（2）研究函数的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分0a和0a，两种情况进行讨论（2）xfxea，由于0 xe当0a时，0,fxfx是增函数，且当1x时，10 xfxea x当0 x时，1110 xfxea xa x，11xa，取1xa，则11110faaaa，所以函数fx存在零点当0a时，0,lnxfxeaxa在,lna上0,fxfx单 调 递 减 ， 在ln,a上0,fxfx单 调

13、 递 增 ， 所 以lnxa时fx取最小值12 函数fx不存在零点，等价于lnlnln2ln0afaeaaaaaa，解得20ea综上所述：所求的实数a的取值范围是20ea点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问题， 常用的方法是， 转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根的问题4已知函数exfxxa，其中e是自然数的底数，ar（）求实数fx的单调区间（）当1a时，试确定函数2g xfxax的零点个数，并说明理由【思路引导】（）2xfxexa， 令0fx，解出2xa，0fx令，解出2xa，即可得fx的

14、单调区间（）2eexaxag xxxxx，当0 x时，00g，现考虑函数exayx的零点，令xat，则xat，令eth tta，考虑函数ety与yta的交点， 两者相切e1t，解得0t，此时1a，所以1a，故函数ety与yta无交点，即可得结果13 点 睛 ： 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 单 调 区 间 ， 研 究 函 数 零 点 问 题 ， 第 二 问 中 对2eexax ag xxxxx进行这样处理，很容易确定一个零点0，考虑函数exayx的零点时使用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决5已知函数2ln2xfxx，22xg xx（）求曲线yfx在1x处的切

15、线方程（）求fx的单调区间（）设1h xafxag x，其中01a，证明：函数h x仅有一个零点【思路引导】（）求导1fxxx，所以11101f，又112f可得fx在1x处的切线方程（）令0fx， 解 出01x， 令0fx， 解 出1x， 可 得fx的 单 调 区 间 （ ）211ln2h xxaxax，11 ?1ahxxaxxaxx14 h x在0,a单 调 递 增 在,1a单 调 递 减 ， 在1,单 调 递 增 ， 且h x极 大 值21ln02h aaaaa，h x极小值1102ha可得h x在0,1无零点，在1,有一个零点，所以h x有且仅有一个零点15 点睛：本题考查了利用导数求函

16、数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意hx处理时采用因式分解很容易得出0hx的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题6设函数ln,rmfxxmx（）当em（e为自然对数的底数）时，求fx的极小值；（）若函数3xg xfx存在唯一零点，求m的取值范围【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简g x，再利用参变分离法得31(0)3mxx x， 利用导数研究函数3103xxx x， 由图像可得存在唯一零点时m的取值范围试题解析：16 （1）由题设，当me时，lnefxxx，则2xefxx，由0fx，得xe当0,

17、xe，0fx，fx在0,e上单调递减，当,xe，0fx，fx在, e上单调递增，又00，结合yx的图象（如图） ，可知当23m时，函数g x有且只有一个零点；当0m时，函数g x有且只有一个零点所以，当23m或0m时，函数g x有且只有一个零点点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法17 (1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2) 分离参数后转化为函数的值域( 最值 ) 问题求解(3) 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解7已知函数2112xfxxea x（1）若ae，求函数fx的极值；（2）若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围【思路引导】（1）函数求

18、导得111xxfxxee xxee，讨论导数的单调性即可得极值；（2） 函数求导得111xxfxxea xxea，讨论0a，0a，10ae和1ae时函数的单调性及最值即可下结论（2）111xxfxxea xxea，当0a时，易知函数fx只有一个零点，不符合题意；当0a时，在, 1上，0fx，fx单调递减；在1,上，0fx，fx单调递增；110fe，且120fea，x，fx，18 所以函数fx有两个零点当10ae时，在,lna和1,上，0fx，fx单调递增； 在ln , 1a上0fx，fx单调递减；11lnlnln1ln1022faaaaaaa，函数fx至多有一个零点，不符合题意当1ae时，在,

19、 1和ln , a上0fx，fx单调递增； 在1,lna上0fx，fx单调递减；110fe，函数fx至多有一个零点，不符合题意综上：实数a的取值范围是0a点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解8已知21ln2fxxax，ar（1）求函数fx的增区间；（2）若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围，并说明理由；（ 3 ） 设 正 实 数1，2满 足 当0a时 ，

20、求 证 ： 对 任 意 的 两 个 正 实 数1x，2x总 有11221122fxxfxfx( 参考求导公式：faxbafaxb) 【思路引导】 (1)求导afxxx，对a进行分类讨论，可得函数fx的增区间；（2）由（ 1）知：若0,a函数在0,的上为增函数，函数fx有至多有一个零点，不合题意若0,a可知min1,1ln2xa fxaa， 要 使 得函 数fx有两 个 零 点 ， 则min11ln02fxaaae，以下证明ae函数fx有两个零点即可19 （3）证明：不妨设120,xx，以1x为变量，令122122f xfxxfxfx，则可以证明0fx，所以f x在20, x单调递增；因为120

