高考数学大题练习

1、高考数学大题练习1（12 分）已知向量a=（sin ，cos-2sin ），b=（1，2）（1）若ab，求 tan 的值；（2）若ab，且为第象限角，求sin 和 cos的值。2(12 分) 在如图所示的几何体中，ea 平面 abc ，db平面 abc ，ac bc ，且 ac=bc=bd=2ae，m是 ab的中点 . (i) 求证： cm em ：( ) 求 de与平面 emc 所成角的正切值. 3 （13 分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训. 已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的

2、有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. ( ) 任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；( ) 任选 3 名下岗人员，求这3 人中至少有2 人参加过培训的概率.4（12 分）在 abc中， abc所对的边分别为abc。若bacoscos=ab且 sinc=cosa （1）求角 abc的大小；（2）设函数f(x)=sin（2x+a）+cos（2x-2c）, 求函数 f(x) 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。5（13 分）已知函数 f(x)=x+xa的定义域为（ 0，+）且 f(2)=2+22，设点 p是函数图象上的任意一点，过点p 分

3、别作直线 y=x 和 y 轴的垂线，垂足分别为m ，n. （1）求 a 的值；（2）问： |pm| |pn| 是否为定值若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设 o为坐标原点，求四边形ompn 面积的最小值。6（13 分）设函数 f(x)=p(x-x1)-2lnx,g(x)=xe2(p 是实数， e 为自然对数的底数 ) （1）若 f(x) 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l与函数 f(x),g(x)的图象都相切， 且与函数 f(x) 的图象相切于点（ 1，0），求 p 的值；（3）若在 1 ，e 上至少存在一点x0，使得 f(x0) g(x0) 成立，求 p 的

4、取值范围. 7.(12分) 设p: 函数y=ax22x+1 在1,+ ) 内单调递减 ,q：曲线y=x22ax+4a+5 与x轴没有交点；如果“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围 . 8. （12 分）从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一个。( ) 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；( ) 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望e9. （12 分）已知函数1( )ln(1),01xf xaxxx，其中0a若( )f x在 x=1 处取得极值，求a 的值；求( )f x的单调区间；（）若( )f x的最小值为 1

5、，求 a 的取值范围。10.（12 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（）试写出y关于x的函数关系式；（）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小11.（12 分）若( )f x是二次函数， 不等式( )0f x的解集是(0,5),且( )f x在区间1,4上的最大值是12；（i ）求( )f x的解析式；（ii ） 是否存在实数,m使得方程37(

6、 )0fxx在区间(,1)m m内有且只有两个不等的实数根若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。12. （14 分）已知函数2( )(1)fxx，数列na是公差为 d 的等差数列，nb是公比为 q （,1qr q）的等比数列 . 若1(1),af d3(1),af d1(1),bf q3(1).bf q( ) 求数列na，nb的通项公式；( ) 若nc对nn，恒有312112323nnnccccabbbnb，求13521ncccc的值；( ) 试比较3131nnbb与12nnaa的大小 . 答案：1解：（ 1）absin+2cos -4sin=0tan=32 6 分（2）ab2sin-

7、(cos-2sin)=0tan=41sin=-1717cos=-171746 分2解析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力 . 方法一：(i) 证明：因为ac=bc ，m是 ab的中点，所以cm ab.又 ea 平面 abc ，所以 cm em.( ) 解：连结md,设 ae=, 则 bd=bc=ac=2, 在直角梯形eabd中, ab=,m 是 ab的中点 , 所以 de=3,em=,md=因此 dm em,因为 cm 平面 emd,所以 cm dm, 因此dm 平面 emc, 故dem是直线 de和平面 emc 所成的角 . 在 rte

8、md中,md=em=,tan dem=方法二：如图， 以点为坐标原点， 以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，.，. （i ）证明：因为，所以，故. （ii ）解：设向量与平面emc垂直，则n,n, 即n=0,n=0. 因为, 所以 y0=1,z0= 2, 即n=(1, 1, 2). 因为=(), cosn,=de与平面emc所成的角是n与夹角的余角，所以 tan=. 3解：任选1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件a，“该人参加过计算机培训”为事件b，由题设知，事件a与 b相互独立，且p(a)=,p(b)=. （）解法一任选 1 名下岗人员，该人没有参

9、加培训的概率是p1=p() p() p()= . 所以该人员参加过培训的概率是1p11 . 解法二任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是p2=p(a) p（b）. 该人参加过两项培训的概率是p1p（ab） . 所以该人参加过培训的概率是p2p1 . （）解法一任选 3 名下岗人员， 3 人中只有2 人参加过培训的概率是p4 . 3 人都参加过培训的概率是p5 . 所以 3 人中至少有2 人参加过培训的概率是p4+p5=+=. 解法二任选 3 名下岗人员，3 人中只有1人参加过培训的概率是 . 3 人都没有参加过培训的概率是. 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是1 . 4

10、解：（ 1）由abbacoscos结合正弦定理得abbasinsincoscos，则 sin2a=sin2b, 则在三角形中有 a=b ，或 a+b=2当 a=b时， 由 sinc=cosa 得 cosa=sin2a=2sinacosa 得 sina=21或 cosa=0（舍）a=b=6，c=32当 a+b=2时，由 sinc=cosa 得 cosa=1（舍）综上： a=b=6，c=32（6 分）（2）由（1）知 f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3)=sin(2x+6)+cos(-2+2x+6) =2sin(2x+6) 由 2k-22x+62k+2得 k-3xk+6（kz）所以函数