21、,xx所以120f xf x，这样就证明了11221122fxxfxfx,10,aeaq而1102f，所以fx在0,a存在惟一零点；又2111ln12ln222feaeaaaa eaa令1 2lnh aeaaae20haea所以h x在, e上递增，所以的h a230h ee所以fx在,a也存在惟一零点；综上：ae函数fx有两个零点20 方法 2：(先证：1,x有ln1,xx) 2211ln22fxxaxxaxa2,2aeaaaaaq而22212202aaaa aaaa220faaa，所以fx在,a也存在惟一零点；综上：ae，函数fx有两个零点（3）证明：不妨设120,xx，以1x为变量令12

22、2122f xfxxfxfx，则112211122fxfxxfxfxxfx令ag xfxxx，则21agxx因为0a，所以0gx；即fx在定义域内递增又因为1221222221xxxxxxx且2xx所以1220 xxx即122xxx，所以1220fxxfx；又因为10，所以0fx所以f x在20,x单调递增；因为120,xx所以120f xf x即11221122fxxfxfx【点睛】本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、 不等式问题、 数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等9已知函数21ln2fxxaxx，1a

23、（1）当0a时，求函数fx在1,1f处的切线方程；（2）令1g xfxax，讨论函数g x的零点的个数；（3）若2a，正实数12,x x满足12120fxfxx x，证明12512xx【思路引导】（1）求出fx的解析式， 求出切点坐标， 再求出fx，由出 1f的值， 可得切线斜率，利用点斜式求21 出切线方程即可； （2）求导数， 分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，分别结合函数单调性判断出函数g x的零点的个数； （3）12120fxfxx x，化为212121212lnxxxxx xx x，设12x xt，构造函数lnttt，然后结合函数单调性得到212121xxxx，解不等式可得结

24、论（3）证明：当所以即为：所以22 令所以所以所以因为【方法点晴】 本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题 求曲线切线方程的一般步骤是： （1）求出yfx在0 xx处的导数， 即yfx在点p00,xfx出的切线斜率（当曲线yfx在p处的切线与y轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0 xx） ； （ 2）由点斜式求得切线方程00?yyfxxx10已知函数lnafxxx（ar） （1）判断函数fx在区间2,e上零点的个数；（2）当1a时，若在1,e（2.71828e）上存在一点0 x，使得0001xmf xx成立，求实数m的取值范围【思路引导】1令0afxlnx

25、x，2,xe， 得axlnx， 记h xxlnx，2,xe， 求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数fx在2,e上的零点个数；2本题不宜分离，因此作差构造函数11mh xxmfxxmlnxxxx，利用分类讨论法求函数最小值，由于2222211111xxmmmxmxmhxxxxxx，所以讨论1m与1e，的大小，分三种情况，当1me，h x的最小值为h e，11m，h x的最小值为1h，当11me，h x的23 最小值为1hm，解对应不等式即可当11m，即0m时，h x在区间1,e上单调递增，所以h x的最小值为1h，由11 10hm，可得2m24 当11me，即01me时，可得h

26、 x的最小值为1hm，0ln 11m，0ln 1mmm，12ln 12hmmmm，此时10hm不成立综上所述，实数m的取值范围是21, 2,1ee点睛： 对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式， 另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法11已知函数213ln2fxxx（1）求fx在1,1f处的切线方程；（2）试判断fx在区间1,e上有没有零点？若有则判断零点的个数【思路引导】（

27、1）利用导数的几何意义求切线方程（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0 的关系明确零点个数试题解析：25 12已知函数ln,xafxxear，其中2.718,eel为自然对数的底数（1）当1a时，求函数fx的极值；（2）当2a时，讨论函数fx的定义域内的零点个数【思路引导】（1）求出fx，0fx求得x的范围，可得函数fx增区间，0fx求得x的范围，可得函数fx的减区间， 根据单调性可得函数的极值； （2） 利用导数研究函数的单调性，可证明函数)0fx恒成立，即证明fx在定义域内无零点试题解析：（1）当1a时，11xfxex，当01x时，111,1xex，所以110 xfxex，则

28、fx单调增，当1x时，1101,1xex，所以110 xfxex，则fx单调减，所以1x是fx的极大值点，极大值是11f26 （2）由已知0,x，当2a时，2x axee，所以2lnlnxaxfxxexe，【方法点睛】 本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题 求函数fx极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx；(3) 解方程0,fx求出函数定义域内的所有根； (4) 列表检查fx在0fx的根0 x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么fx在0 x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么fx在0 x处取极小值13已知函数22xxfxaeaex（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a 的取值范围【思路引导】利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式0fx和0fx， 求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式27 求出参