11、 f(x)的单调递增区间为 k -3,k +6（kz）（6 分）相邻两对称轴间的距离为2（1 分）5解（1）f(2)=2+2a=2+22，a=2（3 分）（2）设点 p的坐标为（ x0,y0），则有 y0=x0+02x,x00 由点到直线的距离公式可知：|pm|=2|00yx=01x，|pn|=x0, 故有 |pm|pn|=1 ，即|pm|pn| 为定值， 这个值为 1（5 分）（3）由题意可设m(t,t)，可知 n(0,y0). pm与直线 y=x 垂直，kpm1=-1，即txty00=-1 ，解得 t=21（x0+y0），又 y0=x0+02xt=x0+022x. sopm=2021x+2

12、2，sopn=2120 x+22smpn=sopm+sopn=21（20 x+201x）+21+2当且仅当 x0=1 时，等号成立。此时四边形ompn面积有最小值1+2（5 分）6（1）f (x)=222xpxpx，要使 f(x) 为单调增函数，须f (x) 0 恒成立，即 px2-2x+p0 恒成立，即 p122xx=xx12恒成立，又xx121，所以当 p1 时， f(x) 在(0,+ ) 为单调增函数。要使 f(x) 为单调减函数，须f (x) 0 恒成立，即 px2-2x+0 0 恒成立，即 p122xx=xx12恒成立，又xx120，所以当 p0 时， f(x) 在(0,+ ) 为单

13、调减函数。综上所述，f(x) 在(0,+ )为单调函数，p 的取值范围为p1 或 p0（4 分）（2）f (x)=p+xxp22, f (1)=2(p-1)，设直线 l ：y=2(p-1)(x-1)，y=2(p-1)(x-1) y=xe2当 p=1 时，方程无解；当 p1 时由 =(p-1)2-4(p-1)(-e)=0，得 p=1-4e， 综上， p=1-4e（4 分）（3）因 g(x)=xe2在1 ，e 上为减函数，所以g(x) 2 ，2e 当 p0 时，由（ 1）知 f(x) 在1,e 上递减f(x)max=f(1)=0 2，不l 与 g(x) 图象相切，得(p-1)(x-1)=xe, 即

14、(p-1)x2-(p-1)x-e=0合题意当 p1 时， 由 （1） 知 f(x) 在1,e上递增，f(1) 2， 又 g(x) 在1,e上为减函数，故只需f(x)maxg(x)min，x1,e ，即： f(e)=p(e-e1)-2lne 2p142ee. 当 0p1 时，因 x-x10，x1,e 所以 f(x)=p(x-x1)-2lnx (x-x1)-2lnx e-e1-2lne 2 不合题意综上， p 的取值范围为（142ee,+ ）（5 分）7、解：由p知，a=0 或, 11, 0aa解得a0. 由q知,=(2a)24(4a+5)0, 解得 1a5. “p或q”为真，“p且q”为假，p与

15、q一真一假；若p正确，q不正确，则有.51,0aaa或a1. 若p不正确，q正确，则有.51, 0aa0a5. 综上可知 ,a的取值范围为a1 或 0a5. 8、9、解：（）22222( ),1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx( )f x在 x=1 处取得极值，2(1)0,120,faa即解得1.a（）222( ),(1)(1)axafxaxx0,0,xa10.ax当2a时，在区间(0,)( )0,fx上，( )f x的单调增区间为(0,).当02a时，由22( )0,( )0,aafxxfxxaa解得由解得( ),aaf xaa2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.（）当

16、2a时，由（）知，( )(0)1;f xf的最小值为当02a时，由（）知，min=f(x)2()(0)1,affa矛盾。综上可知，若( )f x得最小值为 1，则 a 的取值范围是2,).10、解：（）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mmxx xxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+（）由（）知，332222561( )(512).22mmfxmxxxx)512(221256232212xxmmxxm令( )0fx，得32512x，所以x=64 高考资源网当 0 x64 时( )fx0.( )fx在区间（ 64，640）内为增函数，所以( )

17、f x在x=64 处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建 9 个桥墩才能使y最小。11、解：（ i ）( )f x是二次函数，且( )0f x的解集是(0,5),可设( )(5)(0).f xax xa( )f x在区间1,4上的最大值是( 1)6 .fa由已知，得612,a22,( )2 (5)210 ().af xx xxx xr（ii ）方程37( )0f xx等价于方程32210370.xx设32( )21037,h xxx则2( )6202 (310).h xxxxx当10(0,)3x时，( )0, ( )hxh x是减函数；当10(,)3x时，( )0, ( )h x

18、h x是增函数。101(3)10, ()0, (4)50,327hhh方程( )0h x在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根， 而在区间(0,3), (4,)内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m使得方程37( )0f xx在区间(,1)m m内有且只有两个不同的实数根。12、解： () 312aad，(1)(1)2f df dd. 即22(2)2ddd，解得 d=2. 1(21)0af. 2(1)nan. 2 分231bqb, 222(1)(1)(2)f qqqf qq. 0,1qq, 3q. 又1(1)1bf q，13nnb. 4 分( ) 由题设知121cab，1212ca b. 当2n时,31121123123(1)nnnnncccccabbbnbnb,3112123123(1)nnnccccabbbnb, 两式相减 , 得12nnnncaanb. 1223nnncnbn(1122cba适合). 7 分设 t=13521ncccc, 242226310 3(42) 3ntn两式相减 , 得5594922nnn. 255() 316216nnt. 9 分( )3131nnbb31=31nn2131n,12nnaa2212(1)22nnn. 现只须比较31n与22n的大小 . 当 n=1 时,314